第二章第四节 连续型随机变量.docx

第二章第四节 连续型随机变量.docx

《第二章第四节 连续型随机变量.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章第四节 连续型随机变量.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第二章第四节连续型随机变量

§2.4连续型随机变量

1.连续型随机变量及其概率密度

定义2.4.1对于随机变量X的分布函数（）,若存在非负函数（），使得对任意实数有

（）={X≤}=（2.4.1）

则称X为连续型随机变量，（）称为X的概率密度函数或称分布密度函数，简称概率密度。

（由定义可知，改变概率密度在个别点的函数值，但它们的分布函数都相同，因此，允许概率密度在个别点上取不同的值。

）

由定义及高等数学知识可得概率密度具有以下性质：

（1）（）≥0,（2.4.2）

（2）,（2.4.3）

（3）{X=}=0.（2.4.4）

（4）

（2.4.5）

根据定积分的几何意义，（4.3）式表示概率密度曲线（）与轴围成的区域面积为1;（2.4.5）式表示概率{<}就是概率密度曲线y=（）,=,=和轴围成的曲边梯形的面积，如图2.4.1所示。

p（x）

b

a

图2.4.1

5.若在点处连续，则

（2.4.6）

例2.4.1设随机变量具有概率密度

（1）确定常数

（2）求的分布函数（3）求

解

（1）由得

解得于是的概率密度为

（2）的分布函数为

即

（3）

或

2.几个常用的连续型随机变量的分布

（1）均匀分布

设连续型随机变量的概率密度为

（）=（2.4.7）

由推得=，称服从区间（）上的（连续型）均匀分布，记作X～U（），如图2.4.2所示。

图2.4.2

其分布函数为（如图2.4.3所示）

（2.4.8）

F（x）

图2.4.3

在随机模拟技术中，服从均匀分布（0，1）的随机变量是最基本的一类随机变量。

例2.4.2某地铁列车运行的时间间隔为10分钟，一名乘客在任意时刻进入站台，求他候车时间不超过3分钟的概率。

解首先，我们应求出他候车时间的概率密度，由于乘客在任意时刻进入站台，可知候车时间，应该均等分布在区间（0，10）内（最多等候10分钟），或者说其候车时间为随机变量,在（0，10）上服从均匀分布，于是的概率密度

由题意可知，.

（2）正态分布

如果随机变量的概率密度为

（2.4.9）

称随机变量服从参数为μ，的正态分布（或高斯（Gauss）分布），记作～.

服从正态分布的随机变量统称为正态随机变量。

正态分布～的概率密度的图形如图2.4.4所示。

P（x）

图2.4.4

由高等数学知识不难得到（）具有下列性质：

（i）（）关于=μ对称；

（ii）（）在=μ处有最大值（μ）=；

（iii）当;

（iv）为曲线的两个拐点.

图2.4.4给出参数的一个几何解释：

当较大时，概率密度曲线平坦；当较小时，曲线陡峭。

由（2.4.9）式得的分布函数为（如图2.4.5所示）

（2.4.10）

图2.4.5

正态分布无论在理论上还是实际应用中都是一个极其重要的分布，高斯在研究误差理论时曾用它来刻画误差的分布。

经验表明，当一个变量受到大量微小的独立随机因素影响时，这个变量一般服从或近似服从正态分布，例如，机械制造过程中所发生的误差、某地区男性成人的身高、海洋波浪的高度、飞机材料的老损、某地区的降雨量，半导体器件中的热噪声电流或电压等等，都服从正态分布。

在概率论与数理统计的研究和实际应用中正态随机变量起着特别重要作用。

特别地，当μ=0，σ=1时，称X服从标准正态分布，记作。

它的概率密度为

（2.4.11）

它的分布函数记作

（2.4.12）

由于的概率密度是一个偶函数，因此

几何意义如图2.4.6所示。

图2.4.6

当x>0时，的值可以查附表得到

例2.4.3设X,求

（1）{0.5

（2）{X≤-1.2},

（3）{}。

解

（1）{0.5

（2）{X≤-1.2}=,

定理2.4.1若随机变量其分布函数为F（x）,则随机变量

.（2.4.13）

证明时,由于X的分布函数

即的分布函数为标准正态分布的分布函数，所以.

因此.通常这个公式为正态概率计算公式

例2.4.4设X，求{X<0}。

解=

=1-

例2.4.5某人上班所需的时间（单位：

）如果要求每天上班迟到的概率在以下。

试求，每天应提前上班时间多少从家里出发？

解设每天提前上班时间（分）从家里出发，按要求所求概率为

即

又由为连续型随机变量，且则有

查附表得

（）.

例2.4.6设计算:

当k=1,2,3时，的值（查表）.

解

=.

当k=1,2,3时，查表得其值分别为0.6826，0.9544，0.9974.

由此可见：

服从正态分布N（）的随机变量X的值基本上落在区间（）之内，而几乎不在（）之外取值。

这就是人们所说的“”法则（如图所示）。

图2.4.7

为了便于今后在数理统计中的应用，对于标准正态随机变量，我们引入上分位点的定义。

设若满足条件

（2.4.14）

则称点为标准正态分布的上分位点（如图所示）。

图2.4.8

由图形的对称性可知例如，时，查附表得下面列出了几个常用的的值。

（3）指数分布

如果随机变量的概率密度为

（2.4.15）

则称服从参数为的指数分布,记作其中为常数，它的图形趋势如图2.4.9所示。

P（x）

图2.4.9

的分布函数为

（2.4.16）

指数分布经常用来作为各种“寿命”分布的近似，如随机服务系统中的服务时间，某些消耗产品（电子元件）的寿命等，都常被假定服从指数分布。

指数分布与几何分布有同样的重要性质：

无记忆性。

设则对于任意有

（2.4.17）

事实上

=

=

若把解释为寿命，则上式的实际意义是：

如果已知寿命长于年，则再活年的概率与年令无关，所以人们也风趣地称指数分布是“永远年青”的分布。

指数分布在可靠性理论与排队论有广泛的应用。

例2.4.7某类元件寿命服从参数为（=1000）的指数分布。

试求

（1）3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率；

（2）有一个这种元件，已正常使用了1000小时，求还能使用1000小时以上的概率。

解

（1）的概率密度是

.

各元件寿命相互独立，因此3个元件使用1000小时都未损坏的概率为..

（2）由（2.4.17）式得

（新浪微博：

公共数学文传军，微信QQ：

35282571）