高考数学玩转压轴题专题72创新型问题.docx

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高考数学玩转压轴题专题72创新型问题

专题7.2创新型问题

一．方法综述

对于创新型问题，包括：

（Ⅰ）将实际问题抽象为数学问题，此类问题往往含有文字语言、符号语言、图表语言，要明确题中已知量与未知量的数学关系，要理解生疏的情境、名词、概念，将实际问题数学化，将现实问题转化为数学问题，构建数学模型，运用恰当的数学方法解模（如借助不等式、导数等工具加以解决）。

（Ⅱ）创新性问题

①以新概念、新定义给出的信息迁移型创新题，运用“老知识”解决新问题是关键.

②以新运算给出的发散型创新题，检验运算能力、数据处理能力.

③以命题的推广给出的类比、归纳型创新题，要注意观察特征、寻找规律，充分运用特殊与一般的辩证关系进行求解.

二．解题策略

类型一实际应用问题

【例1】【北京市石景山区2018届第一学期期末】小明在如图1所示的跑道上匀速跑步，他从点出发，沿箭头方向经过点跑到点，共用时，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为，他与教练间的距离为，表示与的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）

A．点B．点C．点D．点

【答案】D

【指点迷津】解答应用性问题要先审清题意，然后将文字语言转化为数学符号语言，最后建立恰当的数学模型求解．其中，函数、数列、不等式、概率统计是较为常见的模型．

【举一反三】【辽宁省沈阳市郊联体2017-2018上学期期末】2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施，如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点变轨进入月球球为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴长，给出下列式子：

①②③④

其中正确的式子的序号是（）

A．②③B．①④C．①③D．②④

【答案】B

类型二创新性问题

【例2】设D是函数y＝f（x）定义域内的一个区间，若存在x0∈D，使得f（x0）＝－x0，则称x0是f（x）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在“次不动点”．若函数f（x）＝ax2－3x－a＋在区间[1,4]上存在“次不动点”，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，0]　　　　　　　　B.

C.D.

【答案】C

【解析】由题意，方程ax2－3x－a＋＝－x在区间[1,4]上有解，显然x≠1，所以方程ax2－3x－a＋＝－x在区间（1,4]上有解，即求函数a＝在区间（1,4]上的值域，

令t＝4x－5，则t∈（－1,11]，a＝，当t∈（－1,0]时，a≤0；

当t∈（0,11]时，0＜a＝≤＝，当且仅当t＝3时取等号．

综上，实数a的取值范围是.

【指点迷津】高中数学创新试题呈现的形式是多样化的，但是考查的知识和能力并没有太大的变化，解决创新性问题应注意三点：

认真审题，确定目标；深刻理解题意；开阔思路，发散思维，运用观察、比较、类比、猜想等进行合理推理，以便为逻辑思维定向．方向确定后，又需借助逻辑思维，进行严格推理论证，这两种推理的灵活运用，两种思维成分的交织融合，便是处理这类问题的基本思想方法和解题策略．

【例3】定义：

如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常，那么这个列叫作等差列，这个常叫作等差列的公差．已知向量列{an}是以a1＝（1,3）为首项，公差为d＝（1,0）的等差向量列，若向量an与非零向量bn＝（xn，xn＋1）（n∈N*）垂直，则＝________.

【答案】－

【解析】易知an＝（1,3）＋（n－1,0）＝（n,3），因为向量an与非零向量bn＝（xn，xn＋1）（n∈N*）垂直，

所以＝－，所以＝········＝××××××××＝－.

【指点迷津】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。

对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。

但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。

【举一反三】【2017·青岛一模】如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）＋x2f（x2）＞x1f（x2）＋x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．

给出下列函数：

①y＝x2；②y＝ex＋1；③y＝2x－sinx；④f（x）＝以上函数是“H函数”的所有序号为________．

【答案】②③

④显然，函数f（x）为偶函数，而偶函数在y轴两侧的单调性相反，故不合题意．

综上，②③为“H函数”．

3.如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy＝θ，平面上任意一点P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：

若＝xe1＋ye2（其中e1，e2分别是x轴，y轴正方向上的单位向量），则点P的斜坐标为（x，y），向量的斜坐标为（x，y）．

给出以下结论：

①若θ＝60°，P（2，－1），则||＝；

②若P（x1，y1），Q（x2，y2），则＋＝（x1＋x2，y1＋y2）；

③若＝（x1，y1），＝（x2，y2），则·＝x1x2＋y1y2；

④若θ＝60°，以O为圆心、1为半径的圆的斜坐标方程为x2＋y2＋xy－1＝0.

