河北省唐山市届高三第二次模拟考试数学理试题+Word版含答案Word下载.docx

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第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.展开式的常数项为．（用数字作答）

14.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为．

15.在四棱锥中，底面，底面是正方形，，三棱柱的顶点都位于四棱锥的棱上，已知分别是棱的中点，则三棱柱的体积为．

16.数列满足，若时，，则的取值范围是．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.如图，在平面四边形中，,设.

（1）若，求的长度；

（2）若，求.

18.为了研究黏虫孵化的平均温度（单位：

）与孵化天数之间的关系，某课外兴趣小组通过试验得到如下6组数据：

组号

1

2

3

4

5

6

平均温度

15.3

16.8

17.4

18

19.5

21

孵化天数

16.7

14.8

13.9

13.5

8.4

6.2

他们分别用两种模型①，②分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：

经计算得，

（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？

（给出判断即可，不必说明理由）

（2）残差绝对值大于1的数据被认为是异常数据，需要剔除，剔除后应用最小二乘法建立关于的线性回归方程.（精确到0.1）

，.

19.如图，在三棱柱中，，平面平面.

（1）求证：

；

20.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，交轴于点为坐标原点.

（1）若,求直线的方程；

（2）线段的垂直平分线与直线轴，轴分别交于点，求的最小值.

21.设.

（1）证明：

在上单调递减；

（2）若，证明：

.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．选修4-4：

坐标系与参数方程

在极坐标系中，曲线，曲线，点，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系.

（1）求曲线和的直角坐标方程；

（2）过点的直线交于点，交于点，若，求的最大值.

23．选修4-5：

不等式选讲

已知.

（2）判断等式能否成立，并说明理由.

理科数学参考答案

一．选择题：

A卷：

BACDBCDBDCAB

B卷：

BACDCCDBDBAB

二．填空题：

（13）15（14）（15）1（16）[2，＋∞）

三．解答题：

17．解：

（1）由题意可知，AD＝1．

在△ABD中，∠DAB＝150°

，AB＝2，AD＝1，由余弦定理可知，

BD2＝

（2）2＋12－2×

2×

1×

（－）＝19,

BD＝．

（2）由题意可知，AD＝2cosθ，∠ABD＝60°

－θ，

在△ABD中，由正弦定理可知，

＝，

即＝4，

整理得tanθ＝．

18．解：

（1）应该选择模型①．

（2）剔除异常数据，即组号为4的数据，

剩下数据的平均数＝（18×

6－18）＝18；

＝（12.25×

6－13.5）＝12．

＝1283.01－18×

13.5＝1040.01；

＝1964.34－182＝1640.34．

＝＝≈－1.97，

＝－＝12＋1.97×

18≈47.5，

所以y关于x的线性回归方程为：

＝－2.0x＋47.5．

19．解：

（1）因为平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，又BC⊥AC，

所以BC⊥平面AA1C1C，

因为C1C平面AA1C1C，

从而有BC⊥C1C．

因为∠A1CC1＝90°

，所以A1C⊥C1C，

又因为BC∩A1C＝C，

所以C1C⊥平面A1BC，

A1B平面A1BC，

所以CC1⊥A1B．

（2）如图，以C为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立空间直角坐标系C-xyz．

由∠A1CC1＝90°

，AC＝AA1得

A1C＝AA1．

不妨设BC＝AC＝AA1＝2，

则B（2，0，0），C1（0，－1，1），A（0，2，0），A1（0，1，1），

所以＝（0，－2，0），＝（－2，－1，1），＝（2，－2，0），

设平面A1BC1的一个法向量为m，

由·

m＝0，·

m＝0，可取m＝（1，0，2）．

设平面ABC1的一个法向量为n，

n＝0，·

n＝0，可取n＝（1，1，3）．

cos〈m，n〉＝＝，

又因为二面角A1-BC1-A为锐二面角，

所以二面角A1-BC1-A的余弦值为．

20．解：

（1）设直线l的方程为x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），

由得y2－4my－4＝0，

y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．

所以kOA＋kOB＝＋＝＝－4m＝4．

所以m＝－1，

所以l的方程为x＋y－1＝0．

（2）由

（1）可知，m≠0，C（0，－），D（2m2＋1，2m）．

则直线MN的方程为y－2m＝－m（x－2m2－1），则

M（2m2＋3，0），N（0，2m3＋3m），F（1，0），

S△NDC＝·

|NC|·

|xD|＝·

|2m3＋3m＋|·

（2m2＋1）＝，

S△FDM＝·

|FM|·

|yD|＝·

（2m2＋2）·

2|m|＝2|m|（m2＋1），

则＝＝m2＋＋1≥2，

当且仅当m2＝，即m2＝时取等号．

所以，的最小值为2．

其它解法参考答案给分．

21．解：

（1）f'

（x）＝．

令h（x）＝1－－lnx，则h'

（x）＝－＝，x＞0，

所以0＜x＜1时，h'

（x）＞0，h（x）单调递增，

又h

（1）＝0，所以h（x）＜0，

即f'

（x）＜0，所以f（x）单调递减．

（2）g'

（x）＝axlna＋axa－1＝a（ax－1lna＋xa－1），

当0＜a≤时，lna≤－1，所以ax－1lna＋xa－1≤xa－1－ax－1．

由（Ⅰ）得＜，所以（a－1）lnx＜（x－1）lna，即xa－1＜ax－1，

所以g'

（x）＜0，g（x）在（a，1）上单调递减，

即g（x）＞g

（1）＝a＋1＞1．

当＜a＜1时，－1＜lna＜0．

令t（x）＝ax－xlna－1，0＜a＜x＜1，则t'

（x）＝axlna－lna＝（ax－1）lna＞0，

所以t（x）在（0，1）上单调递增，即t（x）＞t（0）＝0，

所以ax＞xlna＋1．

所以g（x）＝ax＋xa＞xa＋xlna＋1＝x（xa－1＋lna）＋1＞x（1＋lna）＋1＞1．

综上，g（x）＞1．

22．解：

（1）曲线C1的直角坐标方程为：

x2＋y2－2y＝0；

曲线C2的直角坐标方程为：

x＝3．

（2）P的直角坐标为（－1，0），设直线l的倾斜角为α，（0＜α＜），

则直线l的参数方程为：

（t为参数，0＜α＜）

代入C1的直角坐标方程整理得，

t2－2（sinα＋cosα）t＋1＝0，

t1＋t2＝2（sinα＋cosα）

直线l的参数方程与x＝3联立解得，t3＝，

由t的几何意义可知，

|PA|＋|PB|＝2（sinα＋cosα）＝λ|PQ|＝，整理得，

4λ＝2（sinα＋cosα）cosα＝sin2α＋cos2α＋1＝sin（2α＋）＋1，

由0＜α＜，＜2α＋＜，

所以，当2α＋＝，即α＝时，λ有最大值（＋1）．

23．解：

（1）由题意得（a＋b）2＝3ab＋1≤3（）2＋1，当且仅当a＝b时，取等号．

解得（a＋b）2≤4，又a，b＞0，

所以，a＋b≤2．

（2）不能成立．

＋≤＋，

因为a＋b≤2，

所以＋≤1＋，

因为c＞0，d＞0，cd＞1，

所以c＋d＝＋≥＋＞＋1，

故＋＝c＋d不能成立．