版高中数学第二章平面向量21平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4112.docx

版高中数学第二章平面向量21平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4112.docx

《版高中数学第二章平面向量21平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4112.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《版高中数学第二章平面向量21平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4112.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

版高中数学第二章平面向量21平面向量的实际背景及基本概念导学案新人教A版必修4112

2.1平面向量的实际背景及基本概念

学习目标　1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.

知识点一　向量的概念

思考1　在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？

答案　面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向.

思考2　两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？

答案　数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小.

梳理　向量与数量

（1）向量：

既有大小，又有方向的量叫做向量.

（2）数量：

只有大小，没有方向的量称为数量.

知识点二　向量的表示方法

思考1　向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？

答案　可以用一条有向线段表示.

思考2　0的模长是多少？

0有方向吗？

答案　0的模长为0，方向任意.

思考3　单位向量的模长是多少？

答案　单位向量的模长为1个单位长度.

梳理　

（1）向量的几何表示：

向量可以用一条有向线段表示.带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：

起点、方向、长度，如图所示.

以A为起点、B为终点的有向线段记作.

（2）向量的字母表示：

向量可以用字母a，b，c，…表示（印刷用黑体a，b，c，书写时用，，）.

（3）向量的大小，也就是向量的长度（或称模），即有向线段的长度，记作||.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.

知识点三　相等向量与共线向量

思考1　已知A，B为平面上不同两点，那么向量和向量相等吗？

它们共线吗？

答案　因为向量和向量方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线.

思考2　向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？

答案　不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合.

思考3　若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？

答案　不一定.因为当b＝0时，a，c可以是任意向量.

梳理　

（1）相等向量：

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.

（2）平行向量：

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.

①记法：

向量a平行于b，记作a∥b.

②规定：

零向量与任一向量平行.

（3）共线向量：

由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.

类型一　向量的概念

例1　下列说法正确的是（　　）

A.向量与向量的长度相等

B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同

C.零向量没有方向

D.任意两个单位向量都相等

答案　A

解析　两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同；零向量的方向不确定，并不是没有方向；任意两个单位向量只有长度相等，方向不一定相同，故B，C，D都错误，A正确.故选A.

反思与感悟　解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题.

跟踪训练1　下列说法正确的有.

（1）若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；

（2）向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一条直线上；

（3）向量与是平行向量.

答案　（3）

解析　

（1）错误.|a|＝|b|仅说明a与b的模相等，不能说明它们方向的关系.

（2）错误.共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量、必须在同一直线上，因此点A、B、C、D不一定在同一条直线上.

（3）正确.向量和是长度相等，方向相反的两个向量.

类型二　共线向量与相等向量

例2　如图所示，△ABC的三边均不相等，E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.

（1）写出与共线的向量；

（2）写出与的模大小相等的向量；

（3）写出与相等的向量.

解　

（1）因为E、F分别是AC、AB的中点，

所以EF綊BC.又因为D是BC的中点，

所以与共线的向量有，，，，，，.

（2）与模相等的向量有，，，，.

（3）与相等的向量有与.

反思与感悟　

（1）非零向量共线是指向量的方向相同或相反.

（2）共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.

跟踪训练2　如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.

（1）与的模相等的向量有多少个？

（2）是否存在与长度相等、方向相反的向量？

若存在，有几个？

（3）与共线的向量有哪些？

解　

（1）与的模相等的线段是六条边和六条半径（如OB），而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个.

（2）存在.由正六边形的性质可知，BC∥AO∥EF，所以与的长度相等、方向相反的向量有，，，，共4个.

（3）由

（2）知，BC∥OA∥EF，线段OD，AD与OA在同一条直线上，所以与共线的向量有，，，，，，，，，共9个.

类型三　向量的表示及应用

例3　一辆汽车从A点出发向西行驶了100km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100km到达D点.

（1）作出向量、、；

（2）求||.

解　

（1）向量、、如图所示.

（2）由题意，易知与方向相反，故与共线，

∵||＝||，

∴在四边形ABCD中，AB綊CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∴＝，∴||＝||＝200km.

反思与感悟　准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.

