第14讲直线形计算二完整版.docx

第14讲直线形计算二完整版.docx

《第14讲直线形计算二完整版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第14讲直线形计算二完整版.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第14讲直线形计算二完整版

第14讲直线形计算二

内容概述

进一步学习直线形面积公式的运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系互相转化；初步学习添加辅助线的分析方法。

兴趣篇

1．如图14—1，在三角形ABC中，AB是AD的3倍，三角形ACD的面积是5平方厘米．请问：

三角形ABC的面积是多少？

1.15平方厘米

解答：

△ABC与△ACD的高相等，而AB是AD的3倍，所以△ABC的面积是△ACD面积的3倍，即5×3=15平方厘米，

2．如图14-2，四边形ABCD是直角梯形，其中AD=12（厘米），AB=8（厘米），

BC=15（厘米），且三角形ADE，四边形DEBF，三角形CDF的面积相等．阴影三角形DEF的面积是多少平方厘米？

答案：

30平方厘米

解答：

直角梯形ABCD的上底AD=12（厘米），下底BC=15（厘米），高AB=8（厘米），那么它的面积是（12+15）×8÷2—108平方厘米．

由于△ADE，理边形D-BF，△CDF面积的和是整个梯形，而且它们的面积相等，所以它们的面积均为108÷3=36平方厘米，

在△ADE申，AD=12（厘米），则AE=30×2÷12=6（厘米）．所以BE-AB-AE=8-6=2（厘米）．

在△CDF中，底边CF上的高与AB相等，即8厘兴，CF=36×2÷8=9（厘米）．

所以BF=BC-CF=15-9=6（厘米）．于是△BEF的面积是2×6÷2=6平方厘米，

△DEF的面积为四边形DEBF与△BEF的面积差，即36-6=30平方厘米．

3．一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图14-3所示（单位：

平方米），剩下一块的面积应该是多少平方米？

答案：

20平方米

解析：

注意到上排的左边长方形面积是右边长方形面积的2倍，而这两个长方形的宽又相同．

根据长方形的面积公式，左边长方形的长也恰好等于右边长方形的长的2倍．

再考虑下排的两个长方形，它们的宽也相同，而它们的长和上面对应的长方形的长相同．

那么下排左边的长方形面积也应该是右边的两倍，

所以剩下的长方形面积为40÷2—20平方米．

4．如图14-4，在三角形ABC中，BC是DC的3倍，AC是EC的3倍．三角形DEC的面积是3平方厘米，请问：

三角形ABC的面积是多少平方厘米？

答案：

27平方厘米

解析：

△ADC和△DEC的底边AC是EC的3倍，它们过D点作的高相同，

所以△ADC面积是△DEC的3倍，于是△ADC面积为3×3—9平方厘米．

再比较△ABC和△ADC.它们的底边BC是DC的3倍，过A点的高相同．

所以△ABC面积是△ADC的3倍．△ABC面积为9×3=27平方厘米．

5．如图14-5，E是BC上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍．三角形ABC的面积为36平方厘米．三角形BDE的面积是多少平方厘米？

答案：

16乎方厘米

解析：

△ABE和△ABC有公共顶点A，高相同，并且因为E是BC上的三等分点，所以底边BE是BC的

，于是△ABE的面积也是△ABC面积的

，

所以△ABE的面积为36×

=24平方厘米．

△BDE和△ABE有公共顶点B，高相同，并且ED是AD的2倍，所以底边剧）是AE的

．于是△BDE的面积也是△ABE面积的

，

所以△BDE的面积为24×

=16平方厘米．

6．如图14-6所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，E是AB边上靠近B点的四等分点．三角形AED的面积是多少平方厘米？

平行四边形DECF的面积是多少平方厘米？

答案：

60平方厘米；160平方厘米

解析：

（1）△BEC和△AED都在平行四边形ABCD中，以BE．AE为底边，高相等．

因为E是AB边上靠近B点的四等分点，所以AE是BE的3倍，

所以△AED的面积是△BEC面积的3倍，是20×3-60平方厘米．

（2）△DEC与平行四边形ABCD同底等高，所以它的面积是平行四边形ABCD的一半，

那么△BEC和△A-D正好是剩下的另一半．

所以△DEC的面积为60+20一80平方厘米．

而平行四边形DE-CF中，对角线DE正好把它平分成两个相同的部分，所以平行四边形DECF的面积是△DEC的2倍．

平行四边形DECF的面积为80×2=160平方厘米．

7．如图14-7，已知平行四边形ABCD的面积为36，三角形AOD的面积为8。

三角形BOC的面积为多少？

答案：

10

解析：

过O点作一条AD的平行线，分别交AB，CD于E，F．它正好把ABCD分成左右两个小平行四边形，而且分别与两个阴影三角形同底等高，

△AOD的面积是平行四边形ADFE的一半，

△BOC的面积是平行四边形BCFE的一半．

于是它们的总面积是平行四边形ABCD的一半，即36÷2=18.

