图1图2
A．线段EFB．线段BEC．线段CED．线段DE
二、填空题（每题3分，共18分）
11.两个相似三角形的面积比是，则它们的周长比是_________。
12.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，-1）的抛物线的解析式__________。
13.如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，
DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，
那么线段CE的长应等于。
14.如图，AB是半圆O的直径，AC为弦，OD⊥AC于D，过点O作OE∥AC交半圆O于点E，过点E作EF⊥AB于F．若AC=2，则OF的长为。
15.如图，抛物线与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为_________。
16.如图，点A1、A2、A3、…，点B1、B2、B3、…，分别在射线OM、ON上，A1B1∥A2B2∥A3B3∥A4B4∥…．如果A1B1=2，A1A2=2OA1，A2A3=3OA1，A3A4=4OA1，…．
那么A2B2=，
AnBn=。
（n为正整数）
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17.计算：
18.已知抛物线.
（1）用配方法把化为形式：
______；
（2）并指出：
抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴方程是，抛物线与x轴交点坐标是，
当x时，y随x的增大而增大.
19.抛物线平移后经过点，，求平移后的抛物线的表达式．
解：
20.已知:
如图，在中，D是AB上一点，E是AC上一点，
且∠ADE=∠ACB.
（1）求证：
△AED∽△ABC；
（2）若DE:
CB=3:
5，AE=4,求AB的长.
21.如图，△ABC在方格纸中，
（1）在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），
B点坐标为_____________；
（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，
画出放大后的图形△A′B′C′；
（3）计算△A′B′C′的面积S=_________
22.如果关于x的函数的图象与x轴只有一个公共点，求实
数a的值．
解：
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23.如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，
D，使得AB⊥BD，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，并且点B，C，D在同一条直线上．若
测得CD＝30米，求河宽AB（结果精确到1米，取1.73，取1.41）．
解：
24.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应的单件利润如下表所示（其中x为正整数，且1≤x≤10）：
质量档次
1
2
…
x
…
10
日产量（件）
95
90
…
…
50
单件利润（万元）
6
8
…
…
24
为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品．当生产质量档次为x的产品时，当天的利润为y万元．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？
并求出当天利润的最大值．
解：
25.如图，在正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中顶点E，F，G分别在AB，BC，FD上．
（1）求证：
△EBF∽△FCD；
（2）连接DH，如果BC=12，BF=3，求的值．
26.已知抛物线C：
.
抛物线
顶点坐标
与x轴交点坐标
与y轴交点坐标
抛物线C：
变换后的抛物线
（1）补全表中A，B两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C；
（2）将抛物线C上每一点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标变为原来的，可证明得到的曲线仍是
抛物线，（记为），且抛物线的顶点是抛物
线C的顶点的对应点，求抛物线对应的函数
表达式.
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27.已知抛物线（）．
（1）求抛物线与轴的交点坐标；
（2）若抛物线与轴的两个交点之间的距离为2，求的值；
（3）若一次函数的图象与抛物线始终只有一个公共点，求一次函数的解析式.
28.阅读理解：
如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：
（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出的值为___________．
图1图2图3
解：
29．已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线经过点A和点C,动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍.
（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大.若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
北京市第四十四中学2015—2016学年度第一学期期中测试
九年级数学试卷答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
B
C
B
A
A
C
D
D
二、填空题（每题3分，共18分）
11.2:
312.y=x2-113.
14.115.-2、116.6、n（n+1）
三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分）
17.解：
=
=0
18.已知抛物线.
（1）用配方法把化为形式：
（2）并指出：
抛物线的顶点坐标是（1,-9），抛物线的对称轴方程是x=1，抛物线与x轴交点坐标是（4,0）,（-2,0），当x>1时，y随x的增大而增大.
19.解一：
设平移后抛物线的表达式为．
∵平移后的抛物线经过点，，
∴
解得
所以平移后抛物线的表达式为．
解二：
∵平移后的抛物线经过点，，
∴平移后的抛物线的对称轴为直线.
∴设平移后抛物线的表达式为．
∴．.
∴．
所以平移后抛物线的表达式为．
20.
（1）证明：
∵∠A=∠A,∠ADE=∠ACB,
∴△AED∽△ABC.
（2）解:
∵△AED∽△ABC，
∴=.
∵DE:
CB=3:
5，AE=4,
∴
∴.
21.
（1）B点坐标为（2,1）
（2）略
（3）16
22.
（1）当时，函数的图象与x轴只有一个公共点成立
（2）当a≠0时，函数是关于x的二次函数．
∵它的图象与x轴只有一个公共点，
∴关于x的方程有两个相等的实数根
∴
整理，得．
解得．
综上，或．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
23.解：
设河宽AB为x米
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=45°，
∴AB=BC=x
∵在Rt△ABD中，∠ADB=30°，
∴BD=
∴．
解得41．
答：
河宽AB约为41米．
24.解：
（1）．
（且x为整数）．
（2）∵
又∵且x为整数，
∴当时，函数取得最大值1210．
答：
工厂为获得最大利润，应生产第9档次的产品，当天的最大利润为1210万元．
25.证明：
如图
∵正方形ABCD，正方形EFGH，
∴∠B=∠C=90°，∠EFG=90°，
BC=CD，GH=EF=FG．
又∵点F在BC上，点G在FD上，
∴∠DFC+∠EFB=90°，∠DFC+∠FDC=90°，
∴∠EFB=∠FDC．
∴△EBF∽△FCD
（2）解：
∵BF=3，BC=CD=12，
∴CF=9，．
由
（1）得．
∴．
∴
．
∴．
26.
解：
（1），．
画图象见图
（2）由题意得变换后的抛物线的相关点的坐标如下表所示：
抛物线
顶点坐标
与x轴交点坐标
与y轴交点坐标
变换后的抛物线
设抛物线对应的函数表达式为．（a≠0）
∵抛物线与y轴交点的坐标为，
∴．
解得．
∴．
∴抛物线对应的函数表达式为．
说明：
其他正确解法相应给分．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
27.解：
（1）令，则.
∵，
解方程，得.
∴，.
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（，0）.
（2）∵，∴.
由题意可知，
解得，.
经检验是方程的解且符合题意.
∴
（3）∵
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