有限元法解圆柱绕流问题.docx
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有限元法解圆柱绕流问题
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有限元法求解无限流体中的圆柱绕流问题
2016年01月12号
一．问题描述
考虑位于两块无限长平板间的圆柱体的平面绕流问题，几何尺寸如下图所示，来流为
。
由于流场具有上下左右的对称性，只考虑左上角四分之一的计算区域abcde，
把它作为有限元的求解区域Ω。
要求求解出整个区域中的流函数、以及压强值。
图1：
圆柱绕流模型
二．数学建模
在足够远前方选与来流垂直的控制面ae,cd是沿y轴，亦即一流动对称轴，bc是物面，ab
亦是流动对称轴，所要考虑的流动区域即由线abcdea所围成的区域，在这一区域中有：
1.边界ab为流线，取ψ=0，
2.边界bc也为流线，同样取ψ=0，
3.边界cd，切向速度=0，取
4.边界de为流线,满足于是在ed上，ψ=2，
5.进口边界ae上，ψ=（本文中采取此条件）
也可以提自然边界条件
我们以流函数ψ作为未知函数来解此问题，流函数所满足的微分方程如下：
（1）
此处就是就是cd段边界，且切向速度=0，Γ1和Γ2合起
来是整个边界，并且此二者不重合。
下面，按有限元方法的一般步骤来计算此问题。
三．有限元法解圆柱绕流问题
1．建立有限元积分表达式
根据求解问题的基本控制方程，应用变分法或加权余量法将求解的微分方程定解问题化
为等价的积分表达式，作为有限元法求解问题的出发方程式。
对于方程
（1），它是一椭圆型方程，具有正定性，可以用变分法，这里直接给出泛函
令其变分δJ=0，可以得到
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自然边界条件已经包含在变分表达式中（其名称的由来），而本质边界条件必须强制ψ
满足（因此称其为本质边界条件，也称为强制边界条件）。
如果根据原微分方程中无法给出泛函J，则可以用Galerkin加权余量方法得到积分方程，这相当于将原来的微分方程写为如下变分形式：
这里的δψ是函数ψ的改变量，是一种“虚位移”，在本质边界条件。
因此，
上式做分部积分后，边界积分仅剩下。
具体为
即（3）式。
可见，如果ψ满足原来的微分方程和边界条件，那么，必然有ψ满足（4）式，进而满足
（5）式。
注意，在（5）式中，包含的边界Γ2上的边界条件信息，对边界Γ1的部分，仅知
道它是给定了函数值的边界，却不知道边界上的值是多少，为了确定这些值，还需要额外的
处理方法。
正是因为Γ2上的边界信息可以包含在积分表达式中，这种边界条件也称为自然
边界条件。
2．区域剖分
根据物理问题的特点以及区域的形状，把计算区域分成许多几何形状规则但大小可以不
同的单元，确定单元节点的数目和位置，建立表示网格的数据结构。
采用的单元形状和节点
的分布，以及插值函数的选取还应考虑到计算精度和可微性的要求。
这里通过ANSYSICEMCFD
14.0建模并划分网格。
具体而言，网格将求解区域分为个281节点和565个单元，所有单元均
为三角形单元，如图2所示实际上由于matlab计算编程是不知如何直接读取网格数据，就只选取了180个单元与103个节点进行计算。
图2：
左上角四分之一区域的流场及其有限单元划分流场网格
3.单元分析
单元分析的目的是建立有限元方程。
把有限元积分表达式（3）写为各个单元求和的形式
这里表示单元e，是单元总数，如果仅在一个单元上考虑上式，形式上有
其中表示单元e的边界，上式实质上并不是一个等式，只具有形式上的意义，当对所有
的单元求和以后，才是等式。
如果把线积分中的Γ2∩Γ（e）换为Γ（e），则得到的是等式，但
在对所有单元求和时，内部边界的线积分刚好抵消，因此（7）也可以理解为不计内部边界贡
献的（3）式在单元上的表达式。
流函数ψ在单元e内可用如下函数近似：
这里（i=1,2,3）为节点流函数值，为节点上的插值函数，上式中重复下标表示约
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定求和。
将（8）代入（7），不难得到
由于的任意性，所以，对于j=1,2,3都有
此即单元方程，通常可以简写为
采用三节点三角形单元时，单元的插值基函数为
如果单元e三个点坐标为（）,i=1,2,3,则
即插值基函数在点取1，在两点为零。
由此不难解出abc。
注意到求时对
的取值并不影响最后的计算。
对某一固定的单元e，将（11）式代入（10）中，可以得到：
此即采用线性单元时的单元方程系数矩阵。
其中为三角形（积分区域）的面积，bc的值
可由（12）求得，现在列举如下：
c1
1
（x3
x2）c2
1
（x1
x3）
c3
1
（x2
x1）
2A
（e）
2A
（e）
2A
（e）
（13）
求解单元系数矩阵时，一般同时进行总体合成，
每形成一个单元方程，
便把它累加到总
体方程中。
出于顺序和逻辑上的考虑，下一步再详细说明总体合成的方法。
对于边界积分项，我们假设三角形单元e中序号为,，的节点在边界
2上，
为自
然边界，其长度为l。
首先，注意到插值函数在
边上是零。
所以，可以得到如下结论：
图3：
自然边界条件的处理
右端项：
f（e）
0
。
为了计算f（e）和f
（e），以点为原点，沿直线
建立局部坐标系
，在此坐标系中，
插值函数N和N如上图所示，可写成线性插值函数如下：
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假设切向速度Vs在两节点处的值分别为Vs和Vs，并且沿边界是线性分布的，可以表
示为
vs
vsa
（vs
vsa）l
。
于是可以得到
l
l
l（v
f（e）
vNd
（v
（v
v
））d
2v
）。
0
s
0
sa
s
sa
l
l
6sa
s
对于前面讨论的圆柱绕流问题，由于
vsavs
0
，所以，根据线性解的性质，必有
无需考虑f的影响，使程序得到了不少的简化。
4.总体合成
总体合成的过程就是把已经形成好的单元方程按一定顺序迭加起来，
形成总体有限元方
程。
具体做法是根据单元内节点的总体顺序号，