而△AOD的面积为8，所以△BOC的面积为18-8=10．

8．如图14-8，长方形ABCD的面积是96平方厘米，E是AD边上靠近D点的三等分点，F是CD边上靠近C点的四等分点．阴影部分的面积是多少平方厘米？

答案：

40平方厘米

解析：

考虑空白△AEB，△BFC，△EDF，分别求出它们的面积．

首先求△AEB的面积，它的底为AE，是长方形的长AD的

；它的高为AB，与长方形的宽相等．

所以△AEB的面积是长方形面积的

×1÷2=

，即96×

=32平方厘米，

同样可求得△13FC的面积是长方形面积的1×

÷2=

，即96×

=12平方厘米．

△EDF的面积是长方形面积的

×

÷2=

，即96×

一12平方厘米．

所以空白部分的总面积为32+12+12=56平方

厘米，阴影部分的面积为96-56=40平方厘米．

9．如图14-9，把一个正方形的相邻两边分别增加3和5厘米，结果面积增加了71平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？

答案：

49平方厘米

解析：

方法一：

将阴影部分分成三块，①，②重新拼接成一个长方形．

长方形③的面积为3×5=15，①和②拼成的长方形面积为71-15—56，又知道这个长方形的一条边为3+5=8，那么另一条边的长度为56÷8—7，即为正方形的边长，

因此正方形的面积就是7×7=49平方厘米．

方法二：

设原来正方形的边长为a厘米，则有2+71=（a-3）（a+5），解得a=7，因此原正方形的面积是49平方厘米．

10.如图14-10所示，把一个正方形的相邻两边分别减少2厘米和4厘米，结果面积减少了46平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？

答案：

81平方厘米

解析：

方法一：

把阴影部分划分成3部分，把①③组成的长方形与②③组成的长方形拼在一起，如下图所示：

注意到③的面积为2×4=8平方厘米，①②③的面积和是46平方厘米．

所以拼出的长方形面积是8+46=54平方厘米，

而它的一条边是2+4=6厘米，则另一条边是54÷6=9厘米．

于是原正方形的边长是9厘米，面积是9×9=81平方厘米．

方法二：

设原正方形的边长为a，则有a2—46=（a-2）（a-4），解得a=9，因此原正方形的面积是81平方厘米．

拓展篇

1．如图14-11，有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4，8，12，16，20平方米，其余4个长方形的面积分别是多少平方米？

答案：

8平方米；24平方米；10平方米；30平方米

解析：

第一行，12平方米的长方形面积是4平方米的长方形的3倍，而且它们的宽相同．所以前者的长是后者的3倍．相对应的，②的面积是8×3=24平方米，④的面积是③的3倍，

第二行，16平方米的长方形面积是8平方米的长方形的2倍，而且它们的宽相同．所以前者的长是后者的2倍．相对应的，①的面积是4×2=8平方米，③的面积是20÷2—10平方米．

所以④的面积是10×3=30平方厘米

2．图14-12中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD是AE的3倍，三角形ABE的面积是多少平方厘米？

解析：

观察△ABC和△ABD.它们的底边BC是BD的2倍，而这两个三角形过A点的高相同，

所以△ABD的面积是△ABC的一半，即180÷2=90平方厘米。

由于AD是AE的3倍，同样方法可以得到，△ABE的面积是△ABD的

。

因此△ABE的面积是10×3=30平方厘米。

3．如图14-13，在四边形ABCD中，已知CD=3DF，AE=3ED，而且三角形BFC的面积为6平方厘米，四边形BEDF的面积为7平方厘米．大四边形ABCD的面

积是多少？

答案：

25平方厘米

解析：

连接BD，把四边形BEDF分成△BDE和△BDF两部分，如下图所示：

在△BCD中，由于CD=3DF，则CF=2DF，即△BCF的面积是△BDF面积的2倍，因此△BDF的面积是6÷2=3平方厘米，

由于四边形BEDF的面积是7平方厘米，那么△BDE的面积就是7-3—4平方厘米．

在△ABD中，AE=3ED.△ABE的面积是△BDE面积的3倍，即4×3—12平方厘米．

这样一来，四边形ABCD各部分的面积都已求出，所以它的面积为12+7+6=25平方厘米，

4．如图14-14，把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积为1．三角形DEF的面积是多少？

