第二章第四节 连续型随机变量.docx

1、第二章第四节 连续型随机变量2.4 连续型随机变量1.连续型随机变量及其概率密度定义2.4.1对于随机变量X的分布函数（）, 若存在非负函数()，使得对任意实数有 ()=X = (2.4.1)则称X为连续型随机变量， ()称为X的概率密度函数或称分布密度函数，简称概率密度。(由定义可知，改变概率密度在个别点的函数值，但它们的分布函数都相同，因此，允许概率密度在个别点上取不同的值。)由定义及高等数学知识可得概率密度具有以下性质：(1) ()0 , (2.4.2)(2), (2.4.3)(3) X=0 . (2.4.4)(4) （2.4.5）根据定积分的几何意义，(4.3)式表示概率密度曲线()与

2、轴围成的区域面积为1;(2.4.5)式表示概率0 时，的值可以查附表得到 例2.4.3 设X,求（1）0.5X1.2,（2）X-1.2,（3）。解 （1）0.5X1.2=, （2）X-1.2=, 定理2.4.1 若随机变量其分布函数为F(x),则随机变量. (2.4.13) 证明 时,由于X的分布函数 即的分布函数为标准正态分布的分布函数，所以. 因此 .通常这个公式为正态概率计算公式例2.4.4设X，求X0。解 = =1-例2.4.5某人上班所需的时间（单位：）如果要求每天上班迟到的概率在以下。试求，每天应提前上班时间多少从家里出发？解 设每天提前上班时间（分）从家里出发，按要求所求概率为

3、即 又由为连续型随机变量，且则有 查附表得 （）. 例2. 4.6 设计算:当k=1,2,3时，的值(查表).解= . 当k=1,2,3时，查表得其值分别为0.6826，0.9544，0.9974.由此可见：服从正态分布N()的随机变量X的值基本上落在区间（）之内，而几乎不在（）之外取值。这就是人们所说的“”法则（如图所示）。 图2.4.7为了便于今后在数理统计中的应用，对于标准正态随机变量，我们引入上分位点的定义。设若满足条件 （2.4.14）则称点为标准正态分布的上分位点（如图所示）。 图2.4.8 由图形的对称性可知例如，时，查附表得下面列出了几个常用的的值。 (3) 指数分布如果随机变

4、量的概率密度为 (2.4.15)则称服从参数为的指数分布,记作其中为常数，它的图形趋势如图2.4.9所示。P(x) 图2.4.9的分布函数为 (2.4.16)指数分布经常用来作为各种“寿命”分布的近似，如随机服务系统中的服务时间，某些消耗产品（电子元件）的寿命等，都常被假定服从指数分布。指数分布与几何分布有同样的重要性质：无记忆性。设则对于任意有 （2.4.17）事实上 = =若把解释为寿命，则上式的实际意义是：如果已知寿命长于年，则再活年的概率与年令无关，所以人们也风趣地称指数分布是“永远年青”的分布。指数分布在可靠性理论与排队论有广泛的应用。例2.4.7 某类元件寿命服从参数为（=1000）的指数分布。试求（1）3个这样的元件使用1000小时后，都没有损坏的概率；（2）有一个这种元件，已正常使用了1000小时，求还能使用1000小时以上的概率。解（1）的概率密度是.各元件寿命相互独立，因此3个元件使用1000小时都未损坏的概率为.（2）由（2.4.17）式得 （新浪微博：公共数学文传军，微信QQ：35282571）