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1、初中数学培优教材初中数学培优教材第一讲 一元二次方程【学习目标】1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。2、了解一元二次方程的解或近似解。3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。【知识要点】1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax 2 bx c 0 （a、b、c、为常数， a 0 ）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。（1）定义解释：一元二次方程是一个整式方程；只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是 2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。2（2） ax bx c 0 （a、b、c、为常数， a 0 ）叫一元二次方程的一

2、般形式，也叫标准形式。2（3）在 ax bx c 0 （ a 0 ）中，a，b，c 通常表示已知数。2、一元二次方程的解：当某一 x 的取值使得这个方程中的 ax2bxc 的值为 0，x 的值即是一元二次方程 ax 2bx c 0 的解。3、一元二次方程解的估算：当某一 x 的取值使得这个方程中的 ax 2bx c 的值无限接近 0 时，x的值即可看做一元二次方程 ax 2bx c0 的解。【经典例题】例 1、下列方程中，是一元二次方程的是 y 2y0 ； 2x 2x 3 0 ； 123 ； ax 2bx ； x 223x ；4x x3x4 0 ； t 22 ； x 23x30 ； x2x 2

3、 ； ax 2bx(a0)x例 2（、1）关于 x 的方程(m4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当 m时，是一元二次方程，当 m_时，是一元一次方程.（2）如果方程 ax2+5=(x+2)(x1) 是关于 x 的一元二次方程，则 a_.（3）关于 x 的方程 (2m2m 3) xm 15x13 是一元二次方程吗?为什么？例 3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。.（1）2x2x+1=0 (2) 5x2+1=6x (3)(x+1) 2=2x (4)3x24x8例4、（1）某校办工厂利润两年内由 5 万元增长到 9 万元，设每年利润的平均增长率为 x，可

4、以列方程得（）A.5(1+x)=9B.5(1+x)2=9C.5(1+x)+5(1+x) 2=9D.5+5(1+x)+5(1+x)2=9（2）某商品成本价为 300元，两次降价后现价为 160 元，若每次降价的百分率相同，设为 x，则方程为_.例5、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如下图所示，它的长为 8 m，宽为 5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为 18 m2，那么花边有多宽?（列出方程并估算解得值）例6、如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m，如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米?.【经典练习】一、选择题1、下列关于 x 的方程

5、：1.5x2+1=0；2.3x 2+ 1 +1=0；3.4x2=ax(其中 a 为常数) ；2x2+3x=0；x 3x21 =2x； (x 2x) 2=2x 中，一元二次方程的个数是（ ）5A 、1B 、2C 、3D 、42、方程 x22(3x2)+(x+1)=0 的一般形式是A.x 25x+5=0 B.x2+5x+5=0 C.x 2+5x5=0 D.x2+5=03、一元二次方程 7x22x=0的二次项、一次项、常数项依次是A.7x2,2x,0 B.7x2, 2x，无常数项C.7x2,0,2x D.7x2, 2x,04、若 x=1是方程 ax2+bx+c=0的解，则A.a+b+c=1 B.a

6、b+c=0 C.a+b+c=0 D.a bc=0二、填空题1、将 x(4x 3)3x 1 化为一般形式为，此时它的二次项系数是. _，一次项系数是，常数项是。2、如果(a+2)x 2+4x+3=0是一元二次方程，那么 a 所满足的条件为_.3、已知两个数之和为 6，乘积等于 5，若设其中一个数为 x，可得方程为_.4、某高新技术产生生产总值，两年内由 50 万元增加到 75 万元，若每年产值的增长率设为 x，则方程为_.5、某化工厂今年一月份生产化工原料 15 万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料 60 万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为 x，可列出方程为_.三、

7、解答题1、某商场销售商品收入款：3 月份为 25 万元，5 月份为 36 万元，该商场 4、5 月份销售商品收入款平均每月增长的百分率是多少？.【课后作业】一、填空题1、方程 5(x2 2 x+1)=3 2 x+2 的一般形式是 ，其二次项是 ，一次项是，常数项是_.2、若关于 x 的方程 (a 1) x2 3ax 5 0是一元二次方程，这时 a 的取值范围是_3、某地开展植树造林活动，两年内植树面积由 30 万亩增加到 42 万亩，若设植树面积年平均增长率为x，根据题意列方程_.二、选择题1、下列方程中，不是一元二次方程的是 ( )A.2x2+7=0 B.2x 2+2 3 x+1=0 C.5

8、x 2+ 1 +4=0 D.3x 2+(1+x) 2 +1=0x2、方程 x22(3x2)+(x+1)=0 的一般形式是 ( )A.x 25x+5=0 B.x2+5x+5=0 C.x 2+5x5=0 D.x2+5=03、一元二次方程 7 x2 2x 1 5的二次项、一次项、常数项依次是 ( )A.7x2,2x,1 B.7x 2, 2x，无常数项 C.7x 2,0,2x D.7x2, 2x,-44、方程 x2 3 =( 3 2 )x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是 ( )A. 2 B. 2 C. 2 3 D.1 2 235、若关于 x 的方程（ax+b）(dcx)=m(ac0) 的二次项系

