数值积分算法与MATLAB实现毕业论文设计Word下载.docx

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目录

前言

第一章牛顿-科特斯求积公式

第一节数值求积公式的构造

第二节复化求积公式

第三节本章小结

第二章高精度数值积分算法

第一节梯形法的递推

第二节龙贝格求积公式

第三节高斯求积公式

第四节高斯-勒让德求积公式

第五节复化两点高斯-勒让德求积公式

第六节本章小结

第三章各种求积公式的MATLAB编程实现与应用

第一节几个低次牛顿-科特斯求积公式的MATLAB实现

第二节复化求积公式的MATLAB实现

第三节龙贝格求积公式的MATLAB实现

第三节高斯-勒让德求积公式的MATLAB实现

第五节各种求积算法的分析比较

结论

致谢

参考文献

附录

一、英文原文

二、英文翻译

对于定积分，在求某函数的定积分时，在一定条件下，虽然有牛顿-莱布里茨公式可以计算定积分的值，但在很多情况下的原函数不易求出或非常复杂。

被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，例如等；

有的函数的原函数存在，但其表达式太复杂，计算量太大，有的甚至无法有解析表达式。

因此能够借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。

另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解，只能设法求其近似值。

因此，探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的，即有必要研究定积分的数值计算方法，以解决定积分的近似计算。

而数值积分就是解决此类问题的一种有效的方法，它的特点是利用被积函数在一些节点上的信息求出定积分的近似值。

微积分的发明是人类科学史上一项伟大的成就，在科学技术中，积分是经常遇到的一个重要计算环节。

数值积分是数学上重要的课题之一，是数值分析中重要的内容之一，也是应用数学研究的重点。

随着计算机的出现，近几十年来，对于数值积分问题的研究已经成为一个很活跃的研究领域。

现在，数值积分在计算机图形学，积分方程，工程计算，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有着很重要的意义。

国内外众多学者在数值积分应用领域也提出了许多新方法。

在很多实际应用中，只能知道积分函数在某些特定点的取值，比如天气测量中的气温、湿度、气压等，医学测量中的血压、浓度等等。

通过这个课题的研究，我们将会更好地掌握运用数值积分算法求特殊积分函数的定积分的一些基本方法、理论基础；

并且通过matlab软件编程的实现，应用于实际生活中。

大多数实际问题的积分是需要用数值积分方法求出近似结果的。

数值积分原则上可以用于计算各种被积函数的定积分，无论被积函数是解析解形式还是数表形式，其基本原理都是用多项式函数近似代替被积函数，用多项式的积分结果近似代替对被积函数的积分。

由于所选多项式形式的不同，可以有许多种数值积分方法。

而利用插值多项式来构造数值求积公式是最常用的一种方法。

对于积分，用一个容易积分的函数去代替被积函数，这样的自然以多项式为最佳，因为多项式能很好的逼近任何连续函数，而且容易求出其原函数。

一、求积公式的推导

在积分区间上取有限个点，作的次插值多项式，其中，为次插值基函数。

用近似代替被积函数，

则得

若记

则得数值求积公式

其中称为求积系数，称为求积节点。

则称该求积公式为插值型求积公式。

知道了插值型求积公式以及其构造方法。

为了便于计算与应用，常将积分区间的等分点作为求积节点，这样构造出来的插值型求积公式就称为牛顿-科特斯（Newton-Cotes）求积公式。

在积分区间上取个等距节点，其中，做次拉格朗日插值多项式，因为，所以

记

截去第二项得

显然与无关，只与节点有关。

令，则当时，，于是

而

从而得

记

则

故求积公式可写成

这就是牛顿-科特斯求积公式，其中称为科特斯系数。

部分科特斯系数取值如下表1.1

科特斯系数具有以下特点[1]

（1）

（2）

（3）当³

8时，出现负数，稳定性得不到保证。

而且当较大时，由于Runge现象，收敛性也无法保证。

故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。

（4）当£

7时，牛顿-科特斯公式是稳定的。

表1.1部分科特斯系数表

知道了什么是牛顿-科特斯求积公式，下面我们来看它的误差估计，首先来看看牛顿-科特斯求积公式的截断误差。

我们知道牛顿-科特斯求积公式是一个插值型数值求积公式，当用插值多项式代替进行积分时，其截断误差即积分真值和近似值之差，推导如下

，由插值多项式的误差估计可知，用次拉格朗日多项式逼近函数时产生的误差为

其中。

对上式两边从到作定积分，便可得出它的截断误差

二、几个低次牛顿-科特斯求积公式

从上面的讨论可知，用多项式近似代替被积函数进行数值积分时，虽然最高次数可是8，但是8次多项式的计算式非常繁杂的。

常用的是下面介绍的几种低次多项式。

1、矩形求积公式

定义1.1在牛顿-科特斯求积公式中，如果取，用零次多项式（即常数）代替被积函数，即用矩形面积代替曲边梯形的面积，则有

称式为矩形求积公式

根据牛顿-科特斯求积公式的误差理论式，矩形求积公式的误差估计为

2、梯形求积公式

定义1.2[1]在牛顿-科特斯求积公式中，如果取，用一次多项式代替被积函数，即用梯形面积代替曲边梯形的面积，则有

其中，,查表可得代入上式得出

称式为梯形求积公式

由于用一次多项式近似代替被积函数，所以它的精度是1。

也就是说，只有当被积函数是一次多项式时，梯形求积公式才是准确的。

根据牛顿-科特斯求积公式的误差理论式，梯形求积公式的误差估计为

是被积函数二阶导数在点的取值，

3、辛浦生求积公式

定义1.3[2]在牛顿-科特斯求积公式中，如果取，用二次多项式代替被积函数，即曲边用抛物线代替，则有

其中，，，,查表可得，，代入上式得出

称式为辛浦生求积公式，也称抛物线求积公式。

它的几何意义是：

用过3个点，，的抛物线和，构成的曲边梯形面积，近似地代替了被积函数形成的曲边和，构成的曲线梯形面积。

下面对辛浦生求积公式的误差进行估计。

由于辛浦生求积公式是用二次多项式逼近被积函数推得的，原则上它的代数精度为2.但因多项式次数是偶数，根据定理1.1可知，它的代数精度为3

过，和3个点，构造一个的三次Lagrange插值多项式,且使。

根据Lagrange插值余项定理得

对上式两边从到进行积分