一元二次方程知识点总结Word文档下载推荐.docx
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③、如果，则得，例如：
④、如果，则得，例如：
。
其中，叫做二次项，叫做二次项系数；
叫做一次项，叫做一次项系数；
叫做常数项。
任何一个一元二次方程经过整理（去括号、移项、合并同类项…）都可以化为一般形式。
例题：
将方程化成一元二次方程的一般形式.
解：
去括号，得：
移项、合并同类项，得：
（一般形式的等号右边一定等于0）
3.一元二次方程的解法：
（1）、直接开方法：
（利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解）形式：
举例：
解方程：
解：
方程两边除以9，得：
（2）、配方法：
（理论依据：
根据完全平方公式：
，将原方程配成的形式，再用直接开方法求解.）
举例：
配方法解一元二次方程（）的步骤：
解：
①、二次项系数化为1.（两边都除以二次项系数.）
②、移项.（把常数项移到=号右边.）
③、配方.（两边都加上一次项系数绝对值一半的
平方，把原方程化成的形式）
④、求解.（用直接开方法求出方程的解.）
（3）、公式法：
（求根公式：
）
公式法解一元二次方程的步骤：
解：
①、把一元二次方程化为一般形式：
（）
②、确定的值.
③、求出的值.
④、若，则把及的值代入求
根公式，求出和，若，则方程无解。
（4）、分解因式法：
，则或；
利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。
）
【1】提公因式分解因式法：
①、解方程：
②、解方程：
解：
原方程可变形为：
或或
【2】运用公式分解因式法：
②、解方程：
解：
或
或
【3】十字相乘分解因式法（简单、常用、重要的一元二次方程解法）：
十字相乘法：
1-6交叉相乘：
，
1+1即等于一次项系数。
所以可以分解成
解：
或
【4】其它常见类型举例：
②、解方程：
（换元法）
解：
令，原方程可化为：
，即：
或，即
，
或，即
方程无解。
原方程的解为：
4.一元二次方程的应用：
①、数字问题.
②、面积问题.（牢记有关面积的公式，熟练计算组合图形的面积、面积的转化.）
③、平均增长率（或降低率）问题.其基本关系式：
，其中是增长（或降低）的基础量，是平均增长（或降低）率，是增长（或降低）的次数（常考的是两年期，即，），是增长（或降低）后的数量（总量），增长为“+”，降低为“-”.
④、商品利润问题（重点）.基本公式：
1、单件利润=单件进价
2、总利润=单件利润销售量
⑤、运动问题、动点问题。
例题：
将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。
问：
为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？
这时应进货多少个？
解法一：
设售价定为元，依题意可得：
整理得：
解得：
售价应定为60元或80元.
当定为60元时，应进货个；
当定为80元时，应进货个；
解法二：
设上涨元，依题意可得：
售价应定为10+50=60元或30+50=80元.
5.常考题型及其相应的知识点：
（1）、利用一元二次方程的一个已知根求系数及求另一个根问题：
例1：
关于的一元二次方程有一根为0，则的值为______.
思路分析：
有一根为0，说明有，可代入原方程求出.
注意：
一元二次方程时刻不要忘记对二次项系数的讨论：
将代入原方程得：
即：
又因为即
的值为.
例2：
一元二次方程的一个根为，则另一个根为_______.
先将已知的一个根代入原方程，解出未知系数，再解出此时一元二次方程的两根.
解：
原方程即为：
（2）、判别式：
，方程根的情况：
判别式与一元二次方程根的情况：
方程有两个不相等的实数根.
方程有两个相等的实数根（或说方程有一个实数根）.
方程没有实数根.
关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是______.
方程有实数根，但具体不知道有多少个根，所以有.
因为方程有实数根，
即：
例2：
方程的根的情况是（）.
A、只有一个实数根.B、有两个相等的实数根.C、有两个不相等的实数根.D、没有实数根
判别方程根的情况，之需要计算判别式的值与0比较.
方程没有实数根，选择D.
（2）、一元二次方程根与系数关系，韦达定理：
如果是一元二次方程（）的两根，根据韦达定理，则有：
已知一元二次方程的两根，则____，____.
根据韦达定理得：
另外：
利用韦达定理求一些重要代数式（、、）的值：
①、
②、
③、
若方程的两根为，则的值为 _____.
例3：
已知关于的一元二次方程的两实数根是，且 ，则的值是____.
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