把单元方程进行延拓，
未知量包含所有节点
上的函数值，与此单元无关的位置以零填充，
把所有的单元方程都进行延拓以后，
进行系数
矩阵的累加，便得到总体方程。
理论上说，这一过程也可以通过引入一个
Boole
型矩阵来实
现，定义单元e的boole矩阵B3Np
B3Np
1,如果单元e的地i个点总体顺序号是j
j=1,2,3
⋯Np.
0.
i=1,2,3;
其他情况
矩阵B其实就是单元节点序号表的又一表达形式。
单元
e的系数矩阵A（e）
以及右端项f（e）
沿拓后就是：
进而总体合成的过程可以表示为
Ne
Ne
A
A（e），f
f（e）。
e1
e1
但是这种方法比较麻烦，要重新定义新的矩阵Ｂ，
而且还要涉及计算矩阵转置和矩阵相
乘等运算，一方面计算量较大，并且浪费空间，另一方面人为地增加了程序的复杂性，
降低
了程序的可读性。
因此，这种方法一般只用作理论分析。
实际的计算中，每当计算出一个单元系数矩阵
，假设单元e三个节点编号分别为
i,j,k，那么将
中的1*1项放入大矩阵（借鉴结构力学的概念，不妨称其为总体“刚度”矩
阵，下同）A的i*i
项中，将1*2,1*3
分别放入总体刚度矩阵A的i*j,i*k
项中。
同理，2*1,2*2
，
2*3,3*1,3*2,3*3
项分别对应总体刚度矩阵A的j*i,j*j,j*k,k*i,k*j,k*k
项中。
采用此方法
并未多占用计算机内存，运算量也并不大（总共进行9*e次加法运算，不进行乘法运算）。
本题的算法中选用的即此方法。
（5）边界条件处理
这里的边界条件是指本质边界条件，自然边界条件已经包含在积分表达式中了。
具体做法是将已知的值代入到方程组中，并把已知的值移到方程组的右段，形成右端项。
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（6）求解有限元方程组并计算相关物理量
有限元方程组的求解是一个代数问题，应针对具体的问题采用合适的方法求解。
对于对角占优的代数方程组，可以采用迭代法求解，规模不大的可以用Gauss消元法一类的直接法求解，三对角方程则可以用追赶法。
求出所有的待求量后，便得到了近似函数的表达式，并
可以计算出相关的物理量。
对计算结果进行综合的分析，以期得到原问题的正确的物理解答。
对于每个单元，速度可以根据
来计算,节点上的速度值可取这个节点相邻单元的速度值的平均。
节点上的压力值可以有伯
努利方程计算。
假设求解区域位于同一水平面内，介质密度，来流压力p=0，那么
。
如此便可得到节点处的速度和压力分布。
四．具体算法实现
本文具体算法是通过MATLAB实现的，matlab程序文件及算法说明见附件。
五．结果分析
运行附件中MATLAB程序，可以得到图4和图6两张图。
图4显示1/4区域的流场分布，图中的点以不同颜色表示各个结点处的流函数，图中的曲线为流函数的等势线，即是流线，由于对称性，整个区域的流场分布可明显看出，故不再画出。
而圆柱绕流问题的解析解为
y（1
1
），便于与计算结果对比。
从图
4可以发现，有限元法数值法得到的
y2
x2
流线与解析法得到的流线在形态上基本一致。
图4：
有限元计算的1/4区域流场分布
图5：
解析法的整个区域流场分布
具体到1/4区域的右边界上的结点，将有限元法得到的流函数数值解与解析解相对比，
得到图7中的曲线。
可见，有限元法与解析法所得曲线在趋势上基本一致，但在数值上最大
误差为11%。
图6:
1/4
区域右边界上流函数的有限元数值解与解析解对比
附件：
1.NATLAB主程序：
youxianyuan.m
ENA=[4132370.0
4144320.0
18101210.7
181031010.0
103221020.0
10318220.0
3036280.0
3035360.0
292120.0
29620.0
307170.05029162
30870.0
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101102990.0
1011031020.0
449450.0
4441940.0
3552380.0
3516520.0
294460.0
2932440.0
9720210.2
13930.0
45940.0
102100990.0
10198210.0
221001020.0
99981010.0
9897210.0
2396220.0
96100220.0
92951000.0322137
95991000.0
9198990.0
9097980.0
9789200.0
48730.0
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5348580.0
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3938450.0
4137430.0
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4031330.0
3439420.04382332
3638390.0
3731400.0
3436390.0
3635380.0
3231370.0
3517160.0
3428360.0
3327340.0
2531320.0
3126330.04815108
3017350.0
2728340.0
2627330.04614112
2925320.0
2526310.0
288300.0
279280.0
2610270.0
1225290.0
2511260.03337283
98280.0
109270.0
1110260.0
1211250.0
];%单元与结点号、面积对应关系矩阵
NCORD=[-30
-10
-2.60
-2.20
-1.80
-1.40
01
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-0.30.1
-0.60.2
-0.10.1
-0.20.5
-0.10.2
13
12.6
12.2
11.8
11.4-33-0.753-1.53-2.253-32.25-31.5-30.75
-1.80.9
-0.60.
