（1）＝－；
当－1≤cosx<0时，得a≤cosx－，令t＝cosx，f（t）＝t－在[－1,0）上为增函数，得a≤f（－1）＝.综上，可得a的取值范围是.
3.（2016·山东改编）若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质.给出四个函数①y＝sinx；②y＝lnx；③y＝ex；④y＝x3，其中具有T性质的是________.
答案 ①
解析 对函数y＝sinx求导，得y′＝cosx，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数y＝lnx求导，得y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.
4.（2016·天津）已知函数f（x）＝（2x＋1）ex，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为________.
答案 3
解析 因为f（x）＝（2x＋1）ex，
所以f′（x）＝2ex＋（2x＋1）ex＝（2x＋3）ex，
所以f′（0）＝3e0＝3.
1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值最值问题是高考的常见题型.3.导数与函数零点，不等式的结合常作为高考压轴题出现.
热点一 导数的几何意义
1.函数f（x）在x0处的导数是曲线f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线的斜率，曲线f（x）在点P处的切线的斜率k＝f′（x0），相应的切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）.
2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同.
例1
（1）（2016·课标全国甲）若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln（x＋1）的切线，则b＝________.
（2）已知f（x）＝x3－2x2＋x＋6，则f（x）在点P（－1,2）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________.
答案
（1）1－ln2
（2）
解析
（1）y＝lnx＋2的切线为y＝·x＋lnx1＋1（设切点横坐标为x1），y＝ln（x＋1）的切线为y＝x＋ln（x2＋1）－（设切点横坐标为x2），
∴
解得x1＝，x2＝－，∴b＝lnx1＋1＝1－ln2.
（2）∵f（x）＝x3－2x2＋x＋6，
∴f′（x）＝3x2－4x＋1，
∴f′（－1）＝8，切线方程为y－2＝8（x＋1），
即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，
令y＝0，得x＝－，
∴所求面积S＝××10＝.
思维升华
（1）求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.
（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
跟踪演练1 （2015·湖南省名校联考）设曲线y＝在点处的切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，则a＝________.
答案 1
解析 由题意得，
y′＝
＝，
则曲线y＝在点处的切线的斜率为
k1＝＝1.
因为直线x＋ay＋1＝0的斜率k2＝－，又该切线与直线x＋ay＋1＝0垂直，所以k1k2＝－1，解得a＝1.
热点二 利用导数研究函数的单调性
1.f′（x）>0是f（x）为增函数的充分不必要条件，如函数f（x）＝x3在（－∞，＋∞）上单调递增，但f′（x）≥0.
2.f′（x）≥0是f（x）为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′（x）＝0时，则f（x）为常函数，函数不具有单调性.
例2 设函数f（x）＝xekx（k≠0）.
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间（－1,1）内单调递增，求k的取值范围.
解
（1）由题意可得f′（x）＝（1＋kx）ekx，
f′（0）＝1，f（0）＝0，
故曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x.
（2）由f′（x）＝（1＋kx）ekx＝0，得x＝－（k≠0），
若k>0，则当x∈时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减，
当x∈时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增；
若k<0，则当x∈时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，
当x∈时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减.
（3）由
（2）知，若k>0，则当且仅当－≤－1，即k≤1时，函数f（x）在区间（－1,1）内单调递增；
若k<0，则当且仅当－≥1，即k≥－1时，函数f（x）在区间（－1,1）内单调递增.
综上可知，函数f（x）在区间（－1,1）内单调递增时，k的取值范围是[－1,0）∪（0,1].
思维升华 利用导数研究函数单调性的一般步骤：
（1）确定函数的定义域；
（2）求导函数f′（x）；
（3）①若求单调区间（或证明单调性），只要在函数定义域内解（或证明）不等式f′（x）>0或f′（x）<0.
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′（x）≥0或f′（x）≤0在单调区间上恒成立问题来求解.
跟踪演练2
（1）已知m是实数，函数f（x）＝x2（x－m），若f′（－1）＝－1，则函数f（x）的单调递增区间是__________________.
