第讲一元微积分应用曲率精品文档Word格式.docx

第讲一元微积分应用曲率精品文档Word格式.docx

《第讲一元微积分应用曲率精品文档Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第讲一元微积分应用曲率精品文档Word格式.docx（28页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

楚中教刘平面曲线的曲率平面曲线的曲率第六章一元微分的用积应本章要求：

学习熟掌握求函的、最大最小、判函的性、练数极值值断数单调判函的凸凹性以及求函拐点的方法。

断数数能用函的性、凸凹性明不等式。

运数单调证掌握建立和微分有的模型的方法。

能熟求解与导数关数学练相化率和最大、最小的用。

关变值应问题知道平面曲的弧微分、曲率和曲率半的念，能算线径概并计平面曲的弧微分、曲率、曲率半和曲率中心。

线径掌握建立定分有的模型的方法。

与积关数学熟掌握“微分元素法”，能熟用定分表和算一练练运积达计些几何量物理量：

平面形的面、旋曲面的面、与图积转侧积平行截面面已知的几何体的体、平面曲的弧、积为积线长变力作功、液体的力等。

压能利用定分定式算一些限。

积义计极第六章一元微分的用积应第七平面曲的曲率节线一、曲率的念概二、曲率的算公式计三、方程下曲率的算公式参数计四、曲率、曲率中心圆请点击我们已经讨论过曲线的凹凸性,知道如判定曲线的弯曲程度.而在许多实际问题中何判断曲线的弯曲方向,但是还不能描述和都必须考虑曲线的弯曲程度,例如,道路的弯道设计,梁的弯曲程度,曲线形的切削工具的设计等等.你认为应该如何描述曲线的弯曲程度?

一、曲率的念概一、曲率的念概OxyMM）（xfy.）（1Cxfy设沿曲到点线运动点M相地切应线转时,M）,（角称为转角度过.称弧的改量变为s.,具有方向性与其中s单位弧长上的转角.的平均曲率为MMsk曲率的念概sskkssddlimlim00.）（的曲率处在点曲称为线Mxfy.限的方法极又是平均值例例11解求半径为R的圆上任意一点处的曲率.MM如图所示,在圆上任取一点M,则R|MMsR故ss0lim即圆上点的曲率处处相同：

Rk1半径越小的圆,弯曲得越厉害.RRs1lim0O设曲线方程为,）（xfy,）（二阶可导xf则在曲线上点）,（yxM处的曲率为）1（232yyk二、曲率的算公式计二、曲率的算公式计OxyMM）（xfy证如图所示,曲线在处切线的斜率为点Mtany故yarctanxyyxdd11dd221yy又xysd1d2从而）1（dd232yyskxyyd1d2例例22解.上任意一点处的曲率求直线bxay,0,yay0）1（232yyk.）（Rx直线上任意一点处的曲率均为零.俗话说,直线不弯曲.例例33解,）0（sin,cos上椭圆babyax哪一点曲率最大,哪一点曲率最小.利用参数方程求导法求出:

dddd22xyxy和,sinddax,cosddby,cosdd22ax,sindd22bycotsincosddababxy）cos（cotdd）（22aabxy32sin1ab）1（232yyk23）cossin（2222baab故,0）cossin（cossin）（3dd23222222babaabk令得驻点,23,2,0,ba因为故在各象限中的符号依次为ddk+由此可得:

取最大值时当k,02maxbak取最小值时当k,23,22minabk23）（）（|）（）（）（）（|22yxxyxyk则二阶可导若,）（,）（,）（）（yxyyxx,）（）（ddxyxy322）（）（）（）（）（ddxxyxyxy将它们代入曲率计算公式中即可得：

三、方程下曲率的算公式参数计三、方程下曲率的算公式参数计例例44解.0）（0,42处的曲率在点求抛物线xy,2xy如果用会出现导数的分母为零的情形,的图形与但4422yxxy相同,对称,故原问题可以转为求曲线的与而4422xyyx图形关于在42xy.）0,0（处的曲率点xy,0）41（020xxxy,21）21（00xxxy在42xy处的曲率为点）0,0（21）1（2321yyk处的曲率为在点故0）（0,42xy.21k在有些实际问题中,1|y若,1|y若.|yk则可取.|yk则可取现在问你一下:

（假设单位是统一的）如果告诉你一条曲线在点M处的曲率为,51你能想象出它的弯曲程度吗？

如果告诉你有一个半径为5的圆,你能想象出该圆上任何一点处的弯曲程度吗？

由此及前面讲的例题1,你有什么想法？

MOMO.5,51RkM在点曲率圆曲率半径曲率中心处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度曲率曲率半径1四、曲率、曲率中心圆四、曲率、曲率中心圆1.曲率圆、曲率中心的概念2.曲率圆的性质3.曲率中心的坐标请点击）,（）（yxMxfy上一点过光滑曲线作其法线,在法线指向曲线凹向的一侧上取一点Q,使RMQ|）,

（2）1（123yxMyyk以Q为中心,R为半径所作的圆称为曲线在点M处的曲率圆,圆心Q称为曲率中心,R称为曲率半径.）（处的曲率为曲线在点Mk1.曲率圆、曲率中心的概念曲率圆与曲线在点M处相切,且在点M处两者曲率相同.曲率圆与曲线在点M处具有相同的一、二阶导数.当讨论曲线在点M处与一、二阶导数有关的局部性质时,可以通过讨论其相应的曲率圆的局部性质来实现.2.曲率圆的性质）（,）（存在且设曲线方程为xfxfy,0）（0xf则曲线在点的坐标为中心）,（D处的曲率）,（00yxM,）1（20yyyx,120yyy.Mxfyyy处的导数在点是与式中）（3.曲率中心的坐标证处的在点设曲线）,（）（00yxMxfy,）,（,DR曲率中心为曲率半径为则曲线在点）,（00处的曲率圆方程为yxM222）（）（Ryx.）,（,是曲率圆上的点点其中yx23222）1（1yykR由于,）,（00在曲率圆上又点yxM故有2020）（）（yx232）1（yy,处的法线上位于曲线在点又MDM其斜率为00xyk法曲线在点M处切线的斜率为,y从而,有00yxy

（1）

（2）由

（1）,

（2）两式消去得,0x22220）1（）（yyy由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧,所以,是反号的与yy故对上式两边开方得yyy201由

（2）式,得yyyx）1（20画画图更清楚例例55解处的在点求抛物线）1,1（2xy曲率半径、曲率中心和曲率圆方程.,2211xxxy,21xy处的曲率半径为在点1）（1,）1（232yyR21252）21（232,1,100yx曲率中心为yyyx）1（2042）21（212yyy2012722112曲率圆的方程为.）27,4（D曲率中心：

4125）27（）4（22yx