-0.70.8
-0.1.8
-1.20.2
-0.81.3
-1.60.9
-1.0.
-1.01.0
-0.1.8
-0.51.6
-0.51.3
-1.30.6
-0.41.3
-0.11.8
-1.10.7
-1.20.5745713
-1.01.5
-1.80.5
-1.60.9
-0.81.4
-1.01.
-1.61.4
-0.12.05857237
-1.61.3
-1.1.4
-1.11.9
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-0.61.9
-0.2.
-1.02.0
-1.81.7
-1.11.1
-2.00.6
-0.92.1
-1.31.1
-1.1.1
-2.1.4
-2.1.0
-0.12.3
-1.02.4
-1.82.5
-1.21.7
-2.01.5
-2.60.4
-0.22.7
-1.31.4
-2.11.
-2.91.2
-2.1.0
-2.20.7
-0.92.4
-0.82.1
-1.72.7
-1.42.
-1.2.8
-2.21.5
-2.70.7513903
-2.40.8
-0.22.8
-2.71.2
-2.11.4
-2.31.0
-2.90.3
-1.62.8
-1.82.1
-1.82.3
-2.52.
-2.41.8
-2.10.6
-1.70.
-2.52.0
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-2.41.2
-1.72.4
-2.02.4
-2.12.7
-2.42.4
-2.52.1
-2.62.8
-2.52.
];%结点与坐标对应关系矩阵
[Enum,temp]=size（ENA）;%返回单元总数
[Nnum,temp]=size（NCORD）;%返回结点总数
BNODE=[134562121110987171615141319202118222324];%边界结点编号
[temp,Bnum]=size（BNODE）;%返回边界结点数
%边界已知流函数的结点号及其值
BKN=[1345621211109871319202118222324;
000000000000333332.251.50.75];
[temp,Bknum]=size（BKN）;%返回边界已知流函数的结点数
UKN=[14,15,16,17,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,
50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,
81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103];
[temp,Uknum]=size（UKN）;%未知流函数的结点数
fork=1:
Enum%单元号
x1=NCORD（ENA（k,1）,1）;
y1=NCORD（ENA（k,1）,2）;
x2=NCORD（ENA（k,2）,1）;
y2=NCORD（ENA（k,2）,2）;
x3=NCORD（ENA（k,3）,1）;
y3=NCORD（ENA（k,3）,2）;
a
（1）=x2*y3-x3*y2;b
（1）=y2-y3;c
（1）=x3-x2;
a
（2）=x3*y1-x1*y3;b
（2）=y3-y1;c
（2）=x1-x3;
a（3）=x1*y2-x2*y1;b（3）=y1-y2;c（3）=x2-x1;
forn=1:
3
form=1:
3
ANM（k,n,m）=1/（4*ENA（k,4））*（b（n）*b（m）+c（n）*c（m））;%各个单元的Anm信息end
end
end
fori=1:
Nnum%求系数矩阵A
forj=1:
Nnum
temp=0;
fore=1:
Enum
forn=1:
3
form=1:
3
ifENA（e,n）==i&&ENA（e,m）==j
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temp=temp+ANM（e,n,m）;
end
end
end
end
A（i,j）=temp;
end
end
fori=1:
Uknum%扫描未知流函数的结点
F（i）=0;
forj=1:
Uknum
ANEW（i,j）=A（UKN（i）,UKN（j））;%新的系数矩阵
end
fork=1:
Bknum%扫描已知流函数的结点
F（i）=F（i）+A（UKN（i）,BKN（1,k））*BKN（2
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