第9章-梁的弯曲变形与刚度计算优质PPT.ppt
《第9章-梁的弯曲变形与刚度计算优质PPT.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第9章-梁的弯曲变形与刚度计算优质PPT.ppt(61页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
,y,x,A,B,C,C1,9.1工程实际中的弯曲变形问题,F,必须注意:
梁轴线弯曲成曲线后,在x轴方向也有线位移。
9.1工程实际中的弯曲变形问题,y,x,A,B,C,C1,F,但在小变形情况下,梁的挠度远小于跨长,横截面形心沿x轴方向的线位移与挠度相比属于高阶微量,可略去不计。
挠曲线:
梁变形后的轴线称为挠曲线。
挠曲线方程:
式中,x为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w为该点的挠度。
y,x,A,B,C,C1,9.1工程实际中的弯曲变形问题,F,挠度与转角的关系:
y,x,A,B,C,C1,9.1工程实际中的弯曲变形问题,F,9.2挠曲线的近似微分方程,横力弯曲时,M和都是x的函数。
略去剪力对梁的位移的影响,则,纯弯曲时曲率与弯矩的关系为,由几何关系知,平面曲线的曲率可写作,曲线向上凸时:
w0,M0,因此,M与w的正负号相同。
M0w0,M0w0,曲线向下凸时:
w0,M0,由于挠曲线是一条非常平坦的曲线,w2远比1小,可以略去不计,于是上式可写成,此式称为梁的挠曲线近似微分方程。
(Approximatelydifferentialequationofthedeflectioncurve),称为近似的原因:
(1)略去了剪力的影响;
(2)略去了w2项。
再积分一次,得挠度方程,上式积分一次得转角方程,若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量,上式可改写成,式中:
积分常数C1、C2可通过梁挠曲线的边界条件和变形的连续性条件来确定。
9.3积分法求弯曲变形,简支梁,悬臂梁,边界条件(boundarycondition),wA0,wB0,wA0,qA0,连续性条件(Continuitycondition),在挠曲线的任一点上,有唯一的挠度和转角。
如:
不可能,不可能,c,例1:
图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用。
试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角max。
A,B,l,x,y,解:
以梁左端A为原点,取直角坐标系,令x轴向右,y轴向上为正。
(1)列弯矩方程,F,
(2)列挠曲线近似微分方程并积分,(3)确定积分常数,代入式(a)和(b),得:
C10,C20,在x0处,w0,在x0处,q0,A,B,l,x,y,F,(4)建立转角方程和挠度方程,将求得的积分常数C1和C2代入式(a)和(b),得梁的转角方程和挠度方程分别为:
(5)求最大转角和最大挠度,自由端B处的转角和挠度绝对值最大。
所得的挠度为负值,说明B点向下移动;
转角为负值,说明横截面B沿顺时针转向转动。
l,A,B,q,例2:
图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。
试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角max。
x,y,解:
由对称性可知,梁的两个支反力为,梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为,积分两次,简支梁的边界条件是,在x0处,w0,在xl处,w0,代入(c)、(d)式确定出积分常数,由对称性可知,在两端支座x0和xl处,转角的绝对值相等且都是最大值,在梁跨中点l/2处有最大挠度值,例3:
图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用。
试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角。
l,A,B,F,a,b,D,解:
求出梁的支反力为,将梁分为I和II两段,其弯矩方程分别为,I,II,两段梁的挠曲线方程分别为,积分一次得转角方程,再积分一次得挠曲线方程,挠曲线方程,注意:
在对梁段II进行积分运算时,对含有(x-a)的弯矩项不要展开,而以(x-a)作为自变量进行积分,这样可使下面确定积分常数的工作得到简化。
D点的连续条件:
在x=a处,q1q2,w1w2,边界条件:
在x=0处,w10,在x=l处,w20,代入方程可解得:
将积分常数代入得,转角方程,挠曲线方程,将x=0和x=l分别代入转角方程左右两支座处截面的转角,当ab时,右支座处截面的转角绝对值为最大,简支梁的最大挠度应在w0处。
研究第一段梁,令w10得,当ab时,x1a,最大挠度确实在第一段梁中,在极端情况下,当b非常小,以致b2与l2项相比可以略去不计时,讨论1:
上例中,梁中点挠度与最大挠度的关系?
则:
当F从梁中点位置向B支座移动时,b值减小时,x从0.5L向0.577L趋近(F接近B点时);
此时最大挠度的位置离梁中点最远,梁中点挠度与最大挠度应该差距较大。
梁中点C处的挠度为,结论:
在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的。
略去b2项,得,讨论2:
BD段上有无=0的点?
