指数函数典型例题详细解析.docx

1、指数函数典型例题详细解析.指数函数例题解析第一课时【例 1】（基础题） 求下列函数的定义域与值域：1(2)y 2 x 2(3)y 3 3x 1(1)y 32 x1解 (1) 定义域为 x|x R 且 x 2 值域 y|y 0 且 y 1 (2)由 2x+2 1 0，得定义域 x|x 2，值域为 |y|y 0 (3)由 3 3x-1 0，得定义域是 x|x 2， 0 3 3x 1 3，值域是 0 y 31. 指数函数 Y=ax （ a0 且 a 1）的定义域是 R，值域是（ 0， +）2. 求定义域的几个原则： 含根式 （被开方数不为负） 含分式， 分母不为形如 a0,(a 0)3. 求函数的值

2、域 : 利用函数 Y=ax 单调性函数的有界性 (x2 0;ax0) 换元法 . 如 :y=4x+6 2x-8(1 x 2) 先换元 , 再利用二次函数图象与性质( 注意新元的范围 )【例 2】（基础题） 指数函数 yax， y bx， y cx， y dx 的图像如图 2 6 2 所示，则 a、 b、 c、 d、1 之间的大小关系是 A a b 1 cdB a b 1 dcC b a 1 dcD c d 1 ab.解 选 (c) ，在 x 轴上任取一点 (x ， 0) ，则得 b a 1d c【例 3】（基础题） 比较大小：(1)2、3 2、54、8 8、916的大小关系是：431(2)0.

3、6 52( )2(3)4.54.1 _3.7 3.6.11234解 (1)222 ，3223，5425 ，8828 ，9 162 9 ，函数x ，2 ，该函数在(，)上是增函数，y21又13241，32 88 5 938592416241解(2) 0.6 5 1，1(3) 2，24 1 0.6 5(3) 22解(3) 借助数4.5 3.6 打桥，利用指数函数的单调性，4.5 4.1 4.5 3.6 ，作函数 y 4.5 x，y3.7 x 的图像如图 26 3，取 x 3.6 ，得 4.5 3.6 3.7 3.612 4.5 4.1 3.7 3.6 说明 如何比较两个幂的大小： 若不同底先化为同

4、底的幂， 再利用指数函数的单调性进行比较，如例 2 中的 (1) 若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助 1 作桥梁，如例 2 中的 (2) 其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与 4.5 4.1 同底与 3.7 3.6 同指数的特点，即为4.5 3.6 ( 或 3.7 4.1 ) ，如例 2 中的 (3) 例题 4（中档题）.【例 4】 比较大小 n 1 an 与 n an 1 (a 0且a1，n1)n 1 an1an( n 1)解an 1n1当 0a1， n1， 0，n( n 1)1 a n( n 1) 1， n 1 an n an 11 0，当a1时， n1，

5、n( n1)1 a n( n 1) 1， n 1 an n an 1【例 5】（中档题）作出下列函数的图像 ：图像变换法(1)y (1) x 1(2)y 2 x 2，2(3)y 2|x-1|(4)y |1 3x|解 (1)y ( 1) x 1 的图像 (如图 2 6 4) ，过点 (0， 1) 及 ( 1， 1) 221x的图像向左平移1个单位得到的是把函数 y ()2解 (2)y 2x 2的图像 ( 如图 2 6 5) 是把函数 y 2x 的图像向下平移2 个单位得到的.解 (3) 利用翻折变换，先作 y 2|x| 的图像，再把y 2|x|的图像向右平移 1个单位，就得 y 2|x-1| 的

6、图像 ( 如图 2 66) 解 (4) 作函数 y3x 的图像关于 x 轴的对称图像得 y 3x 的图像，再把 y 3x的图像向上平移 1 个单位，保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变，把 x 轴下方的图像以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到 ( 如图 2 67)例 6（中档题） ： 用 函数单调性定义证明：当 a1 时， y = ax 是增函数 .【解析】设 x ， x R且 x x，并令 x2= x 1 + h (h0，hR) ，很独特的方1212式则有 a x2a x1a x1 ha x1 a x1 (a h 1) ，a 1， h 0， a x0, ah1，1 a x2a x10

7、 ，即故 y = a x (a 1) 为 R 上的增函数，同理可证 0 a 1 时， y = a x a x1 a x2 是 R 上的减函数 .例题 7 中档题）指数函数与二次函数的 复合函数 (由内到外分析）二次函数为内层函数，指数函数为外层函数【例 6】 求函数 y (3) x2 5x 6 的单调区间及值域423u25x解 令 ux 5x 6，则 y ()是关于 u的减函数，而 ux4 6在 x ( ， 5 上是减函数，在 x 5 ， ) 上是增函数函数22y (3) x2 5x 6 的单调增区间是 ( ， 5 ，单调减区间是 5， )422.2 5x 6 ( x5211又 u x)4，2

8、43)u，在 u 1 ) 上是减函数，函数 y (，44所以函数 y3)x2 5x 6的值域是4108 (0 ，43变式 1求函数 y=（ 1 ） x 22 x 的单调区间，并证明之 .2解法一（在解答题） ：在 R 上任取 x1、 x2，且 x1 x2，则 y 2(1) x222 x2）（ x2x1 ）（ x2+x1 2）【（ 1 ）为底数，红色部分为指数】=2=（ 1，y1(1)x122 x1222 x1 x2， x2 x1 0.当 x1、x 2（， 1时， x1+x2 2 0. 这时（ x2 x1）（ x2+x1 2） 0，则 y2 y11.y2 y1，函数在（， 1上单调递增 .当 x

