高考数学理科真题汇编解析第六章数列.docx
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高考数学理科真题汇编解析第六章数列
第六章数列
第一节等差数列与等比数列
题型67等差（等比）数列的公差（公比）
1.（2017北京理10）若等差数列
和等比数列
满足
，
，则
_______.
解析由
，
，则
，由
，
，则
，则
.故
.
2.（2017全国1理4）记
为等差数列
的前
项和．若
，
，则
的公差为（）.
A．1B．2C．4D．8
解析
，
，联立
，得
，即
，所以
.故选C.
3.（2017全国2理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？
”意思是：
一座7层塔共挂了
盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）.
A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
解析设顶层灯数为
，
，
，解得
．故选B.
4.（2017全国3理14）设等比数列
满足
，
，则
___________．
解析因为
为等比数列，设公比为
．
由题意得
，即
显然
，
，
，得
，即
，代入
式可得
，
所以
．
题型68等差、等比数列求和问题的拓展
1.（2017全国1理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：
已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是
，接下来的两项是
，
，再接下来的三项是
，
，
，依此类推.求满足如下条件的最小整数
且该数列的前
项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（）.
A.
B.
C.
D.
解析设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推．
设第
组的项数为
，则
组的项数和为
，由题意得，
，令
，
得
且
，即
出现在第13组之后，第
组的和为
，
组总共的和为
，若要使前
项和为2的整数幂，则
项的和
应与
互
为相反数，即
，
，得
的最小值为
，
则
.故选A.
2.2017山东理19）已知
是各项均为正数的等比数列，且
，
，
（1）求数列
的通项公式；
（2）如图所示，在平面直角坐标系
中，依次联结点
，
，…，
得到折线
，求由该折线与直线
，
，
所围成的区域的面积
.
解析
（1）设数列
的公比为
，由已知
.
由题意得
，所以
，
因为
，所以
，因此数列
的通项公式为
（2）过
向
轴作垂线，垂足分别为
，
由
（1）得
记梯形
的面积为
.
由题意
，
所以
又
，得
所以
题型69等差、等比数列的性质及其应用
1.（2017江苏09）等比数列
的各项均为实数，其前
项的和为
，已知
，
，则
．
解析解法一：
由题意等比数列公比不为
，由
，因此
，得
．
又
，得
，所以
．故填
．
解法二（由分段和关系）：
由题意
，所以
，即
．下同解法一．
2.（2017全国2理15）等差数列
的前
项和为
，
，
，则
．
解析设
首项为
，公差为
．由
，
，得
，
，所以
，
，
.
题型70判断或证明数列是等差、等比数列
1.（2017江苏19）对于给定的正整数
，若数列
满足
对任意正整数
总成立，则称数列
是“
数列”．
（1）证明：
等差数列
是“
数列”；
（2）若数列
既是“
数列”，又是“
数列”，证明：
是等差数列．
解析
（1）因为
是等差数列，设其公差为
，则
，
从而当
时，
，
，
所以
，因此等差数列
是“
数列”．
（2）由数列
既是“
数列”，又是“
数列”，
因此，当
时，
①
当
时，
②
由①知，
③
④
将③④代入②，得
，其中
，
所以
是等差数列，设其公差为
．
在①中，取
，则
，所以
，
在①中，取
，则
，所以
，
从而数列
是等差数列．
评注这是数列新定义的问题，其实类似的问题此前我们也研究过，给出仅供参考．
（2015南通基地密卷7第20题）设数列
的各项均为正数，若对任意的
，存在
，
使得
成立，则称数列
为“
型”数列．
（1）若数列
是“
型”数列，且
，
，求
；
（2）若数列
既是“
型”数列，又是“
型”数列，证明数列
是等比数列．
解析
（1）由题意得，
成等比数列，
且公比
，所以
．
（2）由
是“
型”数列得
成等比数列，设公比为
，
由
是“
型”数列得
成等比数列，设公比为
；
成等比数列，设公比为
；
成等比数列，设公比为
；
则
，
，
，
所以
，不妨令
，则
．
所以
，
，
所以
，
综上
，从而
是等比数列．
2.（2017北京理20）设
和
是两个等差数列，记
，其中
表示
这
个数中最大的数．
（1）若
，
，求
的值，并证明
是等差数列；
（2）证明：
或者对任意正数
，存在正整数
，当
时，
；或者存在正整数
，使得
是等差数列．
解析
（1）
，
，
.
当
时，
，
所以
关于
单调递减.从而
，
将
代入，满足此式，所以对任意
，
，于是
，得
是等差数
列.
（2）设数列
和
的公差分别为
，则
.
所以
.
①当
时，取正整数
，则当
时，
，因此
.
此时，
是等差数列.
②当
时，对任意
，
.
此时，
是等差数列.
③当
时，
当
时，有
，所以
.
对任意正数
，取正整数
，
故当
时，
.
题型71等差数列与等比数列的交汇问题——暂无
第二节数列的通项公式与求和
题型72数列通项公式的求解
题型73数列的求和
1.（2017天津理18）已知
为等差数列，前
项和为
，
是首项为2的等比数列，且公比大于0，
，
，
.
（1）求
和
的通项公式；
（2）求数列
的前n项和
.
解析
（1）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
.
由已知
，得
，而
，所以
.
又因为
，解得
.所以
.
由
，可得
①
由
，可得
②
联立①②，解得
，
，由此可得
.
所以数列
的通项公式为
，数列
的通项公式为
.
（2）设数列
的前n项和为
，
由
，
，有
，
故
，
，
上述两式相减，得
，
得
.
所以数列
的前
项和为
.
2.（2017全国3理9）等差数列
的首项为1，公差不为0．若
，
，
成等比数列，则数列
前6项的和为（）.
A．
B．
C．3D．8
解析因为
为等差数列，且
成等比数列，设公差为
，则
，即
.因为
，代入上式可得
，又
，则
，所以
.故选A.
第三节数列的综合
题型74数列与不等式的综合
1.（2017浙江理22）已知数列
满足：
，
.证明：
当
时.
（1）
；
（2）
；
（3）
.
解析
（1）用数学归纳法证明：
.
当
时，
，假设
时，
，
那么
时，若
，则
，矛盾，故
.
因此
，所以
.
因此
.
（2）由
，得
.
记函数
.
，
知函数
在
上单调递增，所以
，
因此
，即
.
（3）因为
，得
，以此类推，
，所以
，故
.
由
（2）知，
，即
，
所以
，故
.
综上，
.
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