18版高中数学第一章三角函数章末复习课导学案新人教A版必修4文档格式.docx
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[－1，1]
对称性
对称轴：
x＝kπ＋
（k∈Z）；
对称中心：
（kπ，0）（k∈Z）
x＝kπ（k∈Z）；
（k∈Z）
（k∈Z），无对称轴
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
最小正周期：
2π
π
单调性
在
（k∈Z）上单调递增；
（k∈Z）上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上单调递增；
在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上单调递减
在开区间（kπ－
，kπ＋
）（k∈Z）上递增
最值
在x＝
＋2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
在x＝－
＋2kπ（k∈Z）时，ymin＝－1
在x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；
在x＝π＋2kπ（k∈Z）时，ymin＝－1
无最值
类型一 三角函数的概念
例1 已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－
，则y＝.
答案 －8
解析 r＝
＝
，且sinθ＝－
，
所以sinθ＝
＝－
，所以θ为第四象限角，解得y＝－8.
反思与感悟
（1）已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r＞0）.则sinα＝
，cosα＝
.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便.
（2）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
跟踪训练1 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值.
解 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上，
∴在角α的终边上任取一点P（4t，－3t）（t≠0），
则x＝4t，y＝－3t.
r＝
＝5|t|.
当t＞0时，r＝5t，sinα＝
cosα＝
，tanα＝
；
当t＜0时，r＝－5t，sinα＝
综上可知，sinα＝－
，tanα＝－
或sinα＝
，cosα＝－
类型二 同角三角函数的基本关系式及诱导公式的应用
例2 已知关于x的方程2x2－（
＋1）x＋m＝0的两根为sinθ，cosθ，θ∈（0，2π）.求：
（1）
＋
（2）m的值；
（3）方程的两根及此时θ的值.
解 由根与系数的关系，得
sinθ＋cosθ＝
sinθcosθ＝
（1）原式＝
－
＝sinθ＋cosθ＝
（2）由sinθ＋cosθ＝
两边平方可得
1＋2sinθcosθ＝
1＋2×
＝1＋
m＝
（3）由m＝
可解方程2x2－（
＋1）x＋
＝0，
得两根
和
∴
或
∵θ∈（0，2π），
∴θ＝
反思与感悟
（1）牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及
＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明.在应用中，要注意掌握解题的技巧.比如：
已知sinα±
cosα的值，可求cosαsinα.注意应用（cosα±
sinα）2＝1±
2sinαcosα.
（2）诱导公式可概括为k·
α（k∈Z）的各三角函数值的化简公式.记忆规律是：
奇变偶不变，符号看象限.
跟踪训练2 已知f（α）＝
（1）化简f（α）；
（2）若f（α）＝
，且
<
α<
，求cosα－sinα的值；
（3）若α＝－
，求f（α）的值.
解
（1）f（α）＝
＝sinα·
cosα.
（2）由f（α）＝sinα·
可知，
（cosα－sinα）2＝cos2α－2sinα·
cosα＋sin2α
＝1－2sinα·
cosα＝1－2×
又∵
，∴cosα<
sinα，即cosα－sinα<
0，
∴cosα－sinα＝－
（3）∵α＝－
＝－6×
2π＋
∴f
＝cos
·
sin
×
类型三 三角函数的图象与性质
例3 将函数y＝f（x）的图象向左平移1个单位长度，纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
倍，然后向上平移1个单位长度，得到函数y＝
sinx的图象.
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若函数y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，求当x∈[0，1]时，函数y＝g（x）的最小值和最大值.
解
（1）函数y＝
sinx的图象向下平移1个单位长度得y＝
sinx－1，再将得到的图象上的点的横坐标伸长为原来的
倍，得到y＝
x－1的图象，然后向右平移1个单位长度，得到y＝
sin（
x－
）－1的图象，∴函数y＝f（x）的最小正周期为T＝
＝6.由2kπ－
≤
≤2kπ＋
，k∈Z，得6k－
≤x≤6k＋
，k∈Z，∴函数y＝f（x）的单调递增区间是[6k－
，6k＋
]，k∈Z.