其中所有正确结论的序号是________．

【答案】①②④

三．强化训练

1．【北京市朝阳区2018届第一学期期末】伟大的数学家高斯说过：

几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题．一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：

的一种“图形证明”．

证明思路：

（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；

（2）左图中阴影区域的面积为，右图中，设，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含，的式子表示）；

（3）由图中阴影面积相等，即可导出不等式．当且仅当满足条件__________________时，等号成立．

【答案】

2．若直角坐标平面内不同两点P，Q满足条件：

①P，Q都在函数y＝f（x）的图象上；

②P，Q关于原点对称，则称（P，Q）是函数y＝f（x）的一个“伙伴点组”（点组（P，Q）与（Q，P）可看成同一个“伙伴点组”）．已知函数f（x）＝有两个“伙伴点组”，则实数k的取值范围是______________．

【答案】

【解析】设点是函数的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点必在该函数图象上，故，消去，整理得．若函数有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不等的正实数根，得，解得，即实数的取值范围是，故答案为．

3．【湖北省襄阳市2018届1月调研统测】若函数对定义域D内的每一个x1，都存在唯一的x2∈D，使得成立，则称f（x）为“自倒函数”．给出下列命题：

①是自倒函数；

②自倒函数f（x）可以是奇函数；

③自倒函数f（x）的值域可以是R；

④若都是自倒函数，且定义域相同，则也是自倒函数．

则以上命题正确的是_______（写出所有正确命题的序号）．

【答案】①②

4．已知函数f（x）＝alog2|x|＋1（a≠0），定义函数给出下列命题：

①F（x）＝|f（x）|；

②函数F（x）是奇函数；

③当a>0时，若x1x2<0，x1＋x2>0，则F（x1）＋F（x2）>0成立；

④当a<0时，函数y＝F（x2－2x－3）存在最大值，不存在最小值．

其中所有正确命题的序号是________．

【答案】②③

【解析】　①因为，而，这两个函数的定义域不同，不是同一函数，即不成立，①错误；

②当时，，

；

当时，，

，

所以函数是奇函数，②正确；

③当时，在上是单调增函数．若，不妨设，所以，又因为函数是奇函数，，所以，③正确；

④函数，

当时，因为，

所以既没有最大值，也没有最小值．

5．如图所示，放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：

①若－2≤x≤2，则函数y＝f（x）是偶函数；

②对任意的x∈R，都有f（x＋2）＝f（x－2）；

③函数y＝f（x）在区间[2,3]上单调递减；

④函数y＝f（x）在区间[4,6]上是减函数．

其中判断正确的序号是________．（写出所有正确结论的序号）

【答案】①②④

∴函数的周期是4，因此最终构成的图象如下：

①根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，

∴①正确；

②由图象可知函数的周期是4，∴②正确；

③由图象可判断函数y＝f（x）在区间[2,3]上单调递增，∴③错误；

④由图象可判断函数y＝f（x）在区间[4,6]上是减函数，∴④正确．

故答案为①②④．

6．【河北省定州中学2017-2018上学期第二次月考】设函数的定义域为，若函数满足下列两个条件，则称在定义域上是闭函数．①在上是单调函数；②存在区间，使在上值域为．如果函数为闭函数，则的取值范围是_______．

【答案】

故答案为

7．【湖南省长郡中学2018届高三月考】设函数的定义域为，如果，，使（为常数）成立，则称函数在上的均值为．给出下列四个函数：

①；②；③；④．则其中满足在其定义域上均值为2的函数是__________．

【答案】③

8．【北京丰台二中2018届上学期期中考试】对于的子集，定义的“特征数列”为，，，，其中，其余项均为．例如：

子集的“特征数列”为，，，，，，．

（）子集的“特征数列”的前项和等于__________．

（）若的子集的“特征数列”，，，满足，，；的子集的“特征数列”，，，满足，，，则的元素个数为__________．

【答案】217

【解析】（）据“特征数列”的定义可知子集的“特征数列”为，，，，，，，，故其前三项和为．

9．【2016·开封联考】如图所示，由曲线y＝x2，直线x＝a，x＝a＋1（a>0）及x轴围成的曲边梯形的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间，即．运用类比推理，若对∀n∈N*，恒成立，则实数A＝________．

【答案】

【解析】令，

依据类比推理可得A1＝dx＝ln（n＋1）－lnn，A2＝dx＝ln（n＋2）－ln（n＋1），…，An＝dx＝ln（2n）－ln（2n－1），所以A＝A1＋A2＋…＋An＝ln（n＋1）－lnn＋ln（n＋2）－ln（n＋1）＋…＋ln（2n）－ln（2n－1）＝ln（2n）－lnn＝ln2．

10．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由微机记录后显示的图象如图325所示．现给出下列说法：

图325

①前5min温度增加的速度越来越快；②前5min温度增加的速度越来越慢；③5min以后温度保持匀速增加；④5min以后温度保持不变．

其中正确的说法是________．（填序号）

【答案】②④

【解析】由图像可知前5min中温度增加，但是增加速度越来越慢，所以②对，①错。

5min以后温度图像是一条水平线，所以温度保持不变，④对，③错，选②④。

11．【湖北省枣阳市高级中学2018届上学期10月份月考】如图，多边形由一个矩形和一个去掉一个角的正方形组成，现有距离为且与边平行的两条直线截取该多边形所得图形（阴影部分）的面积为，其中表示与间的距离，当时，=__________．

【答案】

12．【湖南省株洲市2018届质量统测】如表给出一个“等差数阵”：

其中每行、每列都是等差数列，表示位于第行第列的