初中数学培优教材.docx
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初中数学培优教材
初中数学培优教材
第一讲一元二次方程
【学习目标】
1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。
2、了解一元二次方程的解或近似解。
3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
【知识要点】
1、一元二次方程的定义：
只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2bxc0（a、b、
c、为常数，a0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
（1）定义解释：
①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数
是2。
这三个条件必须同时满足，缺一不可。
2
（2）axbxc0（a、b、c、为常数，a0）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。
2
（3）在axbxc0（a0）中，a，b，c通常表示已知数。
2、一元二次方程的解：
当某一x的取值使得这个方程中的ax2
bx
c的值为0，x的值即是一元二
次方程ax2
bxc0的解。
3、一元二次方程解的估算：
当某一x的取值使得这个方程中的ax2
bxc的值无限接近0时，x
的值即可看做一元二次方程ax2
bxc
0的解。
【经典例题】
例1、下列方程中，是一元二次方程的是
①y2
y
0；②2x2
x30；
③12
3；④ax2
bx；⑤x2
2
3x；
4
x
⑥x3
x
40；⑦t2
2；⑧x2
3x
3
0；⑨x2
x2；⑩ax2
bx（a
0）
x
例2（、1）关于x的方程（m－4）x2+（m+4）x+2m+3=0，当m
时，是一元二次方程，当m__________
时，是一元一次方程.
（2）如果方程ax2+5=（x+2）（x－1）是关于x的一元二次方程，则a__________.
（3）关于x的方程（2m2
m3）xm1
5x
13是一元二次方程吗?
为什么？
例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
..
（1）2x2―x+1=0
（2）－5x2+1=6x（3）（x+1）2=2x（4）
3x2
4x
8
例4、
（1）某校办工厂利润两年内由5万元增长到9万元，设每年利润的平均增长率为x，可以列方
程得（）
A.5（1+x）=9
B.5（1+x）
2=9
C.5（1+x）+5（1+x）2=9
D.5+5（1+x）+5（1+x）
2=9
（2）某商品成本价为300元，两次降价后现价为160元，若每次降价的百分率相同，设为x，则方程为_____________.
例5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?
（列出方程并估算解得值）
例6、如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?
..
【经典练习】
一、选择题
1、下列关于x的方程：
①1.5x2+1=0；②2.3x2+1+1=0；③3.4x2=ax（其中a为常数）；④2x2+3x=0；
x
⑤3x2
1=2x；⑥（x2
x）2
=2x中，一元二次方程的个数是（）
5
A、1
B、2
C、3
D、4
2、方程x2－2（3x－2）+（x+1）=0的一般形式是
A.x2－5x+5=0B.x2+5x+5=0C.x2+5x－5=0D.x2+5=0
3、一元二次方程7x2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是
A.7x2,2x,0B.7x2,－2x，无常数项
C.7x2,0,2xD.7x2,－2x,0
4、若x=1是方程ax2+bx+c=0的解，则
A.a+b+c=1B.a－b+c=0C.a+b+c=0D.a－b－c=0
二、填空题
1、将x（4x3）
3x1化为一般形式为
，此时它的二次项系数是.__________，一次项
系数是
，常数项是
。
2、如果（a+2）x2+4x+3=0是一元二次方程，那么a所满足的条件为___________.
3、已知两个数之和为6，乘积等于5，若设其中一个数为x，可得方程为_____________.
4、某高新技术产生生产总值，两年内由50万元增加到75万元，若每年产值的增长率设为x，则方程为___________.
5、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化
工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为_____________.
三、解答题
1、某商场销售商品收入款：
3月份为25万元，5月份为36万元，该商场4、5月份销售商品收入款
平均每月增长的百分率是多少？
..
【课后作业】
一、填空题
1、方程5（x2－2x+1）=－32x+2的一般形式是，其二次项是，一次项是
，常数项是__________.
2、若关于x的方程（a1）x23ax50是一元二次方程，这时a的取值范围是________
3、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由30万亩增加到42万亩，若设植树面积年平均增长率
为x，根据题意列方程_________.
二、选择题
1、下列方程中，不是一元二次方程的是（）
A.2x2+7=0B.2x2+23x+1=0C.5x2+1+4=0D.3x2+（1+x）2+1=0
x
2、方程x2－2（3x－2）+（x+1）=0的一般形式是（）
A.x2－5x+5=0B.x2+5x+5=0C.x2+5x－5=0D.x2+5=0
3、一元二次方程7x22x15的二次项、一次项、常数项依次是（）
A.7x2,2x,1B.7x2,－2x，无常数项C.7x2,0,2xD.7x2,－2x,-4
4、方程x2－3=（3－2）x化为一般形式，它的各项系数之和可能是（）
A.2B.－2C.23D.1223
5、若关于x的方程（ax+b）（d－cx）=m（ac≠0）的二次项系数是ac，则常数项为（）
A.mB.－bdC.bd－mD.－（bd－m）
6、若关于x的方程a（x－1）2=2x2－2是一元二次方程，则a的值是（）
A.2B.－2C.0D.不等于2
7、若x=-1是方程ax2+bx+c=0的解，则（）
A.a+b+c=1B.a－b+c=0C.-a+b+c=0D.a－b－c=0
..
