步步高高考数学理江苏大二轮总复习练习专题二第3讲导数及其应用含答案解析.docx

1、步步高高考数学理江苏大二轮总复习练习专题二 第3讲导数及其应用含答案解析第3讲导数及其应用1.(2016四川改编)已知a为函数f(x)x312x的极小值点，则a_.答案2解析f(x)x312x，f(x)3x212，令f(x)0，则x12，x22.当x(，2)，(2，)时，f(x)0，则f(x)单调递增；当x(2,2)时，f(x)0，则f(x)单调递减，f(x)的极小值点为a2.2.(2016课标全国乙改编)若函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，则a的取值范围是_.答案解析函数f(x)xsin 2xasin x在(，)上单调递增，f(x)1cos 2xacos x1(2co

2、s2x1)acos xcos2xacos x0，即acos xcos2x在(，)恒成立.当cos x0时，恒有0，得aR；当0cos x1时，得acos x，令tcos x，f(t)t在(0,1上为增函数，得af(1)；当1cos x0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.2.f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性.例2设函数f(x)xekx (k0).(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若函数f(x)在区间(

3、1,1)内单调递增，求k的取值范围.解(1)由题意可得f(x)(1kx)ekx，f(0)1，f(0)0，故曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为yx.(2)由f(x)(1kx)ekx0，得x(k0)，若k0，则当x时，f(x)0，函数f(x)单调递增；若k0，函数f(x)单调递增，当x时，f(x)0，则当且仅当1，即k1时，函数f(x)在区间(1,1)内单调递增；若k0或f(x)0，解得x0，即函数f(x)的单调递增区间为(，)(0，).(2)f(x)的定义域为(0，).f(x)4x.由f(x)0，得x.据题意，得解得1k0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0

4、附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.2.设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.例3已知函数f(x)ax3ln x，其中a为常数.(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围.解(1)f(x)a(x0)，由题意可知，f1，解得a1.故f(x)x3ln x，f(x)，根据题意由f(x)0，得x2.于是可得下表：x2(2,3)3f(x)0f(x) 13ln 2 f(x)minf(2)13ln 2.(

5、2)f(x)a(x0), 由题意可得方程ax23x20有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)ax23x2，则解得0a.故a的取值范围为.思维升华(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号.(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解.(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.跟踪演练3已知函数f(x)ln xaxa2x2(a0).(1)若x1是函数yf(x)的极值点，求a的值；(2)

6、若f(x)0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围.解(1)函数的定义域为(0，)，f(x).因为x1是函数yf(x)的极值点，所以f(1)1a2a20，解得a(舍去)或a1.经检验，当a1时，x1是函数yf(x)的极值点，所以a1.(2)当a0时，f(x)ln x，显然在定义域内不满足f(x)0时，令f(x)0，得x1(舍去)，x2，所以x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x) 极大值 所以f(x)maxf()ln 1.综上可得，a的取值范围是(1，).1.设函数yf(x)的导函数为f(x)，若yf(x)的图象在点P(1，f(1)处的切线方程为xy20，则f(

7、1)f(1)_.押题依据曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“过某一点的切线”问题，也是易错易混点.答案4解析依题意有f(1)1,1f(1)20，即f(1)3，所以f(1)f(1)4.2.已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为_.押题依据函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键.极值点、极值的求法是高考的热点.答案解析由题意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或经检验满足题意，故.3.已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于_.押题依据函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别.答案2解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在x(1,2)上恒成立，得