一元二次方程易错题Word文档下载推荐.docx

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A．2007B．2008C．2009D．2010

6．已知a是方程x2﹣5x+1=0的一个根，那么a4+a﹣4的末位数字是（　　）

A．3B．5C．7D．9

二．填空题（共24小题）

7．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为　_________　．

8．关于x的一元二次方程mx2+m2=x2_2x+1的一个根为0，那么m的值为　_________　．

9．已知实数x满足（x2﹣5x+5）x=1，则实数x的值可以是　_________　．

10．已知a是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则a4﹣3a﹣2的值为　_________　．

11．（2002•绍兴）若一个三角形的三边长均满足方程x2﹣6x+8=0，则此三角形的周长为　_________　．

12．用配方法解方程x2﹣4x﹣1=0配方后得到方程　_________　．

13．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2+1）=12，则这个直角三角形的斜边长为　_________　．

14．已知三角形的一条边长为2，另外两条边的长都是方程x2﹣10x+24=0的根，则三角形的周长是　_________　．

15．满足（x2+x﹣1）x+3=1的所有x的个数有　_________　个．

16．若关于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2﹣1=0的一根是0，则a=　_________　．

17．若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根互为相反数，则p=　_________　；

若两根互为倒数，则q=　_________　．

18．（2010•烟台）方程x2﹣2x﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1﹣1）（x2﹣1）=　_________　．

19．（2010•泸州）已知一元二次方程x2﹣（

+1）x+

﹣1=0的两根为x1、x2，则

=　_________　．

20．（2010•南通）设x1、x2是一元二次方程x2+4x﹣3=0的两个根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，则a=　_________　．

21．（2010•苏州）若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3、b，则a+b=　_________　．

22．（2010•鄂州）已知α，β是一元二次方程x2﹣4x﹣3=0的两实数根，则代数式（α﹣3）（β﹣3）=　_________　．

23．（2010•成都）设x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为

　_________　．

24．（2008•铜仁地区）设一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1，x2，则两根与方程之间有如下的关系：

x1+x2=

，x1x2=

．请根据这种关系填空：

已知x1，x2是2x2+5x+4=0的两个实数根，则

25．（2009•赤峰）已知关于x的方程x2﹣3x+2k=0的一个根是1，则k=　_________　．

26．（2010•芜湖）已知x1、x2为方程x2+3x+1=0的两实根，则x13+8x2+20=　_________　．

27．设a，b是方程x2+x﹣2009=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　_________　．