第二讲一元二次方程（配方法）
【学习目标】
1、会用开平方法解形如（xm）2n（n0）的方程。
2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。
3、经历列解方程解决实际问题的过程，体会转化的数学思想，增强数学应用意识和能力。
【知识要点】
1、直接开平方法解一元二次方程：
（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成
（xb）2a（a0）的形式
（2）直接开平方，解得x1ba,x2ba
2、配方法的定义：
通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方
法称为配方法。
3、用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）利用配方法解一元二次方程时，如果ax2bxc0中a不等于1，必须两边同时除以a，使得二次项系数为1.
（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。
（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
（4）用直接开平方法求出方程的根。
【经典例题】
例1、解下列方程：
2
2
（1）x=4
（2）（x+3）=9
例2、配方：
填上适当的数，使下列等式成立：
（1）x2+12x+=（x+6）2
（2）x2+8x+=（x+
）
2（3）x2―12x+=（x―）
2
例3、用配方法解方程
（1）3x2+8x―3=0
（2）6x2
x12
0
..
（3）1x2
5x
5
0
（4）x2
x20
2
2
4
例4、请你尝试证明关于x的方程（m28m20）x22mx10，不论m取何值，该方程都是一元
二次方程。
例5、一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：
h=15t―5t2，小球何时能达到10m高？
【经典练习】
一、填空题
2
1、若x=225，则x=__________,x=__________.
1
2
2、若
2
1
2
9x－25=0，则x=__________,x=__________.
3、填写适当的数使下式成立.
2
2
2
2
2
2
①x+6x+______=（x+3）
②x－______x+1=（x－1）
③x+4x+______=（x+______）
4、为了利用配方法解方程x2－6x－6=0，我们可移项得
，方程两边都加上
，
得
，化为___________解.此方程得x1=
，x2=_________.
5、将长为5，宽为4的矩形，沿四个边剪去宽为x的4个小矩形，剩余部分的面积为12，则剪去小
矩形的宽x为_________.
6、如图1，在正方形ABCD中，AB是4cm，△BCE的面积是△DEF面积的4倍，则DE的长为_________.
7、如图2，梯形的上底AD=3cm，下底BC=6cm，对角线AC=9cm，设OA=x，则x=_________cm.
..
图1
图2
二、选择题
1、方程5x2+75=0的根是（
）
A.5
B.
－5
C.
±5
D.无实根
2、方程3x2－1=0的解是
（
）
A.x=±1
B.x=±3
C.x=
±3
D.x=±3
3
3
3、一元二次方程x2－2x－m=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（）
A.（x－1）
2
2
2
=m+1
B.（x－1）=m－1
C.（x－1）2=1－m
D.（x－1）2=m+1
4、用配方法解方程x2+x=2，应把方程的两边同时（
）
A.加1
B.加1
C.减1
D.减1
4
2
4
2
5、已知xy=9，x－y=－3，则x2+3xy+y2的值为（
）
A.27
B.9
C.54
D.18
三、计算题（用配方法解下列方程）
（1）
2
16
（）
2
x
2（x
2）4
（3）x2+5x－1=0（4）2x2－4x－1=0
（5）1x2－6x+3=0
（6）x
2－x+6=0
4
..
（7）x24x30（8）x212x250
（9）
3x2
16x
（）
2
10
2x22x10
四、解答题
两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多4cm，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少32平方厘米，求大小两个正方形的边长.
【课后作业】
1、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成（x+m）2=n的形式
（1）2x2+3x－2=0
（2）
1x2+x－2=0
4
2、用配方法解下列方程
（1）x2+5x－5=0
（2）2x2－4x－3=0
（3）x2－3x-3=0
（4）2x2
7x140
第三讲一元二次方程（公式法）
【学习目标】
1、学会一元二次方程求根公式的推导。
2、理解公式法，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。
3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法和配方法的内在联系。
..
