典型环节的频率特性.docx

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典型环节的频率特性

典型环节的频率特性

3．通过实验测得。

线性系统，xr（t）、xc（t）分别为系统的输入和输出，G（s）为系统的传递函数。

输入用正弦函数表示

xr（t）＝Asinωt

设系统传递函数为

（

重要结论：

对正弦输入而言

系统的频率特性可直接由G（jω）=Xc（jω）/Xr（jω）求得。

只要把线性系统传递函数G（s）中的算子s换成jω，就可以得到系统的频率特性G（jω）。

即

频率特性的表示方法

1.幅相频率特性

设系统（或环节）的传递函数为

令s=jω，则其频率特性为

其中，P（ω）为G（jω）的实部，称为实频特性；Q（ω）为G（jω）的虚部，称为虚频特性。

式中，A（ω）为频率特性的模，即幅频特性，

；

ϕ（ω）为频率特性的幅角或相位移，即相频特性，

。

2.对数频率特性

对数频率特性是将频率特性表示在对数坐标中。

对数频率特性曲线又称为伯德（Bode）图，它包括对数幅频和对数相频两条曲线。

对式两边取对数，得

这就是对数频率特性的表达式。

通常不考虑0.434这个系数，而只用相位移本身。

在实际应用中，频率特性幅值的对数值常用分贝（dB，decibel）表示，其关系式为

横坐标为频率ω，但按lgω刻度。

因此，频率每变化十倍，横坐标轴上就变化一个单位长度，称为“十倍频程”。

对数相频特性的纵坐标表示相位移，是线性刻度，单位是“度”。

横坐标与幅频特性的横坐标相同。

对数频率特性的坐标如图所示。

图对数坐标

典型环节的频率特性

一.比例环节

比例环节的传递函数为

以jω取代s，得其频率特性为

比例环节的对数幅频特性和对数相频特性分别为

比例环节的频率特性

二.积分环节

积分环节的传递函数为

其频率特性为

幅频特性为

相频特性为

对数幅频特性为

图5-8积分环节的幅相频率特性

积分环节对数幅频特性是一条斜率为－20dB／dec的直线，它在ω＝1这一点穿越零分贝线；相频特性与频率无关，在ω由0→∞时，其为平行于横轴的一条直线。

图积分环节的对数频率特性

三.惯性环节

惯性环节的传递函数为

其频率特性为

1、幅相频率特性

幅频特性为

相频特性为

惯性环节的对数频率特性

四.振荡环节

振荡环节的传递函数为

式中，T为时间常数；ζ为振荡环节的阻尼比（0<ζ<1）。

其频率特性为

振荡环节的对数幅频特性为

在低频段，ωT<<1（即ω<<

）时，Ｌ（ω）≈-20log1＝0dB。

这是一条与横轴重合的直线，即低频渐近线。

在高频段，当ωT>>1，即ω>>

，

这说明高频渐进线是一条斜率为-40dB／dec的直线。

两条渐进线在ω＝

＝ωn点相交，故振荡系统的固有频率就是其转角频率。

在

振荡环节的对数频率特性

五.微分环节

微分环节的传递函数为

其频率特性为

对数幅频特性为

微分环节的频率特性

六.一阶微分环节

其传递函数为

频率特性为

对数幅频特性为

一阶微分环节的对数频率特性

最小相位系统

凡是在s右半平面上没有极、零点的系统，称为最小相位系统，否则称为非最小相位系统。

从频率特性的角度看，具有相同幅频特性的一些系统，可以有不同的相频特性，其中在任意大于零的频率下，相位滞后都是最小的系统，称为最小相位系统。

控制系统的开环对数频率特性

一个复杂系统的开环传递函数G（s）往往由几个典型环节串联而成，即

其频率特性为

式中

对数幅频特性为

绘制系统的开环对数频率特性曲线（波德图）的步骤为：

1）把系统的开环传递函数化为标准形式——典型环节的传递函数之积，并分析各环节。

2）求出各转角频率ω1，ω2，⋯等等，并按大小将它们标在频率轴上。

3）在ω＝l处垂直向上量出幅值201ogK（dB），得到a点，这里K为开环放大系数。

通过a点画出L（ω）的低频渐近线，其斜率为-20ν（dB／dec）。

这里ν为系统含有积分环节的个数。

4）以后每遇到一个转角频率，就改变一次渐近线斜率。

遇到（l+Tjω）±1，斜率改变±20dB／dec；遇到[1+ζT（jω）+（Tjω）2]±1，斜率改变±40dB／dec。

5）对渐近线进行修正，便可画出精确的对数幅频特性曲线L（ω）。

6）画出系统每个组成环节的对数相频特性曲线，然后将它们在各个相同频率下相加。

即得系统的开环对数相频特性曲线ϕ（ω）。

用频率特性分析系统的稳定性

例：

某系统的开环传递函数为

绘其开环奈奎斯特曲线，并判别其闭环系统的稳定性。

【解】该系统开环频率特性为

上面这两个特殊点确定了奈氏曲线的变化趋势。

再计算几个对应不同ω值的Gk（jω）值，便能绘制出如图所示的奈奎斯特图。

当K增大时，Gk（jω）曲线将成比例地向外扩张，但形状不变，并且不会包围（-1，j0）点，已知开环传递函数中没有右极点。

因此，该闭环系统总是稳定的。

对数频率特性稳定判据

【例】已知系统的开环传递函数为

试用对数稳定判据判别系统的稳定性。

【解】绘制系统对数频率特性曲线，如图所示

系统对数频率特性曲线

因为振荡环节的阻尼比为0.1，在转折频率处的对数幅频值为

由于开环有一个积分环节，需要在相频曲线ω＝0+处向上补画π/2角。

根据对数判据，在L（ω）≥0的所有频率范围内，相频ϕ（ω）曲线在-1800线有一次负穿越，且正负穿越之差不为零。

因此，闭环系统是不稳定的。