直角三角形中考试题分类汇编含答案.docx
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直角三角形中考试题分类汇编含答案
18、直角三角形
要点一：
勾股定理及其逆定理
一、选择题
1．（2009·达州中考）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）
A．13B．26C．47D．94
【解析】选C∵正方形A和正方形B的边长分别为3、5，所以与正方形E相邻的直角三形的一直角边的平方为34，又因为正方形C和正方形D的边分别为2、3，所以正方形E相邻的直角三角形的另一条直角边的平方为13，所以正方形E的面积为47.
2、（2009·滨州中考）如图，已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8，则边BC的长为（）
A．21B．15C．6D．以上答案都不对
答案：
选A
二、填空题
3、（2010·义乌中考）在直角三角形中，满足条件的三边长可以是．（写出一组即可）
【解析】只要是勾股数即可。
4、（2009·湖州中考）如图，已知在中，，，分别以，为直径作半圆，面积分别记为，，则+的值等于．
【解析】因为,而=,=,
所以+=+=
=
5.（2009·长沙中考）如图，等腰中，，是底边上的高，若，则cm．
【解析】由，是底边上的高得BD=CD=3cm,由勾股定理得
答案：
4
6.（2009·安顺中考）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的。
在Rt△ABC中，若直角边AC=6，BC=6，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是______________。
【解析】如图，
∴风车的外围周长=4×（13+6）=76
答案：
76
7、（2009·宜宾中考）已知：
如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3,则图中阴影部分的面积为．
答案：
．
8、（2008·台州中考）如图，四边形，，都是正方形，边长分别为；五点在同一直线上，则（用含有的代数式表示）．
答案：
9、（2007·徐州中考）如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm，现将△ABC进行折叠，使顶点A、B重合，则折痕DE=_______cm．
答案：
三、解答题
10、（2009·张家界中考）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知，求的长．
【解析】，
设，则，
，
11、（2009·白银中考）如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：
（1）；
（2）．
证明:
（1）∵，
∴．
即．
∵，
∴△ACE≌△BCD．
（2）∵是等腰直角三角形，
∴．
∵△ACE≌△BCD，∴．
∴．
∴．
由
（1）知AE＝DB，
∴．
12、（2009·新疆中考）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是，斜边长为和一个边长为的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图．
（2）证明勾股定理．
【解析】方法一解：
（1）如图
（2）证明：
大正方形的面积表示为,大正方形的面积也可表示为
，，
．
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
方法二解：
（1）如图
（2）证明：
大正方形的面积表示为：
，
又可以表示为：
，，
．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
13、（2007·聊城中考）
（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
（2）如图2，，，且三点共线．
试证明；
（3）伽菲尔德（，1881年任美国第20届总统）利用
（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．
【解析】
（1）这个公式为．
（2），．
．
由于共线，
所以．
（3）梯形的面积为
；
另一方面，梯形可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成
．
所以，．
即．
要点二、勾股定理的应用
一、选择题
1．（2010·眉山中考）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【解析】：
选C.根据勾股定理可知AC2==5,BC2==5,
AB2==10,∴AC=BCAC2＋BC2＝5+5＝10＝AB2
∴⊿ABC是等腰直角三角形且∠ACB＝90º，
∴∠ABC=∠BAC=45º
2、（2009·衡阳中考）如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）
A．AB中点B．BC中点
C．AC中点D．∠C的平分线与AB的交点
【解析】选A因为AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，所以,所以三角形ABC为直角三角形，所以其斜边上的中线等于斜边的一半；故选A；
3、（2009·恩施中考）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）
A．B．25C．D．
【解析】选B将面AC沿正方体的一条棱展开，得AC=
所以线段AB=25；
二、填空题
4、（2009·滨州中考）某楼梯的侧面视图如图所示，其中米，，，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为．
【解析】因为且，所以地毯的长度为答案：
（2+2）米；
5、（2009·内江中考）已知Rt△ABC的周长是，斜边上的中线长是2，则S△ABC＝____________.
【解析】因为△ABC斜边上的中线长为2，又因为△ABC为直角三角形，
所以其斜边长为4，又因为周长为，所以两条直角边之和为，
所以两直角边的积为16，所以S△ABC＝8；
答案：
8；
6、（2009·青岛中考）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．
【解析】由题意得：
细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，其最短长度为将长方体的四个侧面展开即可构成一个直角边分别为8cm和6cm的直角三角形，所以细线的最短长度应为10cm；当细线绕四个侧面缠绕n圈时，到达点B最短长度为（或）cm；
答案：
10cm，（或）cm；
7、（2008·株洲中考）如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米.
【解析】如图，由勾股定理得，这棵树折断之前的高度3+5=8（米）
答案：
8
8、（2007·扬州中考）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
【解析】路（m）,他们仅仅少走了（3+4-5）×2=4步路.
答案：
4
9、（2007·怀化中考）如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为，若一只小虫从点出发沿着圆柱体的侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路程是（结果保留根号）.
答案：
二、解答题
10、（2009·临沂中考）如图，A，B是公路l（l为东西走向）两旁的两个村庄，A村到公路l的距离AC＝1km，B村到公路l的距离BD＝2km，B村在A村的南偏东方向上．
（1）求出A，B两村之间的距离；
（2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站P，要求该站到两村的距离相等，请用尺规在图中作出点P的位置（保留清晰的作图痕迹，并简要写明作法）．
【解析】
（1）方法一：
设与的交点为，根据题意可得．
和都是等腰直角三角形．
，．
两村的距离为（km）．
方法二：
过点作直线的平行线交的延长线于．
易证四边形是矩形，
．
在中，由，可得．
（km）
两村的距离为km．
B
A
C
D
l
N
M
O
P
（2）作图正确，痕迹清晰．
作法：
①分别以点为圆心，以大于的长为
半径作弧，两弧交于两点，
作直线；
②直线交于点，点即为所求．
11、（2009·牡丹江中考）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长．
【解析】在中，由勾股定理有：
，扩充部分为扩充成等腰应分以下三种情况：
①如图1，当时，可求,得的周长为32m．②如图2，当时，可求,由勾股定理得：
得的周长为③如图3，当为底时，设则由勾股定理得：
得的周长为
12、（2008·广东中考）如图，在ΔABC中，AB=AC=10，BC=8．用尺规作图作BC边上的中线AD（保留作图痕迹，不要求写作法、证明），并求AD的长．
【解析】
（1）作图略
（2）在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，
.
在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝4，，
.
∴，，
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