9、1、x 2 1，+）时， x1+x2 2 0，这时（ x2 x1）（ x2+x1 2） 0，即 y2 y11.（此处点评：上述证明过程中，在对商式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性） y2 y1 ，函数在 1，+上单调递减 .综上，函数 y 在（， 1上单调递增，在 1，+）上单调递减 .合作探究：在填空、选择题中用上述方法就比较麻烦，因此我 们可以考虑用复合函数的单调性来解题 .解法二 、在填空、选择题中 （用复合函数的单调性） ：设： u x2 2xu1则： y2对任意的 1x1 x2 ，有 u1u2 ，1u是减函数又 y2x2 2 x y1 y21在 1,) 是减函数 y2对任意的

10、x1x21，有 uu211u又 y是减函数21x2 2 x y1y2 y在 1,) 是增函数2在该问题中先确定内层函数（u x22x1）和外层函数（ y2根据内外层函数的单调性确定复合函数的单调性 .u）的单调情况，再变式 2 已知 a 0 且 a 1，讨论 f (x) a x 2 3 x 2 的单调性 .【分析】这是一道与指数函数有关的复合函数讨论单调性题，指数x 23x2(x3)217，当 x 3 时是减函数，x 3时是增函数，2422而 f (x) 的单调性又与0a1和 a1 两种范围有关， 应分类讨论 .【解析】设 ux23x2(x3 )217，24.则当 x 3 时， u 是减函数，

11、当 x 3时， u 是增函数，22又当 a1 时， ya u 是增函数，当 0 a1 时， yau 是减函数，所以当 a1时，原函数 f (x)ax23 x 2 在 3 ,) 上是减函数，在 (,3上是22增函数 .当 0 a1 时，原函数 f ( x)ax23x 2 在 3 ,) 上是增函数， 在 (, 3 上是减22函数 .【小结】 一般情况下， 两个函数都是增函数或都是减函数， 则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，但一定注意考虑复合函数的定义域 .第二课时例题 8：（疑难题） 指数函数与二次函数的 复合函数换元法 先换元 , 再利用二次函数图象与性质 (

12、注意新元 u 的范围 )1) x1【例 7】 求函数 y ( ) x 1(x 0)的单调区间及它的最大值42解y1 x21x1x123，令 1 x ，x ，( )( )1()u ( )0222242，又1x 是，上的减函数，函数y1)20 u 1u ( )x 0)( u22.3 在 ，1上为减函数，在1，1)上是增函数但由01)x 14u(022(2，由11112得x ，得 ，函数yxx 单调增x12( )10 x1( )( )1242区间是 ，)，单调减区间0，11当 x 0 时，函数y 有最大值为 1内层指数函数 u=(1/2)x 为减，当 u 在（ 0，1/2 】时，此时外层二次 f （

13、u) 为减函数 ，即 x 在【1，正无穷大），则复合函数为增（画草图分析法）点评：（1）指数函数的有界性（值域） ： x20; ax0（ 2）上述证明过程中，在两次求 x 的范围时，逆向利用了指数函数的值域及逆向利用了指数函数的单调性，是关键及疑难点。变式：求（ 3） y 4x2x 11的值域 .解y4x2x11x Ry (2 x )22 2x1 (2 x1)2 ,且 2 x0,y1.故 y4 x2x 11 的值域为 y | y1 .【小结】求与指数函数有关的函数的值域时，要注意到充分考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性 .例题 9 （中档题）分式型指数函数【例 8】已知 f

14、(x) ax1 (a1)xa1(1) 判断 f(x) 的奇偶性；(2) 求 f(x) 的值域；(3) 证明 f(x) 在区间 ( ， ) 上是增函数解 (1) 定义域是 Raf( x) axx1 ax 11 ax 1 f(x) ，函数 f(x)为奇函数(2) 函数 yax1，y1，有 ax1yy1 01 y1，ax1y11y反函数法，用指数函数值域即 f(x) 的值域为 ( 1，1) (3) 设任意取两个值 x1、 x2( ， ) 且 x1x2 f(x1) f(x 2)axl 1ax212(axla x2 )xxx 1)x 1ax1xx， a 1， x1 x 2 ， a1 a2 ， ( a 1

15、a l2(a l 1)( a21)(a x2 1) 0， f(x 1) f(x 2 )，故 f(x) 在 R上为增函数.变式 1 设 a 是实数，f ( x)2( x R)f ( x)a试证明对于任意 a,为增函数；2x1证明：设 x1 , x2R,且 x1x2则f ( x1 )f ( x2 )( a2(a2)2x1 12x2 1222(2x12x2 )2x 2 1 2x1(2x1 1)(2x 2 1)由于指数函数 y=2 x 在 R上是增函数 , 且x1x2 ,所以 2x12x2 即 2x1 2x2 0 得2 x1 +10,2 x2 +10所以 f ( x1 )f ( x2 ) 0 即 f ( x1 ) f ( x2 )因为此结论与 a 取值无关，所以对于 a 取任意实数， f ( x) 为增函数.例题 10（中档题）抽象函数例题 10变.式 1（疑难题）.第三课时复合函数.作业课本：课本P 习题.