（2）若函数f（x）＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间（k－1，k＋1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是__________.
答案
（1）∪（0，＋∞）
（2）
解析
（1）因为f′（x）＝3x2－2mx，
所以f′（－1）＝3＋2m＝－1，解得m＝－2.
由f′（x）＝3x2＋4x>0，解得x<－或x>0，即函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－）∪（0，＋∞）.
（2）f（x）的定义域为（0，＋∞）.
f′（x）＝4x－.
由f′（x）＝0，得x＝.
据题意，得
解得1≤k<.
热点三 利用导数求函数的极值、最值
1.若在x0附近左侧f′（x）>0，右侧f′（x）<0，则f（x0）为函数f（x）的极大值；若在x0附近左侧f′（x）<0，右侧f′（x）>0，则f（x0）为函数f（x）的极小值.
2.设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则f（x）在[a，b]上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.
例3 已知函数f（x）＝ax－－3lnx，其中a为常数.
（1）当函数f（x）的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f（x）在上的最小值；
（2）若函数f（x）在区间（0，＋∞）上既有极大值又有极小值，求a的取值范围.
解
（1）f′（x）＝a＋－（x>0），
由题意可知，f′＝1，解得a＝1.
故f（x）＝x－－3lnx，
∴f′（x）＝，
根据题意由f′（x）＝0，得x＝2.
于是可得下表：
x
2
（2,3）
3
f′（x）
－
0
＋
f（x）
1－3ln2
∴f（x）min＝f
（2）＝1－3ln2.
（2）f′（x）＝a＋－＝（x>0）,
由题意可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h（x）＝ax2－3x＋2，
则
解得0思维升华
（1）求函数f（x）的极值，则先求方程f′（x）＝0的根，再检查f′（x）在方程根的左右函数值的符号.
（2）若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′（x）＝0根的大小或存在情况来求解.
（3）求函数f（x）在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f（a），f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值.
跟踪演练3 已知函数f（x）＝lnx＋ax－a2x2（a≥0）.
（1）若x＝1是函数y＝f（x）的极值点，求a的值；
（2）若f（x）<0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围.
解
（1）函数的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝.
因为x＝1是函数y＝f（x）的极值点，
所以f′
（1）＝1＋a－2a2＝0，
解得a＝－（舍去）或a＝1.
经检验，当a＝1时，x＝1是函数y＝f（x）的极值点，
所以a＝1.
（2）当a＝0时，f（x）＝lnx，显然在定义域内不满足f（x）<0恒成立；
当a>0时，
令f′（x）＝＝0，
得x1＝－（舍去），x2＝，
所以x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（0，）
（，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
f（x）
极大值
所以f（x）max＝f（）＝ln<0，
所以a>1.
综上可得，a的取值范围是（1，＋∞）.
1.设函数y＝f（x）的导函数为f′（x），若y＝f（x）的图象在点P（1，f
（1））处的切线方程为x－y＋2＝0，则f
（1）＋f′
（1）＝________.
押题依据 曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“过某一点的切线”问题，也是易错易混点.
答案 4
解析 依题意有f′
（1）＝1,1－f
（1）＋2＝0，即f
（1）＝3，
所以f
（1）＋f′
（1）＝4.
2.已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为________.
押题依据 函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键.极值点、极值的求法是高考的热点.
答案 －
解析 由题意知f′（x）＝3x2＋2ax＋b，f′
（1）＝0，f
（1）＝10，即解得或
经检验满足题意，
故＝－.
3.已知函数f（x）＝x2－ax＋3在（0,1）上为减函数，函数g（x）＝x2－alnx在（1,2）上为增函数，则a的值等于________.
押题依据 函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在（0,1）上为减函数”与“函数的减区间为（0,1）”的区别.
答案 2
解析 ∵函数f（x）＝x2－ax＋3在（0,1）上为减函数，
∴≥1，得a≥2.
又∵g′（x）＝2x－，依题意g′（x）≥0在x∈（1,2）上恒成立，得
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