信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)Word格式文档下载.doc
《信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)Word格式文档下载.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《信息安全数学基础期末考试试卷及答案(A卷)Word格式文档下载.doc(8页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
5.设n是一个奇合数,设整数b与n互素,如果整数n和b满足条件________________,则n叫做对于基b的拟素数。
6.设是两个群,f是到的一个映射。
如果对任意的,都有_______________,那么f叫做到的一个同态。
7.加群Z的每个子群H都是________群,并且有或______________。
8.我们称交换环R为一个域,如果R对于加法构成一个______群,对于乘法构成一个_______群。
二、计算题(本大题共3小题,每小题8分,共24分)
1.令。
用广义欧几里德算法求整数,使得。
2.求同余方程的解数。
3.计算3模19的指数。
三、解同余方程(本大题共2小题,每小题10分,共20分)
1.求解一次同余方程。
2.解同余方程组
四、证明题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)
1.证明:
如果是整数,则能够被6整除。
2.是群到的一个同态,,其中是的单位元。
证明:
是的正规子群。
3.证明:
如果和是不同的素数,则。
五、应用题(共11分)RSA公钥加密算法的密钥生成步骤如下:
选择两个大的素数p和q,计算n=pq。
选择两个正整数e和d,满足:
ed=1(mod)。
Bob的公钥是(n,e),对外公布。
Bob的私钥是d,自己私藏。
如果攻击者分解n得到p=47,q=23,并且已知e=257,试求出Bob的私钥d。
答案
一、填空题(每空2分,共24分)
1.两个整数a,b,其最大公因数和最小公倍数的关系为。
2.给定一个正整数m,两个整数a,b叫做模m同余,如果,记作;
否则,叫做模m不同余,记作。
3.设m,n是互素的两个正整数,则。
则使得成立的最小正整数叫做a对模m的指数,记做。
如果a对模m的指数是,则a叫做模m的原根。
5.设n是一个奇合数,设整数b与n互素,如果整数n和b满足条件,则n叫做对于基b的拟素数。
如果对任意的,都有,那么f叫做到的一个同态。
7.加群Z的每个子群H都是循环群,并且有或。
8.我们称交换环R为一个域,如果R对于加法构成一个交换群,对于乘法构成一个交换群。
二、计算题(每题8分,共24分)
1.解:
3589=2*1613+363
1613=4*363+161
363=2*161+41
161=3*41+38
41=1*38+3
38=12*3+2
3=1*2+1
2=2*1
(a,b)=1,从而
1=3-1*2
=3-1*(38-12*3)
=-38+13*(41-1*38)
=13*41-14*(161-3*41)
=-14*161+55*(363-2*161)
=55*363+(-124)*(1613-4*363)
=(-124)*1613+551*(3589-2*1613)
=551*3589+(-1226)*1613
所以s=-1226t=551
2.解:
因为(-2/67)=(65/67)
=(13/67)(5/67)
=(-1)12*66/4(-1)4*66/4(2/13)(2/5)
=1*1*(-1)(13*13-1)/8(-1)(5*5-1)/8
=-1*(-1)=1
所以-2是67的平方剩余
所以x2≡-2(mod67)有2个解。
3.解:
因为(19)=18,所以只需对18的因数d=1,2,3,6,9,18计算ad(mod19)
因为31≡3,32≡9,33≡8,36≡7,39≡-1,218≡1(mod19)
所以3模19的指数为18;
三、解同余方程(每题10分,共20分)
1.解:
因为(17,21)=1|14故原同余式有解。
又17x≡1(mod21,所以特解x0'
≡5(mod21)。
同余式17x≡14(mod21)的一个特解为x0≡14*x0'
=14*5≡7(mod21)
所有解为:
x≡7(mod21)
令,,
。
分别求解同余式(i=1,2,3)
得到,,。
故同余式的解为
四、证明题(每题7分,共21分)
因为a3-a=(a-1)a(a+1)
当a=3k,kZ3|a则3|a3-a
当a=3k-1,kZ3|a+1则3|a3-a
当a=3k+1,kZ3|a-1则3|a3-a
所以a3-a能被3整除。
又因为(a-1),a,(a+1)是3个连续的整数,所以至少有一个是偶数,
从而2|a3-a。
因此,a3-a能够被6整除。
2.证明:
因为(p,q)=1p,q都为素数所以(p)=p-1,(q)=q-1
由Euler定理知:
p(q)≡1(modq)q(p)≡1(modp)
即pq-1≡1(modq)qp-1≡1(modp)
又qp-1≡0(modq)pq-1≡0(modp)
所以pq-1+qp-1≡1(modq)qp-1+pq-1≡1(modp)
又[p,q]=pq所以pq-1+qp-1≡1(modpq)
对任意,有,从而,
因此,,是群的子群。
对任意,,我们有
这说明。
从而,是群的正规子群。
五(11分)
解:
p=47,q=23,n=pq=1081.所以,
。
要求Bob的私钥d,即解同余式257d=1(mod).
利用欧几里得算法解得该同余式的解为949。
故Bob的私钥是d=949.
8