答案：

解析：

先比较△ABD和△DEF的面积，这两个三角形的底边AD和DF相等，但是高不相等．

如果把AE连起来，如右图所示：

△ADE与△DEF等底

等高，所以它们的面积相等，注意到E足BD的中点，所以△ABE与△ADE面积相等，因此△ABD的面积就是△DEF的2倍．

同理，△BCE和△CAF的面积都是ADEF面积的2倍，所以大△ABC的面积就是△DEF面积的2+2+2+1=7倍，于是△DEF的面积就是l÷7=

．

5．如图14-15，将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角形的5倍．三角形ABE的边BE的长是多少？

答案：

6

解析：

梯形面积是△ABE面积的5倍，则整个长方形的面积是△ABE面积的6倍。

又知△ABC面积是整个长方形的面积的一半，因此是△ABE面积的3倍，所以BC是BE的3倍，BE=18÷3=6.

6．如图14-16，E是AB边上靠近A点的三等分点，梯形ABCD的面积是三角形AEC面积的5倍，请问：

梯形的下底长是上底长的几倍？

答案：

1.5倍

解析：

假设△AEC的面积是1份，那么梯形的面积是5份，

因为E是AB上靠近A点的三等分点，所以AB=3AE，于是△ABC面积的3份。

那么△ACD的面积就是5-3=2份。

△ABC以BC为底时，高正好等于梯形的高。

同样△ACD以AD为底时，高也是梯形的高。

则它们面积的倍数关系就等于BC与AD的倍数关系，而这两条线段恰好就是梯形的下底和上底。

因此梯形的下底是上底的3÷2=1.5倍。

7．如图14-17，一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米？

答案：

22平方厘米

解析：

黄色三角形的底和高分别对应上面长方形的长与宽，绿色三角形的底和高分别对应下面长方形的长与宽，于是这两个三角形的面积和就是整个大长方形

面积的一半．

同样道理，红色、蓝色两个的面积和也是整个大长方形面积的一半，与黄色、绿色两个三角形的面积和相等，因此蓝色三角形的面积等于21+10-9=22平方厘米．

8．图14-18中，正方形ABCD的面积为1．把每条边都3等分，然后将这8个等分点与正方形内部的某一点P相连接，形成4个阴影的四边形和4个空白的三角形．阴影部分的总面积是多少？

答案：

解析：

把P点与正方形的四个顶点都连结起来，把正方形分成了四个大三角形：

△PAB，△PBC，△PCD和△PDA.

在△PBC中，由于E，F是BC上的三等分点，则有BE=EF=FC.

于是△PBE，△PEF和△PFC的面积都相等，所以△PBC中阴影部分的面积占了

．

同样道理，在△PAB，△PCD，△PDA中，阴影部分的面积也分别占各自的

，因此阴影部分的总面积就是正方形面积的

．

正方形的面积是1，则阴影部分的总面积就是

9．如图14-19，在梯形ABCD中，E是AB的中点．已知梯形ABCD的面积为35平方厘米，三角形ABD的面积为13平方厘米，三角形BCE的面积为多少平方厘米？

答案：

11平方厘米

解析:

连结AC.由于E是AB的中点，则△BCE的面积就是△ABC面积的一半，

在梯形ABCD中，△DBC的面积=梯形面积一△ABD的面积=35-13=22平方厘米，

而△ABC与△DBC同底等高．所以它的面积也是22平方厘米．

于是△BCE的面积为22÷2=11平方厘米

10．在图14-20中，正方形ADEB和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6和4．三角形ACG和三角形BDF的面积分别是多少？

答案：

8；18

解析：

如下图，在两个图形中分别链接正方形的对角线AE，EF。

（1）四边形ADEB和ECFG都是正方形，因此对角线AE和CG平行．

观察△ACG和△ECG，它们有公共底边CG，且CG边上的高相等，于是这两个三角形的面积也相等，

即：

S△ACG=S△ECG=4×4÷2=8．

（2）与第一问类似，有BD平行于EF.

