数字信号处理讲义--第5章线性时不变系统的变换分析Word格式文档下载.doc

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对于一个给定的输入x（n），其输出y（n）为

对等式两端取Z变换，得

则

（5-1）

两边做离散傅立叶变换有:

|Y（ejω）|=|H（ejω）|·

|X（ejω）|（5-2）

|X（ejω）| 

arg［Y（ejω）］=arg［H（ejω）］+arg［X（ejω）］

|H（ejω）|幅度响应:

增益/幅频特性调整输入信号各频率分量的相对强度（幅度）关系

Arg[H（ejω）]频率响应的相位响应:

相移/相频特性调整输入信号各频率分量的相对位置（相位）关系

H（ejω）调整输入信号各频率分量的相对大小（幅度）及位置（相位）关系

5.1.1理想低通滤波器的选择性

5.1.2相位失真与延时

线性相位:

不会改变信号的相对位置,时延相同

线性相位的效应:

时延

非线性相位：

改变信号的相对位置时延不相同

5.2用线性常系数差分方程所表征系统的系统函数

一个线性时不变系统也可以用常系数线性差分方程来表示，其N阶常系数线性差分方程的一般形式为

若系统起始状态为零，这样就可以直接对上式两端取Z变换，利用Z变换的线性特性和移位特性可得

这样就得到系统函数为

（5-3）

由此看出系统函数分子、分母多项式的系数分别就是差分方程的系数。

式（5-3）是两个z-1的多项式之比，将其分别进行因式分解，可得

（5-4）

式中，z=ck是H（z）的零点，z=dk是H（z）的极点，它们都由差分方程的系数ak和bk决定。

因此，除了比例常数b0/a0以外，系统函数完全由它的全部零点、极点来确定。

但是式（5-3）（或式（5-4））并没有给定H（z）的收敛域，因而可代表不同的系统。

这在前面我们说过，差分方程并不惟一地确定一个线性系统的单位脉冲响应是一致的。

同一个系统函数，收敛域不同，所代表的系统就不同，所以必须同时给定系统的收敛域才行。

而对于稳定系统，其收敛域必须包括单位圆，因而，在Z平面以极点、零点图描述系统函数，通常都画出单位圆以便看出极点是在单位圆内还是位于单位圆外。

5.2.1因果性与稳定性

因果性:

单位脉冲响应h（n）为因果序列的系统称为因果系统，因此因果系统的系统函数H（z）具有包括z=∞点的收敛域，即

（5-5）

稳定性:

一个线性时不变系统稳定的充分必要条件为h（n）必须满足绝对可和条件，即

而Z变换的收敛域由满足 的那些z值确定，因此稳定系统的系统函数H（z）必须在单位圆上收敛，即收敛域包括单位圆|z|=1，H（ejω）存在。

因果稳定系统

因果稳定系统是最普遍、最重要的一种系统，它的系统函数H（z）必须在从单位圆到∞的整个Z域内收敛，即

（5-6）

也就是说，系统函数的全部极点必须在单位圆内。

例5-1已知系统函数为

2<

|z|≤∞

求系统的单位脉冲响应及系统性质。



解系统函数H（z）有两个极点z1=0.5,z2=2。



从收敛域看，收敛域包括∞点，因此系统一定是因果系统。

但是单位圆不在收敛域内，因此可以判定系统是不稳定的。

由于2nu（n）项是发散的，可见系统确实是不稳定的。

例5-2系统函数不变，但收敛域不同。

解收敛域包括单位圆但不包括∞点，因此系统是稳定的但是非因果的。

由系统函数的Z反变换可得

由于存在2nu（-n-1）项，因此系统是非因果的。

5.2.2逆系统

定义:

