学年苏科版初三上册数学期末复习二次函数知识点归纳与习题含答案Word文档下载推荐.docx
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时，
随
的增大而增大；
的增大而减小；
有最小值
．
向下
有最大值
三、二次函数图象的平移
1.平移步骤：
方法一：
⑴将抛物线解析式转化成顶点式
，确定其顶点坐标
；
⑵保持抛物线
的形状不变，将其顶点平移到
处，具体平移方法如下：
2.平移规律：
在原有函数的基础上“
值正右移，负左移；
值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴
沿
轴平移:
向上（下）平移
个单位，
变成：
（或
）；
⑵
沿轴平移：
向左（右）平移
）
四、二次函数
与
的比较
从解析式上看，
是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
，其中
五、二次函数
图象的画法：
五点绘图法：
利用配方法将二次函数
化为顶点式
，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：
顶点、与
轴的交点
、以及
关于对称轴对称的点
、与
，
（若与
轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：
开口方向，对称轴，顶点，与
轴的交点，与
轴的交点.
六、二次函数
的性质
1.当
时，抛物线开口向上，对称轴为
，顶点坐标为
当
2.当
时，抛物线开口向下，对称轴为
．当
七、二次函数解析式的表示方法
1.一般式：
为常数，
2.顶点式：
3.两根式：
是抛物线与
轴两交点的横坐标）.
注意：
任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与
轴有交点，即
时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1.二次项系数
：
二次函数
中，
作为二次项系数，显然
决定了抛物线开口的大小和方向，
的正负决定开口方向，
的大小决定开口的大小．
2.一次项系数
在二次项系数
确定的前提下，
决定了抛物线的对称轴．
的符号的判定：
在
轴左边则
，在
轴的右侧则
，概括的说就是“左同右异”
3.常数项
决定了抛物线与
轴交点的位置．
总之，只要
都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3.已知抛物线与
轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
九、二次函数与一元二次方程：
1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与
轴交点情况）：
一元二次方程
是二次函数
当函数值
时的特殊情况。
图象与
轴的交点个数：
①当
时，图象与
轴交于两点
，其中的
是一元二次方程
的两根．这两点间的距离
.②当
轴只有一个交点；
③当
轴没有交点.
当
时，图象落在
轴的上方，无论
为任何实数，都有
轴的下方，无论
．
2.抛物线
的图象与
轴一定相交，交点坐标为
3.二次函数常用解题方法总结：
⑴求二次函数的图象与
轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶根据图象的位置判断二次函数
中
的符号，或由二次函数中
的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与
轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标。
十、二次函数考查重点与常见题型
1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以
为自变量的二次函数
的图像经过原点，则
的值是。
2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
如图，如果函数
的图像在第一、二、三象限内，那么函数
的图像大致是（）
yyyy
11
0x-1ox0x01x
ABCD
3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：
已知一条抛物线经过（0,3），（4,6）两点，对称轴为
，求这条抛物线的解析式。
4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
已知抛物线
（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－
。
（1）确定抛物线的解析式；
（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
二次函数典型例题：
一、由抛物线的位置确定系数的符号
例1
（1）二次函数
的图像如图1，则点
在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，则下列结论：
①a、b同号；
②当x=1和x=3时，函数值相等；
③4a+b=0；
④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个
（1）
（2）
【点评】弄清抛物线的位置与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的关键．
例2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（-2，O）、（x1，0），且1<
x1<
2，与y轴的正半轴的交点在点（O，2）的下方．下列结论：
①a<
b<
0；
②2a+c>
O；
③4a+c<
④2a-b+1>
O，其中正确结论的个数为（）A1个B.2个C.3个D．4个
二、会用待定系数法求二次函数解析式
例3.已知：
关于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标为（）
A（2，-3）B.（2，1）C（2，3）D．（3，2）
例4、已知抛物线y=
x2+x-
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【点评】本题
（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第
（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．
函数主要关注：
通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；
借助多种现实背景理解函数；
将函数视为“变化过程中变量之间关系”的数学模型；
渗透函数的思想；
关注函数与相关知识的联系。
三、二次函数常见压轴题
第一类：
二次函数应用销售利润类问题
例5、某商品的进价每件为50元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出70件，市场调查反映：
如果每件的售价每涨10元（售价每件不能高于140元），那么每星期少卖5件，设每件涨价x元（x为10的正整数倍），每周销售量为y件。
⑴求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。
⑵如何定价才能使每周的利润最大且每周销量较大？
每周的最大利润是多少？
点拨：
销售总利润=销售量×
（售价-进价）本类题主要考查学生用二次函数知识解决实际问题中的最值问题（如最大利润、最大面积、材料最值、时间最少，效率最高等问题），及函数自变量取值对最值的约束等知识。
复习时注意，自变量的取值限制条件：
如正整数倍，非负整数倍，自然数倍，2的整数倍等条件的限制。
第二类：
二次函数与几何图形综合（面积、动点）
例6、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），直线x=m（m＞2）与x轴交于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在直线x=m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在
（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？
若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；
若不存在，请说明理由．
本类题主要考察二次函数表达式的求法，二次函数与几何知识的运用。
面广，知识综合性强。
复习时要着重深究点、线、面中所包含的隐含条件，要用运动、发展、全面的观点去分析图形，并注意到图形运动过程中的特殊位置。
练习题
一、选择题
1.二次函数
的顶点坐标是（）
A.（2,－11）B.（－2，7）C.（2，11）D.（2，－3）
2.把抛物线
向上平移1个单位，得到的抛物线是（）
A.
B.
C.
D.
3.函数
和
在同一直角坐标系中图象可能是图中的（）
4.已知二次函数
的图象如图所示,则下列结论:
①a,b同号;
②当
时,函数值相等;
③
④当
时,
的值只能取0.其中正确的个数是（）
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.已知二次函数
的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象（如图）,由图象可知关于
的一元二次方程
的两个根分别是
（ ）
Ａ．－１.３B.-2.3C.-0.3D.-3.3
6.已知二次函数
的图象如图所示，则点
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
7.方程
的正根的个数为（）
A.0个B.1个C.2个.3个
8.已知抛物线过点A（2,0）,B（-1,0）,与
轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为
C.
或
9.已知函数y=x2-2x-2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（）A．-1≤x≤3；
B．-3≤x≤1；
C．x≥-3；
D．x≤-1或x≥3
10.把二次函数
用配方法化成
的
形式（）
A.
C.
二、填空题
11．二次函数
的对称轴是
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