观察△BDF和△BDE，它们有公共底边BD，且BD边上的高相等，于是这两个三角形的面积也相等．

即：

S△BDF=S△BDE=6×6÷2=18．

11．图14-21是由边长分别为10厘米、12厘米、8厘米的正方形构成的，有一条与AB边平行的直线EF将此图形分成面积相等的两部分，那么BF的长度为多少厘米？

答案：

5.8厘米

解析:

三个正方形的面积之和是10×10+12×12+8×8=100+144+64=308平方厘米，把它分成面积相等的两部分，则每部分的面积都是308÷4=154平方厘米，

把左上角长为10厘米，宽为12-10=2厘米的长方形补到上半部分图形中．这样一来，直线EF上半部分就是长方形BCEF，它的长为EF，而宽为BF．

左上角的小长方形面积为10×2=20平方厘米，长方形CEFB的面积是20+154=174平方厘米，而长方形的长EF正是三个正方形边长之和，即10+12+

8=30厘米，因此BF就是174÷30=5.8厘米．

12.

（1）如14-22中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米，结果面积增加了50平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？

（2）如14-22中右图所示，把一个正方形的相邻两边分别减少3厘米和5厘米，结果面积减少了65平方厘米（阴影部分）．原正方形的面积为多少平方厘米？

答案：

（1）49平方厘米

（2）100平方厘米

解析方法一：

（1）将阴影部分分成三块后，容易发现,①，②两个长方形的长都等于正方形的边长．则可以把①，②重新拼接成一个长方形．

长方形③的面积为2×4=8厘米，①和②拼成的长方形的面积为50-8=42平方厘米，又知道这个长方形的一条边为2+4=6厘米，那么另一条边的长度为42÷6=7厘米。

因此原正方形的面积就是7×7=49平方厘米。

（2）把阴影部分划分成3部分，此时把它们拼在一起，注意到它们不能直接拼在一起，必须利用正方形边长相等的关系。

则可以把①③组成的长方形与②③组成的长方形拼在一起。

注意到③的面积为3×5=15平方厘米，①②③的面积和是65平方厘米。

所以拼出的长方形的面积是15+65=80平方厘米，而它的长是3+5=8厘米，则宽是80÷8=10厘米。

于是原正方形的边长是10厘米，面积是10×10=100平方厘米。

方法二：

（1）设原正方形的边长为a厘米，则有a2+50=（a+2）×（a+4），节的a=7，因此原正方形的面积是49平方厘米。

（2）设原正方形的边长为a厘米，则有a2-65=（a-3）×（a-5），解得a=10，因此原正方形的面积是100平方厘米。

13.如图14-23，四边形ABCD内有一点O，O点到四条边的垂线都是4厘米．四边形的周长是36厘米．四边形的面积是多少平方厘米？

答案：

72平方厘米

解析：

连结AO，BO，CO，DO之后，四边形ABCD的面积正好是△AOB，

△BCC，△COD和△DOA的面积和.O点到四条边的垂线正好是这些三角形的高，都等于4厘米．

利用乘法分配律，它们（AB+BC+CD+DA）=

×4×36=72平方厘米

14．如图14-24，直角三角形ABC套住了一个正方形CDEF，E点恰好在AB边上．直角边AC长20厘米，BC长12厘米，正方形的边长为多少厘米？

答案：

7.5

解析：

连结CE，发现△ACE与△CBE的面积之和是20×12÷2=120平方厘米，

而分别以AC，CB为底边时，它们的高EF和ED相等．

于是有AC×高÷2+CB×高÷2=（AC+CB）×高÷2=120平方厘米。

而AC+CB=20+12=32厘米，因此高就是120×2÷32=7.5厘米，那么正方形的边长是7.5厘米。

超越篇

1．如图14-25，三角形ABC的每边长都是96厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形．请求出CE和CF的长度之和．

答案：

100厘米

解析：

△ABC的面积是△ABD的4倍，它们有相同的高，所以它们的底边AC与AD也是4倍关系。

于是AD=AC÷4=96÷4=24厘米，所以CD=AC-AD=96-24=72厘米。

△DBC的面积是△DBE的3倍。

从而BE=BC÷3=96÷3=32厘米，CE=BC-BE=96-32=64厘米。

由△DEF和△EFC面积相等，得到CF=CD÷2=72÷2=36厘米。

所以CE+CF=64+36=100厘米。

2．如图14-26，把四边形ABCD的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH．如果ABCD的面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米？

