指数函数典型例题详细解析.docx
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指数函数典型例题详细解析
.
指数函数·例题解析第一课时
【例1】（基础题）求下列函数的定义域与值域：
1
（2）y＝2x2
（3）y＝33x1
（1）y＝32x
1
解
（1）定义域为{x|x∈R且x≠2}．值域{y|y＞0且y≠1}．
（2）
由2x+2－1≥0，得定义域{x|x≥－2}
，值域为{|y|y≥0}．
（3）
由3－3x-1≥0，得定义域是{x|x≤2}
，∵0≤3－3x－1＜3，
∴值域是0≤y＜3．
1.指数函数Y=ax（a>0且a≠1）的定义域是R，值域是（0，+∞）
2.求定义域的几个原则：
①含根式（被开方数不为负）②含分式，分母不为０③形如a0,（a≠0）
3.求函数的值域:
①利用函数Y=ax单调性②函数的有界性（x2≥0;ax>0）③换元法.如:
y=4x+6×2x-8（1≤x≤2）先换元,再利用二次函数图象与性质
（注意新元的范围）
【例2】（基础题）指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的图像如图2．6－2所示，则a、b、c、d、1之间的大小关系是
[]
A．a＜b＜1＜c＜d
B．a＜b＜1＜d＜c
C．b＜a＜1＜d＜c
D．c＜d＜1＜a＜b
.
.
解选（c），在x轴上任取一点（x，0），则得b＜a＜1＜d＜c．
【例3】（基础题）比较大小：
（1）
2、32、5
4、88、9
16的大小关系是：
．
4
3
1
（2）0.65
2
（）
2
（3）4.5
4.1________3.73.6
.
.
1
1
2
3
4
解
（1）∵
2
22，3
2
23，5
4
25，8
8
28，916
29，
函数
＝
x，
2
＞，该函数在
（
－∞，＋∞
）
上是增函数，
y
2
1
又1＜3＜2＜4＜1，∴3
2
＜8
8
＜5
＜9
＜
．
3
8
5
9
2
4
16
2
4
1
解
（2）∵0.65＞1，1＞（
3）2
，
2
41
∴0.65＞（3）2．
2
解
（3）借助数
4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，
4.54.1＞4.53.6，
作函数y＝4.5x，y
＝3.7x的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.53.6＞3.73.6
1
2
∴4.54.1＞3.73.6．
说明如何比较两个幂的大小：
若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2中的
（1）．若是两个不同底且指数也不同的幂比
较大小时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的
（2）．其二构造一个
新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点，即为
4.53.6（或3.74.1），如例2中的（3）．
例题4（中档题）
.
.
【例4】比较大小n1an与nan1（a＞0且a≠1，n＞1）．
n1an
1
an（n1）
解
an1
n
1
当0＜a＜1，∵n＞1，＞0，
n（n1）
1
∴an（n1）＜1，∴n1an＜nan1
1
＞0，
当a＞1时，∵n＞1，
n（n
1）
1
∴an（n1）＞1，n1an＞nan1
【例5】（中档题）作出下列函数的图像：
图像变换法
（1）y＝（
1
）x1
（2）y＝2x－2，
2
（3）y＝2|x-1|
（4）y＝|1－3x|
解
（1）y＝
（1）x1的图像（如图2．6－4），过点（0，1）及（－1，1）．
2
2
1
x
的图像向左平移
1个单位得到的．
是把函数y＝（
）
2
解
（2）y＝2x－2
的图像（如图2．6－5）是把函数y＝2x的图像向下平移
2个单位
得到的．
.
.
解（3）利用翻折变换，先作y＝2|x|的图像，再把
y＝2|x|
的图像向右平移1
个单位，就得y＝2|x-1|的图像（如图2．6－6）．
解（4）作函数y＝3x的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x的图像，再把y＝－3x
的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x轴上方部分不变，把x轴下方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．（如图2．6－7）
例6（中档题）：
用函数单调性定义证明：
当a
＞1时，y=ax是增函数.
.
.
【解析】设x，x∈R且x
＜x
，并令x2
=x1+h（h
＞0，h∈R），很独特的方
1
2
1
2
式
则有ax2
ax1
ax1h
ax1ax1（ah1），
∵a＞1，h＞0，∴ax
0,ah
1，
1
∴ax2
ax1
0，即
故y=ax（a＞1）为R上的增函数，
同理可证0＜a＜1时，y=axax1ax2是R上的减函数.
例题7中档题）
指数函数与二次函数的复合函数（由内到外分析）
二次函数为内层函数，指数函数为外层函数
【例6】求函数y＝（
3
）x2－5x＋6的单调区间及值域．
4
2
3
u
2
－5x
解令u＝x
－5x＋6，则y＝（
）
是关于u的减函数，而u＝x
4
＋6在x∈（∞，5
]上是减函数，在x∈[
5，∞）上是增函数．∴函数
2
2
y＝（
3
）x2－5x＋6的单调增区间是（∞，5
]，单调减区间是[
5，∞）．
4
2
2
.
.
2
－5x＋6＝（x
5
2
1
1
又∵u＝x
）
4
≥，
2
4
3
）
u
，在u∈[
1
∞）上是减函数，
函数y＝（
，
4
4
所以函数y
3
）
x2－5x＋6
的值域是
4
108
＝（
（0，
]．
4
3
变式1
求函数y=
（1）x2
2x的单调区间，并证明之.
2
解法一（在解答题）：
在R上任取x1、x2，且x1＜x2，
则y2
（
1
）x2
2
2x2
）（x2－x1）（x2+x1－2）【
（1）为底数，红色部分为指数】
=
2
=（1
，
y1
（
1
）
x12
2x12
2
2
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.