【知识要点】
1、复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式：
对于一元二次方程
ax2
bxc
0其中a0，由配方法有（x
b）2
b2
4ac
。
2a
4a2
（1）当b2
4ac0时，得x
bb2
4ac；
2a
（2）当b24ac0时，一元二次方程无实数解。
2、公式法的定义：
利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。
3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：
（1）必须把一元二次方程化成一般式ax2bxc0，以明确a、b、c的值；
（2）再计算b24ac的值：
①当b2
4ac0时，方程有实数解，其解为：
x
bb2
4ac；
2a
②当b24ac0时，方程无实数解。
【经典例题】
例1、推导求根公式：
ax2bxc0（a0）
例2、利用公式解方程：
（1）x22x20
（2）2x27x4
（3）x24x10（4）x243x100
例3、已知a，b，c均为实数，且a22a1＋｜b＋1｜＋（c＋3）2＝0，解方程ax2bxc0
..
2
2
相等吗？
例4、你能找到适当的x的值使得多项式A=4x+2x－1
与B=3x－2
2
2
2
＝0
有一根为零，求m的值及另一根．
例5、一元二次方程（m－1）x＋3mx＋（m＋3m－4）
【经典练习】
1、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（）
A.x、=
12
122
3
4
B.x
1
、=
12
122
3
4
1
2
2
2
2
C.x1、2=12
122
3
4
D.x
1、2=（12）
（
12）2
434
2
2
3
2、方程x2+3x=14的解是（）
A.x=365
B.x=
365
C.x=
323
D.x=
3
23
2
2
2
2
3、下列各数中，是方程x2－（1+
5）x+
5=0的解的有（）
①1+5②1－5③1④－5
A.0个B.1个C.2个D.3个
5、若代数式x2－6x＋5的值等于12，那么x的值为（）
A．1或5B．7或－1C．－1或－5D．－7或1
6、关于x的方程3x2－2（3m－1）x＋2m＝15有一个根为－2，则m的值等于（）
A．2
B．－1
C．－2
D．1
2
2
7、当x为何值时，代数式2x2＋7x－1与4x＋1的值相等?
9、用公式法解下列各方程
（1）x2+6x+9=7
（2）12x27x10
..
（3）x242x80（4）2x23x50
（5）x2x10（6）3x25x10
（7）（2x1）（x3）4（8）4y2（28）y20
（9）
2
x
2
3
x
2
0
（
）
10y2y1yy10
（11）5x28x1（12）x22mx3nx3m2mn2n20
【课后作业】
1、方程（x－5）2＝6的两个根是（）
A．x＝x＝5＋
6
B．x＝x＝－5＋
6
1
2
1
2
C．x＝－5＋
6
，x＝－5－
6
D．x＝5＋
6
，x＝5－
6
1
2
1
2
2、利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为，确定的值，当
时，把a,b,c的值代入公式，x1，2=求得方程的解.
3、当x为何值时，代数式2x2＋7x－1与x2－19的值互为相反数?
4、用公式法解下列方程：
（1）
2
7
1
0
（）
x
x
2x（x8）0
..
（3）x2x2（4）0.8x2x0.3
（5）3x212（6）x27x
第四讲一元二次方程（分解因式法）
【学习目标】
1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
体会解决问题方法的多样性。
2、会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
3、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。
【知识要点】
1、分解因式法解一元二次方程：
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的
积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为
分解因式法。
2、分解因式法的理论依据是：
若ab0，则a0或b0
3、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：
①将方程的右边化为零；
②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；
③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。
【典型例题】
例1、
（1）方程（x
1）（x
2）2（x
2）
的根是__________
（2）方程（x
1）（x
2）（x3）
0
的根是__________
例2、用分解因式法解下列方程
（1）
3
x
2
6
x
0
（）
2
2
3（x5）2（5x）
..
（3）x22x10（4）4x28x4
（5）（3x2）2（x3）20（6）49（x3）216（x6）2
（7）1x2
5x60
（8）（x－1）2－4（x－1）－21＝0．
4
2
例3、2－3
是方程x2+bx－1=0的一个根，则b=
，另一个根是_________.
2
2
b等于
（
）
例4、已知a
－5ab+6b=0，则a
b
a
A.21
B.31
C.21或31
D.21或31
2
3
2
3
3
2
2
2
2
2
2
例5、解关于x的方程：
（a－b）x+4abx＝a－b
．
例6、x为何值时，等式2
2
2
2
3
2
0
x
x
x
x
【经典练习】
一、填空题.
1、用因式分解法解方程9=x2-2x+1
（1）移项得；
（2）方程左边化为两个数的平方差，右边为0得；
（3）将方程左边分解成两个一次因式之积得；
（4）分别解这两个一次方程得x1=，x2=。
2、
（1）方程t（t＋3）＝28的解为_______．
（2）方程（2x＋1）2＋3（2x＋1）＝0的解为．
3（、1）用因式分解法解方程（5x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程和
求解。
（2）方程x2－16=0，可将方程左边因式分解得方程，则有两个一元一次方程______
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