9、数是 ac，则常数项为 ( )A.m B.bd C.bdm D.(bdm)6、若关于 x 的方程 a(x 1) 2=2x22 是一元二次方程，则 a 的值是 ( )A.2 B.2 C.0 D.不等于 27、若 x=-1 是方程 ax2+bx+c=0的解，则 ( )A.a+b+c=1 B.ab+c=0 C.-a+b+c=0 D.abc=0.第二讲 一元二次方程（配方法）【学习目标】1、会用开平方法解形如 (x m) 2 n(n 0) 的方程。2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程。3、经历列解方程解决实际问题的过程，体会转化的数学思想，增强数学应用意识和能力。【知识要点】1、直

10、接开平方法解一元二次方程：（ 1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成(x b)2 a(a 0) 的形式（2）直接开平方，解得 x1 b a , x2 b a2、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。3、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）利用配方法解一元二次方程时，如果ax 2 bx c 0 中 a 不等于 1，必须两边同时除以 a，使得二次项系数为 1.（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。（4）用直接开平方法求出方程的根。【经典例

11、题】例 1、解下列方程：22（1）x =4（2）(x+3) =9例 2、配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2+12x+ =(x+6) 2（2）x2+8x+ =(x+)2（3）x212x+ =(x )2例 3、用配方法解方程（1）3x2+8x3=0（2） 6x2x 120.（3） 1 x25 x50（4） x2x 2 0224例 4、请你尝试证明关于 x 的方程 (m 2 8m 20) x2 2mx 1 0 ，不论 m取何值，该方程都是一元二次方程。例5、一小球以 15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度 h（m）与时间 t（s）满足关系： h=15 t 5t 2，小球何时能达到

12、 10m高？【经典练习】一、填空题21、若 x =225，则 x =_,x=_.122、若2129x 25=0，则 x =_,x=_.3、填写适当的数使下式成立.222222x +6x+_=(x+3)x _x+1=(x1)x +4x+_=(x+_)4、为了利用配方法解方程 x26x6=0，我们可移项得，方程两边都加上，得，化为_解.此方程得 x1=，x2=_.5、将长为 5，宽为 4 的矩形，沿四个边剪去宽为 x 的 4 个小矩形，剩余部分的面积为 12，则剪去小矩形的宽 x 为_.6、如图 1，在正方形 ABCD中，AB是 4 cm，BCE的面积是DEF面积的 4 倍，则 DE的长为_.7、

13、如图 2，梯形的上底 AD=3 cm，下底 BC=6 cm，对角线 AC=9 cm，设 OA=x，则 x=_ cm.图 1图 2二、选择题1、方程 5x2+75=0的根是 （）A.5B.5C .5D. 无实根2、方程 3x21=0的解是（）A.x= 1B.x=3C.x= 3D.x= 3333、一元二次方程 x22xm=0，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）A.(x 1)222=m+1B.(x 1) =m1C.(x 1)2=1mD.(x 1) 2=m+14、用配方法解方程 x2+x=2，应把方程的两边同时（）A.加 1B.加 1C.减 1D.减 142425、已知 xy=9，xy=3，则 x

14、2+3xy+y2 的值为（）A.27B.9C.54D.18三、计算题（用配方法解下列方程）（1）216（ ）2x2 (x2)4(3)x 2+5x1=0 (4)2x 24x1=0(5) 1 x26x+3=0(6)x2x+6=04.（7） x 2 4 x 3 0 （8） x 2 12x 25 0（9）3x21 6x（ ）2102x 2 2 x 1 0四、解答题两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多 4 cm，大正方形的面积比小正方形的面积的 2 倍少 32平方厘米，求大小两个正方形的边长.【课后作业】1、将下列方程两边同时乘以或除以适当的数，然后再写成(x+m)2=n 的形式（1）2x

15、2+3x2=0(2)1 x2+x2=042、用配方法解下列方程(1)x 2+5x5=0 (2)2x 24x3=0(3) x 23x-3=0（4） 2x27x 14 0第三讲 一元二次方程（公式法）【学习目标】1、学会一元二次方程求根公式的推导。2、理解公式法，会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。3、经历一元二次方程的求根公式的探索过程，体会公式法和配方法的内在联系。.【知识要点】1、复习用配方法接一元二次方程的步骤，推导出一元二次方程的求根公式：对于一元二次方程ax2bx c0 其中 a 0 ，由配方法有 ( xb )2b24ac。2a4a2（1）当b 24ac 0 时，得 xb b 2

