高中数学人教A版选修45教学案第二讲 二 综合法与分析法.docx

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高中数学人教A版选修45教学案第二讲二综合法与分析法

2019-2020年高中数学人教A版选修4-5教学案：

第二讲二综合法与分析法

　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P21

1．综合法

（1）定义：

一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．

（2）特点：

由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

（3）证明的框图表示：

用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为

→→→……→

2．分析法

（1）定义：

证明题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种“执果索因”的思考和证明方法．

（2）特点：

执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．

（3）证明过程的框图表示：

用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为→→→……→

　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P21

用综合法证明不等式

[例1]　已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求证：

·≥9.

[思路点拨]　可将所证不等式左边展开，运用已知和基本不等式可得证，也可以用x＋y取代“1”，化简左边，然后再用基本不等式．

[证明]　法一：

∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2.

∴xy≤.

∴＝1＋＋＋

＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9.

当且仅当x＝y＝时等号成立．

法二：

∵x＋y＝1，x>0，y>0，

∴＝

＝＝5＋2≥5＋2×2＝9.

当且仅当x＝y＝时，等号成立．

综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．

1．已知a，b，c∈R＋，证明不明式：

a＋b＋c≥＋＋，当且仅当a＝b＝c时取等号．

证明：

因为a>0，b>0，c>0，故有

a＋b≥2，当且仅当a＝b时取等号；

b＋c≥2，当且仅当b＝c时取等号；

c＋a≥2，当且仅当c＝a时取等号．

三式分边相加，得a＋b＋c≥＋＋.当且仅当a＝b＝c时取等号．

2．已知a，b，c都是实数，求证：

a2＋b2＋c2≥（a＋b＋c）2≥ab＋bc＋ca.

证明：

∵a，b，c∈R，

∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc.

c2＋a2≥2ca

将以上三个不等式相加得：

2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）①

即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.②

在不等式①的两边同时加上“a2＋b2＋c2”得：

3（a2＋b2＋c2）≥（a＋b＋c）2

即a2＋b2＋c2≥（a＋b＋c）2.③

在不等式②的两端同时加上2（ab＋bc＋ca）得：

（a＋b＋c）2≥3（ab＋bc＋ca）

即（a＋b＋c）2≥ab＋bc＋ca.④

由③④得a2＋b2＋c2≥（a＋b＋c）2≥ab＋bc＋ca.

用分析法证明不等式

[例2]　已知x>0，y>0，求证（x2＋y2）>（x3＋y3）.

[思路点拨]　不等式两边是根式，可等价变形后再证明．分析每一步成立的充分条件．

[证明]　要证明（x2＋y2）>（x3＋y3），

只需证（x2＋y2）3>（x3＋y3）2.

即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6.

即证3x4y2＋3x2y4>2x3y3.

∵x>0，y>0，∴x2y2>0.

即证3x2＋3y2>2xy.

∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy.

∴3x2＋3y2>2xy成立．

∴（x2＋y2）>（x3＋y3）.

（1）当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．

（2）分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆．

3．求证：

＋<2.

证明：

分析法：

∵＋>0,2>0，∴要证＋<2.

∴只需证明：

（＋）2<

（2）2.

展开得：

10＋2<20.

即证2<10，

即证21<25（显然成立）．

∴＋<2.

4．a，b∈R＋，且2c>a＋b.

求证：

c－

证明：

要证c－

只需证－

即证：

|a－c|<，

两边平方得a2－2ac＋c2

也即证a2＋ab<2ac，即a（a＋b）<2ac.

∵a，b∈R＋，且a＋b<2c，∴a（a＋b）<2ac显然成立．

∴原不等式成立.

综合法与分析法的综合应用

[例3]　设a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：

＋≤.

[思路点拨]　所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明．

[证明]　要证：

＋≤，

只需证（＋）2≤6，

即证（a＋b）＋2＋2≤6.

由a＋b＝1得只需证≤，

即证：

ab≤.

由a0，a＋b＝1，

得ab≤2＝，即ab≤成立．

∴原不等式成立．

（1）通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．

（2）有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．

5．已知a，b，c都是正数，

求证：

2≤3.

证明：

法一：

要证2≤3，

只需证a＋b－2≤a＋b＋c－3，

即－2≤c－3.

移项，得c＋2≥3.

由a，b，c为正数，得c＋2＝c＋＋≥3成立．

∴原不等式成立．

法二：

∵a，b，c是正数，

∴c＋＋≥3＝3.

即c＋2≥3.

故－2≤c－3.

∴a＋b－2≤a＋b＋c－3.

∴2≤3.

　　　　　　　　　　　　　对应学生用书P23

1．设a，b∈R＋，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是（　　）

A．A≥B　　　　　　　　B．A≤B

C．A＞BD．A＜B

解析：

A2＝（＋）2＝a＋2＋b，B2＝a＋b，

所以A2>B2.

又A＞0，B＞0，

∴A＞B.

答案：

C

2．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是（　　）

A.＋≥2B.＋≥a＋b

C.＋≤D.＋≥

解析：

A满足基本不等式；B可等价变形为（a－b）2（a＋b）≥0正确；C选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确．

答案：

C

3．设a＝，b＝－，c＝－，那么a，b，c的大小关系是（　　）

A．a>b>cB．a>c>b

C．b>a>cD．ba

解析：

由已知，可得出a＝，b＝，c＝，

∵＋>＋>2.

∴b

答案：

B

4．设

A．aa

C．ab

解析：

∵

∴01.

∴ab

∵0<<1，a>0.

∴a<1.∴aa

∴ab

答案：

C

5．若＜＜0，则下列不等式

①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2

其中正确的有________．

解析：

∵＜＜0，∴b＜a＜0.

∴

故①正确，②③错误．

∵a，b同号且a≠b，∴，均为正．

∴＋＞2＝2.

故④正确．

答案：

①④

6．已知a>0，b>0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为________．

解析：

∵P＝，Q＝，＝＋，

∴R＝≤Q＝≤P＝，

当且仅当a＝b时取等号．

答案：

P≥Q≥R

7．设a>b>c，且＋≥恒成立，则m的取值范围是________．

解析：

∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0.

又（a－c）·＝[（a－b）＋（b－c）]·≥2·2＝4，当且仅当a－b＝b－c时取等号．

∴m∈（－∞，4]．

答案：

（－∞，4]

8．若a，b，c是不全相等的正数，求证：

lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.

证明：

法一：

（综合法）

∵a，b，c∈R＋，

∴≥＞0，＞≥0，≥＞0.

又∵a，b，c是不全相等的正数，

∴··＞abc.

∴lg＞lgabc，

即lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.

法二：

（分析法）

要证lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc，

即证lg＞lgabc成立．

只需证··＞abc成立．

又∵≥＞0，≥＞0，≥＞0.

∴··≥abc＞0.（*）

又∵a，b，c是不全相等的正数，∴（*）式等号不成立．

∴原不等式成立．

9．已知x，y，z均为正数．求证：

＋＋≥＋＋.

证明：

因为x，y，z均为正数．

所以＋＝（＋）≥，

同理可得＋≥，

＋≥，

当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得

＋＋≥＋＋.

10．设实数x，y满足y＋x2＝0,0

求证：

loga（ax＋ay）<＋loga2.

证明：

因为ax>0，ay>0，

所以ax＋ay≥2＝2.

因为x－x2＝x（1－x）≤2＝，

又因为0

所以ax－x2≥a，当x＝时，等式成立．

但当x＝，ax≠a－x2，∴>a.

所以ax＋ay＞2a，又∵0

∴loga（ax＋ay）

即loga（ax＋ay）