全国中考数学分类汇编 专题 三角形.docx

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全国中考数学分类汇编专题三角形

一、选择题

1.如图，AB的中垂线为CP交AB于点P，且AC=2CP．甲、乙两人想在AB上取D、E两点，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：

甲作∠ACP、∠BCP的角平分线，分别交AB于D、E两点，则D、E即为所求；乙作AC、BC的中垂线，分别交AB于D、E两点，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列正确的是（）

A．两人都正确B．两人都错误

C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确

【答案】A．

∴∠ACP=60°，

∵CD平分∠ACP，

∴∠ACD=∠ACP=30°，

∴∠ACD=∠A，

∴AD=DC，

同理CE=BE，

即D、E为所求；

∵D在AC的垂直平分线上，

∴AD=CD，

同理CE=BE，

即D、E为所求，

故选A．

2.如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，有以下结论：

①EM=FN；②CD=DN；③∠FAN=∠EAM；④△ACN≌△ABM．

其中正确结论的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

试题解析：

在△AEB和△AFC中，

∴△AEM≌△AFN，

∴EM=FN，AM=AN，故①正确，

∵AC=AB，

∴CM=BN，

在△CMD和△BNC中，

故选D．

3.一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为（）

A．10海里/小时B．30海里/小时C．20海里/小时D．30海里/小时

【答案】D.

试题解析：

∵∠CAB=10°+20°=30°，∠CBA=80°-20°=60°，

∴∠C=90°，

∵AB=20海里，

∴AC=AB•cos30°=10（海里），

∴救援船航行的速度为：

10÷=30（海里/小时）．

故选D．

4.如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）

A．200米B．200米C．220米D．100（+1）米

【答案】D.

故选D．

5.如图，市政府准备修建一座高AB=6m的过街天桥，已知天桥的坡面AC与地面BC的夹角∠ACB的正弦值为，则坡面AC的长度为（）m．

A．10B．8C．6D．6

【答案】A.

故选A．

6.王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）

A．mB．100mC．150mD．m

试题解析：

AD=AB•sin60°=；

BD=AB•cos60°=50，∴CD=150．

∴AC=．

故选D．

7.如图所示，将纸片△ABC沿着DE折叠压平，则（）

A．∠A=∠1+∠2B．∠A=（∠1+∠2）

C．∠A=（∠1+∠2）D．∠A=（∠1+∠2）

【答案】B.

故选B．

8.如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：

①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是（）

A．①B．②C．①和②D．①②③

试题解析：

如图，连接AD；

在△ABE与△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（SAS）；

，

∴△ADC≌△ADB（SAS），

∴∠CAD=∠BAD；

综上所述，①②③均正确，

故选D

9.三角形的两边长分别是3和6，第三边是方程x2-6x+8=0的解，则这个三角形的周长是（）

A．11B．13C．11或13D．11和13

试题解析：

方程x2-6x+8=0，

分解因式得：

（x-2）（x-4）=0，

可得x-2=0或x-4=0，

解得：

x1=2，x2=4，

当x=2时，三边长为2，3，6，不能构成三角形，舍去；

当x=4时，三边长分别为3，4，6，此时三角形周长为3+4+6=13．

故选B．

10.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（）

A．B．C．D．

【答案】B．

11.如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（）

A．2B．2C．2+2D．2+2

试题解析：

过点B作BO⊥AC于O，延长BO到B′，使OB′=OB，连接DB′，交AC于E，

此时DB′=DE+EB′=DE+BE的值最小．

连接CB′，易证CB′⊥BC，

根据勾股定理可得DB′=，

则△BDE周长的最小值为2+2．

故选C．

12.如图，一座厂房屋顶人字架的跨度AC=12m，上弦AB=BC，∠BAC=25°．若用科学计算器求上弦AB的长，则下列按键顺序正确的是（）

【答案】B.

即按键顺序正确的是．

故选B．

13.【费县】如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC=（）

A．B．2C．3D．+2

【答案】C.