（2）∵函数y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，
∴当x∈[0，1]时，y＝g（x）的最值即为x∈[3，4]时，y＝f（x）的最值.
∵当x∈[3，4]时，
x－
∈[
，π]，
∴sin（
）∈[0，
]，∴f（x）∈[－1，
].
∴当x∈[0，1]时，y＝g（x）的最小值是－1，最大值为
反思与感悟 研究y＝Asin（ωx＋φ）的单调性、最值问题，把ωx＋φ看作一个整体来解决.
跟踪训练3 函数f（x）＝3sin
的部分图象如图所示.
（1）写出f（x）的最小正周期及图中x0，y0的值；
（2）求f（x）在区间
上的最大值和最小值.
解
（1）f（x）的最小正周期为π，x0＝
，y0＝3.
（2）因为x∈
，所以2x＋
∈
，于是，当2x＋
＝0，即x＝－
时，f（x）取得最大值0；
当2x＋
，即x＝－
时，f（x）取得最小值－3.
类型四 三角函数的最值和值域
命题角度1 可化为y＝Asinωx＋φ＋k型
例4 求函数y＝－2sin（x＋
）＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.
解 ∵x∈[0，π]，∴x＋
]，
∴－
≤sin（x＋
）≤1.
当sin（x＋
）＝1，即x＝
时，y取得最小值1.
）＝－
，即x＝π时，y取得最大值4.
∴函数y＝－2sin（x＋
）＋3，x∈[0，π]的最大值为4，最小值为1.
反思与感悟 利用y＝Asin（ωx＋φ）＋k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.
跟踪训练4 已知函数y＝asin（2x＋
）＋b在x∈[0，
]上的值域为[－5，1]，求a，b的值.
解 ∵x∈[0，
∴2x＋
π]，sin（2x＋
）∈[－
，1].
∴当a＞0时，
解得
当a＜0时，
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
命题角度2 可化为sinx或cosx的二次函数型
例5 已知|x|≤
，求函数f（x）＝cos2x＋sinx的最小值.
解 y＝f（x）＝cos2x＋sinx＝－sin2x＋sinx＋1.
令t＝sinx，∵|x|≤
，∴－
≤sinx≤
则y＝－t2＋t＋1＝－（t－
）2＋
（－
≤t≤
），
∴当t＝－
时，f（x）有最小值，且最小值为－（－
反思与感悟 在换元时要立刻写出新元的范围，否则极易出错.
跟踪训练5 已知函数f（x）＝－sin2x－asinx＋b＋1的最大值为0，最小值为－4，若实数a>
0，求a，b的值.
解 令t＝sinx，则
g（t）＝－t2－at＋b＋1＝－
2＋
＋b＋1，
且t∈[－1，1].根据对称轴t0＝－
与区间[－1，1]的位置关系进行分类讨论.
①当－
≤－1，即a≥2时，
②当－1<
0，即0<
a<
2时，
（舍）或
（舍），
综上所述，a＝2，b＝－2.
类型五 数形结合思想在三角函数中的应用
例6 已知方程sin（x＋
）＝
在[0，π]上有两个解，求实数m的取值范围.
解 函数y＝sin（x＋
），x∈[0，π]的图象如图所示，方程sin（x＋
在[0，π]上有两个解等价于函数y1＝sin（x＋
），y2＝
在同一平面直角坐标系中的图象在[0，π]上有两个不同的交点，所以
＜1，即
≤m＜2.
反思与感悟 数形结合思想贯穿了三角函数的始终，对于与方程解有关的问题以及在研究y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的性质和由性质研究图象时，常利用数形结合思想.
跟踪训练6 设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0）.若f（x）在区间[
]上具有单调性，且f（
）＝f（
）＝－f（
），则f（x）的最小正周期为.
答案 π
解析 记f（x）的最小正周期为T.由题意知
≥
.又f（
），且
可作出示意图如图所示（一种情况），
∴x1＝（
）×
x2＝（
＝x2－x1＝
，∴T＝π.
1.若一个α角的终边上有一点P（－4，a），且sinα·
，则a的值为（ ）
A.4
B.±
4
C.－4
或－
D.
答案 C
解析 由三角函数定义可知，r＝
sinα＝
sinα·
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