16、4ac ；2a（2）当b 2 4ac 0 时，一元二次方程无实数解。2、公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法。3、运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：（1）必须把一元二次方程化成一般式ax2 bx c 0 ，以明确 a、b、c 的值；（2）再计算 b2 4ac 的值：当 b 24ac 0 时，方程有实数解，其解为： xb b24ac ；2a当 b 2 4ac 0 时，方程无实数解。【经典例题】例 1、推导求根公式： ax2 bx c 0 （ a 0 ）例 2、利用公式解方程：（1） x2 2x 2 0 （2） 2x2 7 x 4（3） x2 4x 1 0 （4） x2

17、 4 3x 10 0例 3、已知 a，b，c 均为实数，且 a2 2a 1 b1(c 3) 20，解方程 ax 2 bx c 0.22相等吗？例 4、你能找到适当的 x 的值使得多项式 A=4x+2x1与 B=3x22220有一根为零，求 m的值及另一根例 5、一元二次方程(m1)x 3mx(m 3m4)【经典练习】1、用公式法解方程 3x2+4=12x，下列代入公式正确的是 （ ）A.x 、 =1212234B.x1、 =121223412222C.x1、2=1212234D.x1、2=( 12)(12)24 3 42232、方程 x2+3x=14的解是 （ ）A.x= 3 65B.x=3

18、65C.x=3 23D.x=32322223、下列各数中，是方程 x2(1+5 )x+5 =0的解的有 ( )1+5 1 5 1 5A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个5、若代数式 x26x5 的值等于 12，那么 x 的值为( )A1 或 5 B7 或1 C1 或5 D7 或 16、关于 x 的方程 3x22(3m1)x 2m15有一个根为2，则 m的值等于( )A2B 1C2D 1227、当 x 为何值时，代数式 2x27x1 与 4x1 的值相等?9、用公式法解下列各方程（1）x2+6x+9=7 （2）12 x2 7 x 1 0.（3） x2 4 2x 8 0 （4） 2x2

19、3x 5 0（5） x2 x 1 0 （6） 3x2 5x 1 0（7） (2x 1)( x 3) 4 （8） 4 y2 ( 2 8) y 2 0（9）2x23x20（）10 y 2 y 1 y y 1 0（11） 5x 2 8x 1 （12） x 2 2mx 3nx 3m2 mn 2n 2 0【课后作业】1、方程(x 5) 26 的两个根是( )Ax x 56B x x 561212Cx 56，x 56Dx 56，x 5612122、利用求根公式解一元二次方程时，首先要把方程化为 ，确定 的值，当时，把 a,b,c 的值代入公式，x1，2= 求得方程的解.3、当 x 为何值时，代数式 2x2

20、7x1 与 x219 的值互为相反数?4、用公式法解下列方程：（1）2710（ ）xx2 x(x 8) 0.（3） x2 x 2 （4） 0.8x2 x 0.3（5） 3x2 1 2 （6） x2 7x第四讲 一元二次方程（分解因式法）【学习目标】1、能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2、会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。3、会根据题目的特点灵活的选择各种方法解一元二次方程。【知识要点】1、分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一

21、元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法。2、分解因式法的理论依据是：若 a b 0 ，则 a 0 或 b 03、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：将方程的右边化为零；将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解。【典型例题】例 1、（1）方程 ( x1)( x2) 2( x2)的根是_（2）方程 ( x1)( x2)( x 3)0的根是_例2、 用分解因式法解下列方程（1）3x26x0（ ）223( x 5)2(5 x).（3） x 2 2x 1 0 （4） 4x2 8x 4（5） (3x

22、 2) 2 ( x 3) 2 0 （6） 49( x 3) 2 16( x 6) 2（7） 1 x 25 x 6 0（8）(x 1) 24(x1) 21042例 3、2 3是方程 x2+bx1=0的一个根，则 b=，另一个根是_.22b 等于（）例 4、已知 a5ab+6b=0，则 abaA.2 1B.3 1C.2 1或31D.2 1或3123233222222例 5、解关于 x 的方程：(a b )x +4abxa b例 6、x 为何值时，等式 2222320xxxx【经典练习】一、填空题.1、用因式分解法解方程 9=x2-2x+1(1) 移项得 ；(2) 方程左边化为两个数的平方差，右边为 0 得 ；(3) 将方程左边分解成两个一次因式之积得 ；(4) 分别解这两个一次方程得 x1 = ， x 2= 。2、（1）方程 t(t 3) 28 的解为_(2) 方程(2x 1) 23(2x 1) 0 的解为 3（、1）用因式分解法解方程（5x+3）-2x（x+3）=0，可把其化为两个一元一次方程 和求解。（2）方程 x216=0，可将方程左边因式分解得方程 ，则有两个一元一次方程_