故选C．

14.王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地（）

A．mB．100mC．150mD．m

试题解析：

AD=ABsin60°=；

BD=ABcos60°=50，∴CD=150．

∴AC=．

故选D．

15.如图，A、B是4×5网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是1，图中使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的格点C有（）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【答案】B.

故选B．

16.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）

A．25°B．30°C．35°D．40°

试题解析：

分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，

分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，

∴OC=OD=CD，

即△OCD是等边三角形，

∴∠COD=60°，

∴∠AOB=30°；

故选B．

二、填空题

1.【费县】如图，小阳发现电线杆AB的影子落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为米．

【答案】14+2.

【解析】

试题解析：

如图，延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E．

=…②，

①②联立，解得x=14+2（米）．

2.如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为．

试题解析：

∵∠AFB=90°，D为AB的中点，

∴DF=AB=2.5，

∵DE为△ABC的中位线，

∴DE=BC=4，

∴EF=DE-DF=1.5.

3.如图，一游人由山脚A沿坡角为30°的山坡AB行走600m，到达一个景点B，再由B沿山坡BC行走200m到达山顶C，若在山顶C处观测到景点B的俯角为45°，则山高CD=（结果用根号表示）．

【答案】（300+100）m．

∵BC=200m，

∴CE=BC=100m；

∵∠A=30°，AB=600m，

∴BF=AB=300m，

∴CD=CE+ED=CE+BF=（300+100）m．

4.如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行100米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，那么山高AD为米（结果保留整数，测角仪忽略不计，≈1.414，，1.732）

【答案】137.

即山高AD为137米．

5.如图，在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2=A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3=A2D；…，按此做法进行下去，∠An的度数为．

【答案】．

【解析】

试题解析：

∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，

∴∠BA1A==80°，

∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，

∴∠CA2A1==40°；

同理可得，

∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，

∴∠An=．

6.如图，在高楼AB前D点测得楼顶A的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得楼顶A的仰角为60°，则该高楼AB的高度为米．

【答案】30.

∴x=30

即AB=30米．

7.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的两动点，且总使AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则=．

【答案】．

8.如图，方格纸中有三个格点A、B、C，则sin∠ABC=．

【答案】．

【解析】

试题解析：

如图所示：

过点A作AD⊥BC于点D，连接AC，

三、解答题

1.如图，在我市的上空一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，沿航线AB的正下方有两个景点水城明珠大剧院（记为点C），光岳楼（记为点D），飞机在A处时，测得景点C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了3千米到B处时，往后测得景点C的俯角为30°．而景点D恰好在飞机的正下方，求水城明珠大剧院与光岳楼之间的距离（最后结果精确到0.1千米）

试题分析：

首先证明△ABC是直角三角形，分别在RT△ABC，RT△ABD中求出BC、BD、BE，再在RT△CDE中利用勾股定理即可解决问题．

试题解析：

由题意，∠BAC=60°，∠ABC=30°，∠BAD=90°，

∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-30°-60°=90°，

∴在RT△ABC中，BC=ABcos30°=3×=（千米），

在RT△ABD中，BD=ABtan30°=3×=（千米），

∴CD=≈2.3（千米）．

2.如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求证：

BC∥EF．

【答案】证明见解析.

【解析】

试题分析：

根据已知条件得出△ACB≌△DEF，即可得出∠ACB=∠DFE，再根据内错角相等两直线平行，即可证明BC∥EF．

试题解析：

∵AF=DC，

∴AC=DF，

又∵AB=DE，∠A=∠D，

∴△ACB≌△DEF，

∴∠ACB=∠DFE，

∴BC∥EF．

3.已知：

如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，点P、D分别在边BC、AC上，AP2=AD•AB，求∠APD的正弦值．

【答案】.

【解析】

∵AB=AC，

∴BE=CE=×24=12，

∴AE=

∴sin∠APD=sin∠ABC=.

4.某路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B点的仰角分别是60°和45°，求路况显示牌BC的长度．（结果保留根号）

【答案】（-3）米．

5.为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE．（sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，tan18°≈0.3249）（精确到0.1m）

在Rt△ABD中，∠BAD=18°，AB=9m，

∴BD=AB×tan18°≈2.92m，

∴CD=BD-BC=2.