黄金分割法进退法原理及流程图Word格式.docx
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具体步骤是:
在区间[a,b]内取点:
al,a2把[a,b]分为三段。
如果f(a1)>
f(a2),令a=a1,a仁a2,a2=a+r*(b-a);
如果f(a1)<
f(a2),令b=a2,a2=a1,a1=b-r*(b-a),如果|(b-a)/b|和|(y1-y2)/y2|都大于收
敛精度£
重新开始。
因为[a,b]为单峰区间,这样每次可将搜索区间缩小0.618倍或0.382倍,处理后的区间都将包含极小点的区间缩小,然后在保留下来的区间上作同样的处理,如此迭代下去,将使搜索区
[a,b]逐步缩小,直到满足预先给定的精度时,即获得一维优化问题的近似最优解。
黄金分割法原理如图1所示,
(3)程序流程如下:
4实验所编程序框图
给定a=-3,b=5,收敛精度&
=0.001
r=0.618
a1=b-r*(b-a)
y仁f(a1)
a2=a+r*(b-a)
y2=f(a2)
是
y1>
=y2
a=a1
a1=a2
y仁y2
b=a2
a2=a1y2=y1
1
r
a1=b-r*(b-a)y1=f(a1)
a2=a+r*(b-a)y2=f(a2)
(b-a)/b|<
£
和
(y2-yl)/y2|
a*=(a+b)/2
结束
#include《math.h》
#include《stdio.h》
#definef(x)x*x+2*x
doublecalc(double*a,double*b,doublee,int*n){doublex1,x2,s;
if(fabs(*b-*a)<
=e)
s=f((*b+*a)/2);
else
{x1=*b-0.618*(*b-*a);
x2=*a+0.618*(*b-*a);
if(f(x1)>
f(x2))
*a=x1;
*b=x2;
*n=*n+1;
s=calc(a,b,e,n);
}
returns;
main()
{doubles,a,b,e;
intn=0;
seanf("
%lf%lf%lf"
&
a,&
b,&
e);
s=calc(&
b,e,&
n);
printf("
a=%lf,b=%lf,s=%lf,n=%d\n"
a,b,s,n);
5程序运行结果如下图:
2进退法
(1)算法原理
进退法是用来确定搜索区间(包含极小值点的区间)的算法,其理论依据是:
f(x)为
单谷函数(只有一个极值点),且[a,b]为其极小值点的一个搜索区间,对于任意
Xi,X2[a,b],如果fxifX2,则[a,X2]为极小值的搜索区间,如果fxifX2,则[Xi,b]为极小值的搜索区间。
因此,在给定初始点xo,及初始搜索步长h的情况下,首先以初始步长向前搜索一步,计算fx0h。
(1)如果fXofx0h
则可知搜索区间为[%Xoh],其中%寺求,为确定%后退一步计算f(Xoh),
为缩小系数,且01,直接找到合适的*,使得f(x。
*h)fxo,从而确定搜
索区间[xoh,xoh]。
(2)如果fx()fxoh
则可知搜索区间为[xo,%,其中%寺求,为确定%前进一步计算f(xoh),为
放大系数,且1,知道找到合适的*,使得fxohf(xo*h),从而确定搜索
区间[xo,xo*h]。
进退法求极值
基本思想:
对f(x)任选一个初始点xi及初始步长ho,通过比较这两点函数值的大小,确定第三点位置,比较这三点的函数值大小,确定是否为“高一低-
高”形态。
算法原理
1.试探搜索:
选定初始点X1,x2=x1+ho,计算y1=f(X1),y2=f(X2)
(a)如y1>
y2,转2向右前进;
(b)如y1<
y2,转3向左后退;
Vj
*
2厂
--/
y:
图8.1
2.前进搜索
加大步长h=2h,产生新点X3=X2+2ho;
(a)女口y2<
y3,则函数在[xi,X3]内必有极小点,令a=xi,b=x3搜索区间为[a,b];
(b)如y2>
y3,
令Xi=X2,yi=y2;
X2=X3,y2=y3;
h=2h
V2
4
yi
.Y?
X
:
2
图8.3
(2)算法步骤
用进退法求一维无约束问题minf(x),xR的搜索区间(包含极小值点的区间)的基
本算法步骤如下:
(1)给定初始点x(0),初始步长ho,令hho,x⑴x(0),k0;
2)
令x(4)
x⑴h,置kk1;
3)
若fx(4)fx
(1),则转步骤(4),
否则转步骤(
5);
4)
令x
(2)
(1)
(1)(4)
(2)
x,xx,fxf
x
(1),fx
(1)
fX⑷,令h2h,
转步骤
(2);
5)
若k
1,则转步骤(6)否则转步骤(
7);
6)
令h
h,x
(2)x(4),fx
(2)f
x(4),转步骤
7)
令x(3)
x
(2),x
(2)x
(1),x
(1)x(4),
停止计算,
极小值点包含于区间
[x
(1),x
⑶]或[x⑶,x
(1)]
(3)算法的MATLAB实现
在MATLAB中编程实现的进退函数为:
minJT功能:
用进退法求解一维函数的极值区间。
调用格式:
[minx,maxx]minJT(f,x0,h0,eps)其中,f:
目标函数;
X0:
初始点;
hO:
初始步长;
eps:
精度;
minx:
目标函数取包含极值的区间左端点;
maxx:
目标函数取包含极值的区间又端点。
进退法的MATLAB程序代码如下:
function[minx,maxx]=minJT(f,xO,hO,eps)%目标函数:
f;
%初始点:
xO;
%初始步长:
hO;
%精度:
eps;
%目标函数取包含极值的区间左端点:
minx;
%目标函数取包含极值的区间又端点:
maxx;
formatlong;
ifnargin==3
eps=1.Oe-6;
endx1=xO;
k=O;
h=hO;
while1x4=x1+h;
%试探步
k=k+1;
f4=subs(f,findsym(f),x4);
f1=subs(f,findsym(f),x1);
iff4<
f1
x2=x1;
x1=x4;
f2=f1;
f1=f4;
h=2*h;
%加大步长
ifk==1h=-h;
%反向搜索x2=x4;
f2=f4;
elsex3=x2;
x2=x1;
x1=x4;
break;
end
endminx=min(x1,x3);
maxx=x1+x3-minx;
formatshort;
流程图如下: