届高考数学第一轮立体几何专项复习平面与平面的位置关系.docx

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届高考数学第一轮立体几何专项复习平面与平面的位置关系

2012届高考数学第一轮立体几何专项复习:

平面与平面的位置关系

124平面与平面的位置关系

第1时　两平面平行的判定及性质

【时目标】　1．理解并掌握两个平面平行、两个平面相交的定义．2．掌握两个平面平行的判定和性质定理，并能运用其解决一些具体问题．

1．平面与平面平行的判定定理

如果一个平面内有________________都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为________________________．

2．平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，________________________．

符号表示为：

________________ͤa∥b．

3．面面平行的其他性质：

（1）两平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于________________，即α∥βa⊂αͤ

________，可用证明线面平行；

（2）夹在两个平行平面间的平行线段________；

（3）平行于同一平面的两个平面________．

一、填空题

1．平面α∥平面β，a⊂α，b⊂β，则直线a、b的位置关系是__________．

2．下列各命题中假命题有________个．

①平行于同一直线的两个平面平行；

②平行于同一平面的两个平面平行；

③一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个相交；

④若平面α内两条直线与平面β内两条直线分别平行，则α∥β．

3．过正方体ABD－A1B11D1的三个顶点A1、1、B的平面与底面ABD所在平面的交线为l，则l与A11的位置关系是________．

4．α和β是两个不重合的平面，在下列条中，可判定α∥β的是________．（填序号）

①α内有无数条直线平行于β；

②α内不共线三点到β的距离相等；

③l、是平面α内的直线，且l∥α，∥β；

④l、是异面直线且l∥α，∥α，l∥α，∥β．

．已知α∥β且α与β间的距离为d，直线a与α相交于点A、与β相交于B，若AB＝233d，则直线a与α所成的角等于________．

6．如图所示，P是三角形AB所在平面外一点，平面α∥平面AB，α分别交线段PA、PB、P于A′、B′、′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′′∶S△AB＝________．7．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是________（填序号）．

①a∥b∥ͤa∥b；　　　　②a∥γb∥γͤa∥b；

③α∥β∥ͤα∥β；④α∥γβ∥γͤα∥β；

⑤α∥a∥ͤα∥a;⑥α∥γa∥γͤa∥α．

8．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线与α，β分别交于点A，，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，A＝9，PD＝8，则BD的长为________．

9．如图所示，在正方体ABD—A1B11D1中，E、F、G、H分别是棱1、1D1、D1D、D的中点，N是B的中点，点在四边形EFGH及其内部运动，则满足________时，有N∥平面B1BDD1．

二、解答题

10．如图所示，在正方体ABD－A1B11D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是B、D和S的中点．求证：

平面EFG∥平面BDD1B1．

11．如图，在三棱柱AB－A1B11中，是A11的中点，平面AB1∥平面B1N，A∩平面B1N＝N．

求证：

N为A的中点．

能力提升

12．如图所示，已知正方体ABD－A1B11D1中，面对角线AB1，B1上分别有两点E、F，且B1E＝1F．求证：

EF∥平面ABD．

13．如图所示，B为△AD所在平面外一点，，N，G分别为△AB，△ABD，△BD的重心．

（1）求证平面NG∥平面AD；

（2）求S△NG∶S△AD．

1．判定平面与平面平行的常用方法有：

（1）利用定义，证明两个平面没有公共点，常用反证法．

（2）利用判定定理．（3）利用平行平面的传递性，即α∥β，β∥γ，则α∥γ．

2．平面与平面平行主要有以下性质：

（1）面面平行的性质定理．

（2）两个平面平行，其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．（3）夹在两个平行平面之间的平行线段相等．

1．2．4　平面与平面的位置关系

第1时　两平面平行的判定及性质

答案

知识梳理

1．两条相交直线

a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，a∥β，b∥βͤα∥β

2．那么所得的两条交线平行　α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b

3．

（1）另一个平面　a∥β　

（2）相等　（3）平行

作业设计

1．平行或异面　2．2

3．平行

解析　由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．

4．④　．60°

6．4∶2

解析　面α∥面AB，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，同理B′′∥B，

易得△AB∽△A′B′′，

S△A′B′′∶S△AB＝（A′B′AB）2＝（PA′PA）2＝42．

7．②③⑤⑥

解析　由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确．②中a，b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．

8．24或24

解析　当P点在平面α和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和平面β在点P同侧时可求得BD＝24．

9．∈线段FH

解析　∵HN∥BD，HF∥DD1，

HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，

∴平面NHF∥平面B1BDD1，

故线段FH上任意点与N连结，

有N∥平面B1BDD1．

10．证明　如图所示，连结SB，SD，

∵F、G分别是D、S的中点，

∴FG∥SD．

又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，

∴直线FG∥平面BDD1B1．

同理可证EG∥平面BDD1B1，

又∵EG⊂平面EFG，

FG⊂平面EFG，

EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面BDD1B1．

11．证明　∵平面AB1∥平面B1N，

平面A1A1∩平面AB1＝A，

平面B1N∩平面A1A1＝1N，

∴1N∥A，又A∥A11，

∴四边形AN1为平行四边形，

∴AN綊1＝12A11＝12A，

∴N为A的中点．

12．证明　方法一　过E、F分别作AB、B的垂线，E、FN分别交AB、B于、N，连结N．

∵BB1⊥平面ABD，

∴BB1⊥AB，BB1⊥B，∴E∥BB1，FN∥BB1，

∴E∥FN，

∵AB1＝B1，B1E＝1F，

∴AE＝BF，

又∠B1AB＝∠1B＝4°，

∴Rt△AE≌Rt△BNF，

∴E＝FN．

∴四边形NFE是平行四边形，

∴EF∥N．

又N⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，

∴EF∥平面ABD．

方法二　过E作EG∥AB交BB1于G，连结GF，

∴B1EB1A＝B1GB1B，B1E＝1F，B1A＝1B，∴1F1B＝B1GB1B，

∴FG∥B11∥B．

又∵EG∩FG＝G，AB∩B＝B，

∴平面EFG∥平面ABD．

又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABD．

13．

（1）证明　

（1）连结B，BN，BG并延长分别交A，AD，D于P，F，H．

∵，N，G分别为△AB，△ABD，△BD的重心，则有BP＝BNNF＝BGGH＝2，

且P，H，F分别为A，D，AD的中点．

连结PF，FH，PH，有N∥PF．

又PF⊂平面AD，N⊄平面AD，

∴N∥平面AD．

同理G∥平面AD，G∩N＝，

∴平面NG∥平面AD．

（2）解　由

（1）可知GPH＝BGBH＝23，

∴G＝23PH．

又PH＝12AD，∴G＝13AD．

同理NG＝13A，N＝13D．

∴△NG∽△AD，其相似比为1∶3．

∴S△NG∶S△AD＝1∶9．

第2时　两平面垂直的判定

【时目标】　1．掌握二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．

1．二面角：

一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．________________叫做二面角的面．二面角α的范围为________________．

2．平面与平面的垂直

①定义：

如果两个平面所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直．

②面面垂直的判定定理

字语言：

如果一个平面经过另一个平面的一条______，那么这两个平面互相垂直．符号表示：

l⊥α　　　ͤα⊥β．

一、填空题

1．下列命题：

①两个相交平面组成的图形叫做二面角；

②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直，则a、b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；

③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；

④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．

其中正确的是________（填序号）．

2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条．

3．设有直线、n和平面α、β，则下列结论中正确的是________（填序号）．

①若∥n，n⊥β，⊂α，则α⊥β；

②若⊥n，α∩β＝，n⊂α，则α⊥β；

③若⊥α，n⊥β，⊥n，则α⊥β．

4．过两点与一个已知平面垂直的平面有________个．

．在边长为1的菱形ABD中，∠AB＝60°，把菱形沿对角线A折起，使折起后BD＝32，则二面角B－A－D的大小为________．

6．在正四面体P－AB中，D、E、F分别是AB、B、A的中点，下面四个结论中成立的是________（填序号）．

①B∥面PDF;②DF⊥面PAE；

③面PDF⊥面AB;④面PAE⊥面AB．

7．过正方形ABD的顶点A作线段AP⊥平面ABD，且AP＝AB，则平面ABP与平面DP所成的二面角的度数是________．

8．如图所示，已知PA⊥矩形ABD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：

①⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④⊥α．

以其中三个论断作为条，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

____________．

二、解答题

10．如图所示，在空间四边形ABD中，AB＝B，D＝DA，E、F、G分别为D、DA和对角线A的中点．

求证：

平面BEF⊥平面BGD．

11．如图所示，四棱锥P—ABD的底面ABD是边长为1的菱形，∠BD＝60°，E是D的中点，PA⊥底面ABD，PA＝3．

（1）证明：

平面PBE⊥平面PAB；

（2）求二面角A—BE—P的大小．

能力提升

12．如图，在直三棱柱AB—A1B11中，E、F分别是A1B、A1的中点，点D在B11上，A1D⊥B1．

求证：

（1）EF∥平面AB；

（2）平面A1FD⊥平面BB11．

13．如图，在三棱锥P—AB中，PA⊥底面AB，PA＝AB，∠AB＝60°，∠BA＝90°，点D、E分别在棱PB、P上，且DE∥B．

（1）求证：

B⊥平面PA．

（2）是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？

并说明理由．

1．证明两个平面垂直的主要途径

（1）利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三