中考数学复习二次函数与三角形的面积问题.docx
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中考数学复习二次函数与三角形的面积问题
2016中考数学复习-二次函数与三角形的面积问题
二次函数与三角形的面积问题
1.运用
；
2.运用
；
3.将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。
类型一：
三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行
例1.已知：
抛物线的顶点为D（1，-4），并经过点E（4，5），求:
（1）抛物线解析式；
（2）抛物线与x轴的交点A、B，与y轴交点C；
（3）求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
解题思路：
求出函数解析式________________；写出下列点的坐标：
A______；B_______；C_______；求出下列线段的长：
AO________；BO________；AB________；OC_________。
求出下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
一般地，这类题目的做题步骤：
1.求出二次函数的解析式；2.求出相关点的坐标；3.求出相关线段的长；4.选择合适方法求出图形的面积。
训练1.如图所示，已知抛物线
与
轴相交于两点A
，B
，与
轴负半轴相交于点C，若抛物线顶点P的横坐标是1，A、B两点间的距离为4，且△ABC的面积为6。
（1）求点A和B的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）求四边形ACPB的面积。
类型二：
三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。
（歪歪三角形拦腰来一刀）
关于
的知识点：
如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：
，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
想一想：
在直角坐标系中，水平宽如何求？
铅垂高如何求？
例2．如图2，抛物线顶点坐标为点C（1,4）,交x轴于点A（3,0），交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及
；（3）是否存在一点P，使S△PAB=
S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
解题思路：
求出直线AB的解析式是为了求出D点的纵坐标
；
铅垂高
，注意线段的长度非负性；分析P点在直线AB的上方还是下方?
训练2.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（－2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB.
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在
（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？
若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P是
（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？
若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由.
训练3.如图，抛物线
与x轴交于A（1,0）,B（-3，0）两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设
（1）中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？
若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在
（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？
，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.
一般地，①所谓的铅垂高度，实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为
。
为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标.因此，求出点D的坐标，是求铅垂高度CD的关键；
②所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为
.为了保证这个差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标.因此，求出点A、B的坐标，是求水平宽的关键.
③在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解.
练习
1．已知如图，矩形OABC的长OA=
，宽OC=1，将△AOC沿AC翻折得△APC。
（1）填空：
∠PCB=____度，P点坐标为（，）；
（2）若P，A两点在抛物线y=－
x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；
（3）在
（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？
若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。
第1题图
2．如图①，已知抛物线
（a≠0）与
轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与
轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？
若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
图①图②
3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与x轴交于A、B
两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP
C，那么是否存在点P，使四边形POP
C为菱形？
若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
4．如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
K
N
C
E
D
G
A
x
y
O
B
F
C
E
D
G
A
x
y
O
B
F
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK的面积最大？
并求出最大面积．
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