当x1、x2∈（－∞，1］时，x1+x2－2＜0.这时（x2－x1）（x2+x1－2）＜0，则y2＞y1
1.
∴y2＞y1，函数在（－∞，1］上单调递增.
当x1、x2∈［1，+∞）时，x1+x2－2＞0，这时（x2－x1）（x2+x1－2）＞0，即y2＜y1
1.
（此处点评：
上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单
调性）
∴y2＜y1，函数在［1，+∞上单调递减.
综上，函数y在（－∞，1］上单调递增，在［1，+∞）上单调递减.
合作探究：
在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我们可以考虑用复合函
数的单调性来解题.
.
.
解法二、在填空、选择题中（用复合函数的单调性）：
设：
ux22x
u
1
则：
y
2
对任意的1
x1x2，有u1
u2，
1
u
是减函数
又∵y
2
x22x
∴y1y2
1
在[1,
）是减函数
∴y
2
对任意的
x1
x2
1，有u
u
2
1
1
u
又∵y
是减函数
2
1
x22x
∴y1
y2∴y
在[1,
）是增函数
2
在该问题中先确定内层函数（
ux2
2x
1
）和外层函数（y
2
根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性.
u
）的单调情况，再
变式2已知a0且a1，讨论f（x）ax23x2的单调性.
【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，
指数
x2
3x
2
（x
3
）217
，当x≥
3时是减函数，
x≤3
时是增函数，
2
4
2
2
而f（x）的单调性又与
0
a
1和a
1两种范围有关，应分类讨论.
【解析】设u
x2
3x
2
（x
3）2
17
，
2
4
.
.
则当x≥3时，u是减函数，
当x≤3
时，u是增函数，
2
2
又当a
1时，y
au是增函数，
当0a
1时，y
au是减函数，
所以当a
1时，原函数f（x）
a
x2
3x2在[3,
）上是减函数，在（
3]上是
2
2
增函数.
当0a
1时，原函数f（x）
a
x2
3x2在[3,
）上是增函数，在（
3
]上是减
2
2
函数.
【小结】一般情况下，两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义
域.
第二课时
例题8：
（疑难题）指数函数与二次函数的复合函数
换元法先换元,再利用二次函数图象与性质（注意新元u的范围）
1
）x
1
【例7】求函数y＝（
（）x＋1（x≥0）的单调区间及它的最大值．
4
2
解
y
＝
1x
2
1
x
1
x
1
2
3，令＝
1x，∵
x
≥，
[（）]
（）
1[（）
]
u（）
0
2
2
2
2
4
2
∴＜≤，又∵
＝
1
x是
∈
，＋∞
上的减函数，函数
y
＝
1
）
2
0u1
u（）
x
[0
）
（u
2
2
.
.
3在∈
，
1
上为减函数，在
[
1
，
1）
上是增函数．但由
0
＜
1
）
x≤1
4
u
（0
2
]
2
（
2
≥，由1
1
1
1
2
得
≤
x≤，得≤
≤，∴函数
y
＝
x
x＋单调增
x
1
2
（）
10x
1
（）
（）
1
2
4
2
区间是，＋∞
）
，单调减区间
[0
，
1]
[1
当x＝0时，函数
y有最大值为1．
内层指数函数u=（1/2）x为减，当u在（0，1/2】时，此时
外层二次f（u）为减函数，即x在【1，正无穷大），，则复合函数
为增（画草图分析法）
点评：
（1）指数函数的有界性（值域）：
x2≥0;ax>0
（2）上述证明过程中，在两次求x的范围时，逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性，是关键及疑难点。
变式：
求（3）y4x
2x1
1的值域.
解
y
4x
2x
1
1
xR
y（2x）2
22x
1（2x
1）2,
且2x
0,
y
1.
故y
4x
2x1
1的值域为{y|y
1}.
【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性.
.
.
例题9（中档题）分式型指数函数
【例8】已知f（x）＝a
x
1（a＞1）
x
a
1
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）求f（x）的值域；
（3）证明f（x）在区间（－∞，＋∞）上是增函数．
解
（1）定义域是R．
a
f（－x）＝
a
x
x
1ax1
1ax1＝－f（x），
∴函数f（x）
为奇函数．
（2）函数y＝
ax
1
，∵y≠1，∴有ax＝
1
y
y
1
＞0
－1＜y＜1，
ax
1
y
1
1
y
反函数法，用指数函数值域
即f（x）的值域为（－1，1）．
（3）设任意取两个值x1、x2∈（－∞，＋∞）且x1＜
x2．f（x
1）－f（x2）
＝
axl1
ax
2
1
＝
2（axl
ax2）
x
x
x
＋1）
x1
a
x
1
x
x
，∵a＞1，x1＜x2，a
1＜a
2，（a1
al
2
（al1）（a
2
1）
（ax2＋1）＞0，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在R上为增函数．
.
.
变式1设a是实数，
f（x）
2
（xR）
f（x）
a
试证明对于任意a,
为增函数；
2x
1
证明：
设x1,x2
∈R,且x1
x2
则
f（x1）
f（x2）
（a
2
（a
2
）
）
2x11
2x
21
2
2
2（2x1
2x
2）
2x212x1
（2x11）（2x21）
由于指数函数y=
2x在R上是增函数,且
x1
x2,
所以2x1
2x2即2x12x2<0，
又由2x
>0得
2x1+1>0,
2x2+1>0
所以f（x1）
f（x2）<0即f（x1）f（x2）
因为此结论与a取值无关，所以对于a取任意实数，f（x）为增函数
.
.
例题10（中档题）
抽象函数
例题10
变.式1（疑难题）
.
.
.
.
.
第三课时
复合函数
.
.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
.
.
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.
.
.
.
.
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作业课本：
课本P习题
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