28．已知关于x的方程x2﹣px+q=0的两个根分别是0和﹣2，则p和q的值分别是　_________　，　_________　．

29．（2007•天津）方程

的整数解x=　_________　．

30．（2006•日照）已知，关于x的方程x2+

=1，那么x+

+1的值为　_________　．

B组

答案

考点：

一元二次方程的解。

专题：

方程思想。

分析：

由一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=

、以及已知条件求出方程的另一根是﹣1，然后将﹣1代入原方程，求a﹣b的值即可．

解答：

解：

∵关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是﹣a（a≠0），

∴x1•（﹣a）=a，即x1=﹣1，

∴1﹣b+a=0，

∴a﹣b=﹣1．

故选A．

点评：

本题主要考查了一元二次方程的解．解答该题时，还借用了一元二次方程的根与系数的关系x1•x2=

．

解一元二次方程-因式分解法。

把a，b中的一个当作未知数，就可得到一个方程，解方程即可求解．

两边同乘以a，得到：

a2+（

﹣2b）a﹣2=0，

解这个关于a的方程得到：

a=2b，或a=﹣

，

∵a+

≠0，∴a≠﹣

故a=2b，∴

=2．故选C．

把其中的一个字母当作未知数，转化为方程问题是解决关键．

换元法解分式方程；

根的判别式。

换元法。

设x2+3x=y，把原方程化为整式方程，求得y的值后，即为x2+3x的值．

设x2+3x=y，则原方程变为：

﹣y=2，

方程两边都乘y得：

3﹣y2=2y，

整理得：

y2+2y﹣3=0，

（y﹣1）（y+3）=0，

∴y=1或y=﹣3，

当x2+3x=1时，△＞0，x存在．

当x2+3x=﹣3时，△＜0，x不存在．

∴x2+3x=1，

当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．需注意换元后得到的根也必须进行验根．

根与系数的关系；

根据一元二次方程根与系数的关系可得：

α+β=3，α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=32﹣2×

（﹣2）=13，α2β2=（αβ）2=（﹣2）2=4，则可以写出α2、β2为根的一元二次方程．而利用一元二次方程根的判别式可以判定方程根的情况．

A、根据一元二次方程根与系数的关系可得：

α+β=3，故A正确．

B、∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×

1×

（﹣2）=17＞0，故一元二次方程有两个不等实数根，所以α≠β，故B正确．

C、根据一元二次方程根与系数的关系可得：

α+β=3，αβ=﹣2，所以

，故C错误．

D、α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=32﹣2×

（﹣2）=13，α2β2=（αβ）2=（﹣2）2=4，所以以α2、β2为根的一元二次方程是y2﹣13y+4=0，故D正确．

故选C．

本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，题目典型，综合性较强，是一道很好的题目．

首先根据方程的解的定义，得m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，则有m2﹣2007m=m﹣2009，n2﹣2007n=n﹣2009，再根据根与系数的关系，得mn=2009，进行求解．

∵m，n是方程x2﹣2008x+2009=0的两根，

∴m2﹣2008m+2009=0，n2﹣2008n+2009=0，mn=2009．

∴（m2﹣2007m+2009）（n2﹣2007n+2009）=（m﹣2009+2009）（n﹣2009+2009）=mn=2009．

此题综合运用了方程的解的定义和根与系数的关系．

完全平方公式；

本题根据一元二次方程的根与系数的关系求解，方程x2﹣5x+1=0两根之积为1，已知x=a是方程的一个根，则方程的另一个根为a﹣1．则a4+a﹣4=232﹣2，故可求得代数式的末位数字．

∵a是方程x2﹣5x+1=0的一个根，

∴两根之积为1，则另一个根为a﹣1，

∴a+a﹣1=5，

∴a4+a﹣4=（a2+a﹣2）2﹣2=[（a+a﹣1）2﹣2]2﹣2，

∵232末位数字是9，

∴a4+a﹣4末位数字为7．

故本题选C．

本题考查一元二次方程根与系数的关系：

x1+x2=﹣

，x1•x2=

．要求熟练运用此公式解题．解题关键是能用完全平方公式把a4+a﹣4表示为[（a+a﹣1）2﹣2]2﹣2的形式．

7．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，那么a的值为　﹣1　．

计算题。

由题意知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根是0，所以直接把一个根是0代入一元二次方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0中即可求出a．

∵0是方程（a﹣1）x2﹣x+a2﹣1=0的一个根，

∴a2﹣1=0，

∴a=±

1，

但a=1时一元二次方程的二次项系数为0，舍去，

∴a=﹣1．

此题主要考查一元二次方程的定义，比较简单，直接把x=0代入方程就可以解决问题，但求出的值一点要注意不能使方程二次项系数为0．

8．关于x的一元二次方程mx2+m2=x2_2x+1的一个根为0，那么m的值为　﹣1　．

本题根据一元二次方程的根的定义，一元二次方程的定义求解；

把x=0代入原方程即可求得m的值．

把x=0代入方程mx2+m2=x2_2x+1，

得m2=1，

解得m=±

1；

∵mx2+m2=x2_2x+1整理得（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0，

∴m﹣1≠0即m≠1，

∴m=﹣1．

本题逆用一元二次方程解的定义易得出m的值，但不能忽视一元二次方程成立的条件m﹣1≠0，因此在解题时要重视解题思路的逆向分析．

9．已知实数x满足（x2﹣5x+5）x=1，则实数x的值可以是　0，1，2，4　．

一元二次方程的解；

零指数幂。

分类讨论。

根据任何不等于0的数的0次幂都等于1；

1的任何次幂都等于1；

根据﹣1的偶次幂都等于1，三种情况讨论．

当x=0，x2﹣5x+5≠0时，x=0；