1、、如果,则得,例如:、如果,则得,例如:。其中,叫做二次项,叫做二次项系数;叫做一次项,叫做一次项系数;叫做常数项。任何一个一元二次方程经过整理(去括号、移项、合并同类项)都可以化为一般形式。 例题:将方程化成一元二次方程的一般形式. 解: 去括号,得: 移项、合并同类项,得: (一般形式的等号右边一定等于0)3. 一元二次方程的解法:(1)、直接开方法:(利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解) 形式: 举例:解方程: 解:方程两边除以9,得:(2)、配方法:(理论依据:根据完全平方公式:,将原方程配成的形式,再用直接开方法求解.)举例: 配方法解一元二次方程 ()的步骤: 解: 、二
2、次项系数化为1. (两边都除以二次项系数.) 、移项.(把常数项移到=号右边.) 、配方.(两边都加上一次项系数绝对值一半的 平方,把原方程化成的形式) 、求解.(用直接开方法求出方程的解.)(3)、公式法:(求根公式:) 公式法解一元二次方程的步骤:解: 、把一元二次方程化为一般形式:() 、确定的值. 、求出的值. 、若,则把及的值代入求 根公式,求出和,若,则方程无解。(4)、分解因式法:,则或;利用提公因式、运用公式、十字相乘等分解因式方法将原方程化成两个因式相乘等于0的形式。)【1】提公因式分解因式法:、解方程: 、解方程: 解:原方程可变形为: 或 或 【2】运用公式分解因式法:
3、、解方程: 解: 或 或 【3】十字相乘分解因式法(简单、常用、重要的一元二次方程解法):十字相乘法:1 -6 交叉相乘:, 1 +1 即等于一次项系数。所以可以分解成 解: 或【4】其它常见类型举例: 、解方程: (换元法) 解:令,原方程可化为:,即: 或 ,即 , 或,即 方程无解。 原方程的解为:4. 一元二次方程的应用:、数字问题.、面积问题.(牢记有关面积的公式,熟练计算组合图形的面积、面积的转化.)、平均增长率(或降低率)问题.其基本关系式:,其中是增长(或降低)的基础量,是平均增长(或降低)率,是增长(或降低)的次数(常考的是两年期,即,),是增长(或降低)后的数量(总量),增
4、长为“+”,降低为“-”.、商品利润问题(重点).基本公式: 1、单件利润=单件进价 2、总利润=单件利润销售量、运动问题、动点问题。例题:将进货单价为40元的商品按50元售出时,能卖出500个,已知这种商品每个涨价1元,其销售量就减少10个。问:为了赚得8000元的利润,售价应定为多少?这时应进货多少个? 解法一:设售价定为元,依题意可得: 整理得: 解得: 售价应定为60元或80元.当定为60元时,应进货个;当定为80元时,应进货个; 解法二:设上涨元,依题意可得: 售价应定为10+50=60元或30+50=80元.5. 常考题型及其相应的知识点:(1)、利用一元二次方程的一个已知根求系数
5、及求另一个根问题: 例1:关于的一元二次方程有一根为0,则的值为_. 思路分析:有一根为0,说明有,可代入原方程求出. 注意:一元二次方程时刻不要忘记对二次项系数的讨论:将代入原方程得: 即: 又因为 即 的值为. 例2:一元二次方程 的一个根为,则另一个根为_.先将已知的一个根代入原方程,解出未知系数,再解出此时一元二次方程的两根. 解: 原方程即为: (2)、判别式:,方程根的情况: 判别式与一元二次方程根的情况: 方程有两个不相等的实数根. 方程有两个相等的实数根(或说方程有一个实数根). 方程没有实数根.关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是_.方程有实数根,但具体不知道有多少个根,所以有. 因为方程有实数根, 即: 例2:方程的根的情况是( ). A、只有一个实数根. B、有两个相等的实数根. C、有两个不相等的实数根. D、没有实数根判别方程根的情况,之需要计算判别式的值与0比较. 方程没有实数根,选择D. (2)、一元二次方程根与系数关系,韦达定理: 如果是一元二次方程 ()的两根,根据韦达定理,则有: 已知一元二次方程的两根,则_,_.根据韦达定理得:另外:利用韦达定理求一些重要代数式(、)的值: 、 、 、若方程的两根为,则的值为_. 例3:已知关于的一元二次方程的两实数根是,且 ,则的值是_.
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