数学选修45不等式选讲教案Word文件下载.docx
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a>
c。
③、如果a>
b，那么a+c>
b+c，即a>
b
a+c>
b+c。
推论：
如果a>
b，且c>
d，那么a+c>
b+d．即a>
b，c>
d
b+d．
④、如果a>
0，那么ac>
bc；
b，且c<
0，那么ac<
bc．
⑤、如果a>
b>
0，那么
（n
N，且n>
1）
⑥、如果a>
1）。
三、典型例题：
例1、已知a>
b，c<
d，求证：
a-c>
b-d．
例2已知a>
0，c<
0，求证：
。
四、练习：
五、作业：
含有绝对值的不等式的证明
证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：
（1）
（2）
（3）
（4）
请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？
实际上，性质
和
可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；
而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
因此，只要能够证明
对于任意实数都成立即可。
我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：
设
为实数，
哪个大？
显然
，当且仅当
时等号成立（即在
时，等号成立。
在
时，等号不成立）。
同样，
当且仅当
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用
、
及绝对值的和的性质。
二、典型例题：
例1、证明
（1）
，
（2）
证明
（1）如果
那么
所以
如果
（2）根据
（1）的结果，有
，就是，
所以，
例2、证明
例3、证明
思考：
如何利用数轴给出例3的几何解释？
（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段
当且仅当C在A，B之间时，等号成立。
这就是上面的例3。
特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。
）
探究：
试利用绝对值的几何意义，给出不等式
的几何解释？
含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。
例4、已知
，求证
证明
（1）
，
∴
由
（1），
（2）得：
例5、已知
求证：
，∴
由例1及上式，
注意：
在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。
但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。
三、小结：
1、已知
求证：
2、已知
含有绝对值的不等式的解法
在初中课程的学习中，我们已经对不等式和绝对值的一些基本知识有了一定的了解。
在此基础上，本节讨论含有绝对值的不等式。
关于含有绝对值的不等式的问题，主要包括两类：
一类是解不等式，另一类是证明不等式。
下面分别就这两类问题展开探讨。
1、解在绝对值符号内含有未知数的不等式（也称绝对值不等式），关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式。
主要的依据是绝对值的意义.
请同学们回忆一下绝对值的意义。
在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值。
即
2、含有绝对值的不等式有两种基本的类型。
第一种类型。
设a为正数。
根据绝对值的意义，不等式
的解集是
，它的几何意义就是数轴上到原点的距离小于a的点的集合是开区间（－a，a），如图所示。
图1-1
如果给定的不等式符合上述形式，就可以直接利用它的结果来解。
第二种类型。
的解集是
{
或
}
它的几何意义就是数轴上到原点的距离大于a的点的集合是两个开区间
的并集。
如图1-2所示。
–
图1-2
同样，如果给定的不等式符合这种类型，就可以直接利用它的结果来解。
例1、解不等式
例2、解不等式
方法1：
分域讨论
★方法2：
依题意，
，（为什么可以这么解？
例3、解不等式
例、解不等式
解本题可以按照例3的方法解，但更简单的解法是利用几何意义。
原不等式即数轴上的点x到1，2的距离的和大于等于5。
因为1，2的距离为1，所以x在2的右边，与2的距离大于等于2（＝（5－1）
；
或者x在1的左边，与1的距离大于等于2。
这就是说，
例5、不等式
，对一切实数
都成立，求实数
的取值范围。
解不等式
1、
2、
3、
.4、
.
5、
6、
.7、
8、
9、
10、
利用不等式的图形解不等式
1.
;
2．
A组
1．解下列不等式：
（1）
（2）1
（3）
（4）
2．解不等式：
3．解不等式：
4．利用绝对值的几何意义，解决问题：
要使不等式
<
有解，
要满足什么条件？
5．已知
（2）
6．已知
7．已知
B组
*****8．求证
*****9．已知
10．若
为任意实数，
为正数，求证：
（
，而
平均值不等式
1、定理1：
，那么
（当且仅当
时取“=”）
证明：
1．指出定理适用范围：
强调取“=”的条件
2、定理2：
是正数，那么
∵
∴
即：
当且仅当
时
注意：
1．这个定理适用的范围：
2．语言表述：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
3、定理3：
∴上式≥0从而
指出：
这里
∵
就不能保证。
推论：
4、算术—几何平均不等式：
①．如果
则：
叫做这n个正数的算术平均数，
叫做这n个正数的几何平均数；
②．基本不等式：
≥
（
）
这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）
语言表述：
n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
③．
的几何解释：
以
为直径作圆，在直径AB上取一点C，过C作弦DD’^AB则
从而
，而半径
例1、已知
为两两不相等的实数，求证：
证：
以上三式相加：
例2、设
例3、设
，…，
为正数，证明：
例4、若
，设
加权平均；
算术平均；
几何平均；
调和平均
即：
（俗称幂平均不等式）
由平均不等式
综上所述：
1、若
求证
由幂平均不等式：
利用平均不等式求最大（小）值
1、重要的结论：
已知x，y都是正数，则：
（1）、如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值
（2）、如果和x+y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值
例1、当
取什么值时，函数
有最小值？
最小值是多少？
例2、求函数
）的最小值。
例3、小宁在某电脑城配置了一台总费用为6400元的电脑。
假定在电脑的使用过程中，每年的维修费用约为：
第一年为200元，第二年400元，第三年600元，…，按等差数列递增。
这台电脑使用多少年报废最合算？
例4、如图，电灯挂在圆桌的正中央上方。
假定它与桌面上A点的水平距离是
，那么电灯距离桌面的高度
等于多少时，A点处最亮？
（亮度公式：
，这里
为常数，
是电灯到照射点的距离，
是照射到某点的光线与水平面所成的角）
例5、求函数
的最大值，下列解法是否正确？
为什么？
解一：
解二：
当
时
答：
以上两种解法均有错误。
解一错在取不到“=”，即不存在
使得
解二错在
不是定值（常数）
正确的解法是：
例6、若
，求
的最值。
解：
例7、设
且
的最大值
又
例8、已知
的最小值
1．求下列函数的最值：
1°
、
（min=6）
2°
2．1°
时求
的最小值，
、设
的最大值（5）
3°
、若
求
4°
3．若
，求证：
的最小值为3
4．制作一个容积为
的圆柱形容器（有底有盖），问圆柱底半径和高各取多少时，用料最省？
（不计加工时的损耗及接缝用料）
1、将一块边长为
的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，
要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？
最大容积是多少？
设剪去的小正方形的边长为
则其容积为
时取“=”
即当剪去的小正方形的边长为
时，铁盒的容积为
2、某种汽车购买时的费用是10万元，每年的保险费、养路费及汽油费合计为9千元；
汽车的维修费平均为：
第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依等差数列逐年递增。
问这种汽车使用多少年报废最合算（即年平均费用最少）?
设这种汽车使用n年报废最合算n年汽车的维修总费用为
（万元）
年平均费用y=
即n＝10时取等号。
这种汽车使用10年报废最合算。
3、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ>
1），画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白。
怎样确定画面的高与宽尺才，能使宣传画所用纸张面积最小？
（2001年全国文科高考题）
解：
设画面的宽为xcm，则画面的高为
cm，设纸张面积为S
S=
当且仅当x＝
，即x=55cm，此时高
画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小。
评注：
在应用均值不等式解决这类实际问题时，应
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