跟踪训练3　在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.

（1）试以B为终点画一个向量b，使b＝a；

（2）在图中画一个以A为起点的向量c，使|c|＝，并说出向量c的终点的轨迹是什么？

解　

（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量a平行，且长度相等（作图略）.

（2）由平面几何知识可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆（作图略）.

1.下列结论正确的个数是（　　）

①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；

②向量的模是一个正实数；

③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；

④若|a|>|b|，则a>b.

A.0B.1C.2D.3

答案　B

解析　①温度没有方向，所以不是向量，故①错；②向量的模也可以为0，故②错；④向量不可以比较大小，故④错；③若a，b中有一个为零向量，则a与b必共线，故a与b不共线，则应均为非零向量，故③对.

2.下列说法错误的是（　　）

A.若a＝0，则|a|＝0

B.零向量是没有方向的

C.零向量与任一向量平行

D.零向量的方向是任意的

答案　B

解析　零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B是错误的.

3.如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则两腰上的向量与的关系是（　　）

A.＝B.||＝||

C.>D.<

答案　B

解析　||与||表示等腰梯形两腰的长度，故相等.

4.如图所示，以1×2方格纸中的格点（各线段的交点）为起点和终点的向量中.

（1）写出与、相等的向量；

（2）写出与模相等的向量.

解　

（1）＝＝，＝.

（2），，.

1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用.

2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量.

3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆.

课时作业

一、选择题

1.下列物理量：

①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程.其中是向量的有（　　）

A.2个B.3个C.4个D.5个

答案　C

解析　②③④⑤是向量.

2.下列说法中正确的个数是（　　）

①任一向量与它的相反向量不相等；②一个向量方向不确定当且仅当模为0；③共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；④单位向量的模都相等.

A.0B.1C.2D.3

答案　C

3.下列说法正确的是（　　）

A.若a∥b，则a与b的方向相同或相反

B.若a∥b，b∥c，则a∥c

C.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

D.若a＝b，b＝c，则a＝c

答案　D

4.如图，在四边形ABCD中，若＝，则图中相等的向量是（　　）

A.与B.与

C.与D.与

答案　D

解析　∵＝，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC、BD互相平分，∴＝.

5.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则以下说法错误的是（　　）

A.与相等的向量只有一个（不含）

B.与的模相等的向量有9个（不含）

C.的模恰为的模的倍

D.与不共线

答案　D

解析　由于＝，因此与相等的向量只有，而与的模相等的向量有，，，，，，，，，因此选项B正确.而Rt△AOD中，∵∠ADO＝30°，∴||＝||，故||＝||，因此选项C正确.由于＝，因此与是共线的，故选D.

6.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是（　　）

A.||＝||

B.与共线

C.与共线

D.＝

答案　C

7.以下命题：

①|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关；②两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；④单位向量都是共线向量.其中，正确命题的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

答案　C

解析　②④错误.

二、填空题

8.在四边形ABCD中，若＝且||＝||，则四边形的形状为.

答案　菱形

解析　∵＝，∴AB綊DC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵||＝||，∴四边形ABCD是菱形.

9.给出以下5个条件：

①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是.（填序号）

答案　①③④

解析　相等向量一定是共线向量，故①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共线向量，故③能使a∥b；零向量与任一向量平行，故④成立.

10.如图，若四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，则：

（1）图中与共线的向量有；

（2）图中与相等的向量有；

（3）图中与的模相等的向量有；

（4）图中与相等的向量有.

答案　

（1），，，，，，

（2），

（3），，，，，，，，

（4）

三、解答题

11.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地.

（1）画出，，，；

（2）求B地相对于A地的位置向量.

解　

（1）向量，，，如图所示.

（2）由题意知＝，

∴AD綊BC，则四边形ABCD为平行四边形，

∴＝，则B地相对于A地的位置向量为“北偏东60°，长度为6千米”.

12.如图，已知＝＝.求证：

（1）△ABC≌△A′B′C′；

（2）＝，＝.

证明　

（1）∵＝，

∴||＝||，且∥.

又∵点A不在上，∴AA′∥BB′，

∴