（1）如一个系统不同的输入下，就有不同的输出，则系统是可逆的；

如系统是可逆的，那就有一个逆系统存在

（2）一个可逆的系统与原系统级联后，输出就会等于输入：

令：

记H（z）的逆系统

若，已知，求，正问题；

多数情况如此

若，已知，求，逆问题；

已知系统和输出，求源

心电逆问题，脑电逆问题

已知输入输出，求系统

矿物勘探、地球物理等领域

由输出求输出和系统这两种情况都要用到“逆系统”和“反卷积”的概念：

如果

互为逆系统

最小相位系统 稳定的充要条件

1.若系统输入、输出已知，希望求系统

调整的参数，使接近等于，则

2.若系统输入未知，输出已知，希望求系统

3.若系统输出已知，再知道输入或系统，欲求另一个，可采用反卷积的方法：

M依次递推

deconv.m

5.2.3有理系统函数的单位脉冲响应

在第四章讨论了用部分分式展开技术求Z反变换的方法。

对于一个N阶的系统函数，它的一般表示式为

该系统函数是z-1的有理函数，如果它仅仅具有一阶极点，那么它通常可以展开成如下形式:

（5-7）

前面一个和式是通过长除法得到的，只有在M≥N时才存在。

如假设系统是因果的，则H（z）的收敛域必须是在所有极点的外侧。

H（z）对应的单位脉冲响应为

（5-8）

在线性时不变系统中，分成两类不同的系统：

若系统的单位脉冲响应延伸到无穷长，称之为“无限长单位脉冲响应系统”，简写为IIR系统。

若系统的单位脉冲响应是一个有限长序列，称之为“有限长单位脉冲响应系统”，简称为FIR系统。

从IIR系统的定义可知，若要h（n）为无限长序列，那么在式（5-8）中，至少有一项Akdnku（n），也即要求H（z）至少有一个非零极点。

这只要式（5-7）的分母多项式除a0外至少有一个系数ak≠0，则在有限Z平面就会出现极点，那么这个系统就是IIR系统。

如果除a0外全部ak=0（k=1,2,…,N），则系统就属于FIR系统。

这是因为前面已说过，有限长序列h（n）的Z变换H（z）在有限Z平面0<

|z|<

∞收敛。

也就是说，H（z）在有限Z平面不能有极点，只存在零点。

这时系统函数H（z）可表示为

（5-9）

单位脉冲响应为：

（5-10）

系统的差分方程：

（5-11）

（5-11）

从结构类型来看，IIR系统除a0外至少有一个ak≠0，其差分方程表达式（设a0=1）为

（5-12）

可以看出，ak≠0，求y（n）时，需将各y（n-k）反馈过来，用-ak加权后和各bkx（n-k）相加，因而有反馈环路，这种结构称为“递归型”结构。

也可以看出，IIR系统输出不但和各x（n-k）有关，且和各y（n-k）有关。

如果全部ak=0（k=1,2,…,N），则没有反馈环路，称之为“非递归型”结构。

也可以看出，FIR系统的输出只和各输入x（n-k）有关。

IIR只能采用递归型结构，FIR系统多采用非递归型，但若用零点、极点互相抵消的办法，则也可采用含有递归结构的电路。

例5-3考虑一个因果系统，其输入输出满足差分方程

y（n）=0.5y（n-1）+x（n）

显然，其系统函数为

因系统是因果系统，故其收敛域为|z|>

0.5。

该系统的单位脉冲响应为

因h（n）为无限长，故为IIR系统。

例5-4一个FIR系统的单位脉冲响应为

则系统函数为

（5-13）

其零点

k=0,1,…,（N-1）

z=a处有一极点。

假设a是正实数，显然z=a的极点被z=a的零点抵消。

若N=8，则极-零点图如图5-1所示。

其差分方程为线性卷积，即

（5-14）

从式（5-12）最右边的H（z）表示式可得另一种形式的差分方程

y（n）-ay（n-1）=x（n）-aNx（n-N）（5-15）

式（5-14）和式（5-15）是两种等价的差分方程，因为它们是从两个等价