答案：

25平方厘米

解析：

连结BD，DE，由于AB=AE，△ABD和△ADE等底同高，可知它们的面积相等。

同理，由于DA=DH，△EDH和△ADE的面积也相等，所以△AEH的面积是△ADE面积的2倍．

同样，连结BG，可以发现△CFG是△BCD面积的2倍。

于是△AEH与△CFG的面积和为2S1+2S2，四边形ABCD的面积为S1+S2，所以△AEH与△CFG的面积和正好是四边形ABCD的面积的2倍．

同理，△BEF与△DGH的面积和也是四边形ABCD的面积的2倍．

所以四边形EFGH的面积为四边形ABCD的面

积的2+2+1=5倍．邸5×5=25平方厘米．

3．图14-27中ABCD是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：

厘米）．过I点的线段IM将五边形EFGHI分成面积相等的两部分．线段BM的长度是多少厘米？

答案：

2.75厘米

解析：

观察图形，发现BM在直角梯形ABMI之中，

已经知道了这个直角梯形的上底和高，如果知道

它的面积就可以求出下底BM.

S△AEI=2×5÷2=5（平方厘米），S△BEF=1×6÷2=3（平方厘米），S△CHG=2×4÷2=4（平方厘米），

S△DHI=3×4÷2=6（平方厘米），正方形ABCD面积为8×8=64平方厘米，

于是五边形EFGHI的面积为64-5-3-4-6=46平方厘米．

四边形EFMI的面积为五边形的一半，即46÷2=23平方厘米．

直角梯形ABMI的面积为△AEI，△BEF和EFMI的面积和，即为5+3+23=31平方厘米，它的高AB为8厘米，上底AI为5厘米，则下底BM=31×2÷8-5=2.75（厘米）．

4．如图14-28，在钝角三角形ABC中，M为AB边的中点，MD，EC都垂直于BC边，若三角形BDE的面积是3平方厘米，则三角形ABC的面积是多少？

答案：

6平方厘米

解析：

注意到MD，EC都垂直于BC边，所以它们相互平行．连结CM.

△DEM与△CDM同底等高，所以它们的面积相等，于是它们分别加上△BDM后也相等，即△BDE和△BCM面积也相等，于是△BCM的面积是3平方厘米，

即△ABC的面积为△BDE的2倍，为2×3=6平方厘米．

5．在图14-29中，大正方形面积比小正方形面积大40平方厘米．大正方形面积是多少平方厘米？

答案：

121平方厘米

解析：

方法一：

把阴影部分分割为三块，分别是两一长方形和一个小正方形，如下图所示：

此时发现，①和③的宽相同，正好等于②的边长

于是把这3块拼在一起．

可以发现拼成一个阴影长方形，而且它的长正好是20厘米，于是它的宽是

40÷20=2厘米，也就是说②的边长是2厘米，这也正好是原图中大小两个正形的边长之差。

由和差问题的方法，大正方形的边长为（20+2）÷2=ll厘米．所以它的面积是11×II=121平方厘米．

方法二：

设大正方形边长为a厘米，小正方形长为b厘米，

则有a2–b2=（a+b）（a-b）=40，其中a+b=20，则a-b=2，a=

=11，大正方形的面积是121平方厘米，

6．如图14-30，直角三角形ABC的三边长分别为AC=30分米，AB=18分米，BC=24分米，ED垂直于AC，且ED=95厘米．问正方形BFEG的边长是多少厘米？

答案：

35厘米

解析：

把AE，BE，CE连结起来，把直角△ABC分成了三部分：

△ACE，△ABE和△CBE.如下图所示：

直角△ABC的面积就是18×24÷2—216平方分米

而△ACE的底边AC=30（分米），高ED=9.5分米，它的面积是30×9.5÷2=142.5平方分米，那么△ABE和△CBE面积之和就是216-142.5=73.5平方分米，

在△ABE和△CBE中，底边分别是AB和BC，高都是正方形的边长，利用乘法分配律，它们的面积之和为（AB+BC）×高÷2．于是它们的高为73.5×2÷（18+24）=3.5分米．

因此正方形边长为3.5分米，即35厘米．

7．菜鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位．三百回合大战后，两人不分胜负．突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖．说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“瞠”的一声，飞镖被劈成了两半．如图14-31，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为5．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几？

答案：

解析：

整个六角星可以被分成12个相等的小三角形，设整个六角星的面积为1，则每个小三角形的面积为

，图中粗线的大三角形面

积为

×9=

如右图所示，

易知阴影三角形的面积为

×

×

=

，因此较大的残片的面积是

+

+

=

，较小的残片的面积是1-

=

8．如图14-3