条件:
由于梁的变形微小,梁变形后其跨长的改变可略去不计,且梁的材料在线弹性范围内工作,因而,梁的挠度和转角均与作用在梁上的载荷成线性关系。
9.4按叠加原理计算梁的挠度和转角,在这种情况下,梁在几项载荷(如集中力、集中力偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角,就分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。
此即为叠加原理。
例1:
一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。
试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角A,B。
B,A,q,l,Me,C,解:
将梁上荷载分为两项简单的荷载。
例2:
试利用叠加法,求图示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC。
B,q,l/2,A,C,l/2,解:
该梁上荷载可视为正对称载荷与反称对载荷两种情况的叠加。
(1)正对称载荷作用下,
(2)反对称荷载作用下,在跨中C截面处,挠度wC2等于零。
(3)将相应的位移进行叠加,即得,例3用叠加法求梁中点处的挠度。
设bl/2。
l/2,l,A,B,q,b,解:
将均布荷载看作许多微集中力dF组成,dF=qdx,C,当b=l/2时,结果与例2一致.,例4叠加法(逐段刚化法)抗弯刚度为EI,求B处的挠度与转角、C处的转角。
=,+,一、梁的刚度条件:
、校核刚度:
、设计载荷。
其中称为许用转角;
w称为许用挠度。
通常依此条件进行如下三种刚度计算:
、设计截面尺寸;
9-5梁的刚度计算,例1(类似教材P159例题9-5)下图为一空心圆梁,内外径分别为:
d=40mm,D=80mm,梁的E=210GPa,工程规定C点的w=0.00001m,B点的=0.001弧度,试校核此梁的刚度。
=,+,解:
结构变换,查表求简单载荷变形(P2的计算可利用上节例4的结果)。
叠加求复杂载荷下的变形,校核刚度,所以刚度是足够的。
内外径分别为:
d=40mm,D=80mm,讨论:
强度校核问题,二、提高梁的刚度的措施,由梁的位移表(表9-3)可见,梁的变形(挠度和转角)除了与梁的支承和荷载情况有关外,还取决于以下三个因素,即,材料梁的变形与材料的弹性模量E成反比;
截面梁的变形与截面的惯性矩I成反比;
跨长梁的变形与跨长l的n次幂成正比(在各种不同荷载形式下,n分别等于1,2,3或4)。
由此可见,为了减小梁的位移,可以采取下列措施:
1.增大梁的弯曲刚度EI,对于钢材来说,采用高强度钢可以显著提高梁的强度,但对刚度的改善并不明显,因高强度钢与普通低碳钢的E值是相近的。
因此,为增大梁的刚度,应设法增大I值。
在截面面积不变的情况下,采用适当形状的截面使截面面积分布在距中性轴较远处,以增大截面的惯性矩I,这样不仅可降低应力,而且能增大梁的弯曲刚度以减小位移。
所以工程上常采用工字形、箱形等截面。
2调整跨长和改变结构,9.6简单超静定梁,A,B,q,要求解如图所示的超静定梁,可以以B端的活动铰支座为多余约束,将其撤除后而形成的悬臂梁即为原超静定梁的基本静定梁。
FB,为使基本静定梁的受力及变形情况与原静不定梁完全一致,还要求基本静定梁满足一定的变形协调条件。
FB,由于原静不定梁在B端有活动铰支座的约束,因此,还要求基本静定梁在B端的挠度为零,即,此即应满足的变形协调条件(或变形相容条件),建立补充方程,wBF,wBq,由图可见,B端的挠度为零,可将其视为均布载荷引起的挠度wBq与未知支座反力FB引起的挠度wBF的叠加结果,即:
由表9.3查得力与变形间的物理关系:
将其代入前式得:
即得补充方程,由此解出多余约束反力:
再利用平衡方程即可求得其他支座反力。
1:
选取适当的多余约束,得到基本静定梁;
2:
利用相应的变形协调条件和物理关系建立补充方程;
3:
与平衡方程联立解出所有的支座反力,解静不定梁时,选择哪个约束为多余约束并不是固定的,可根据解题时的方便而定。
解静不定梁的步骤,这种解静不定梁的方法,称为变形比较法。
求解静不定问题的方法还有多种,以力为未知量的方法称为力法,变形比较法属于力法中的一种。
这时要求此梁满足的变形条件为:
MA,由表查得,因q和MA而引起的截面A的转角分别为,对于上例,可以取固定端A的力偶矩为多余约束反力来进行计算:
MA,将其代入变形条件后得补充方程为,由此解得,、变形协调方程,解:
、建立静定基,例1结构如图,求B处反力。
LBC,、物理方程变形与力的关系,、补充方程,LBC,弯曲应变能的计算:
应变能等于外力功。
不计剪切应变能并略去,d,M,d,q,9.7梁的弯曲应变能,例已知EI,P,a,求梁的应变能。
解:
利用对称性,得:
本章结束,