word完整版小学五年级奥数讲义教师版30讲全.docx
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word完整版小学五年级奥数讲义教师版30讲全
第16讲巧算24
第17讲位置原则
第18讲最大最小
第19讲图形的分割与拼接
第20讲多边形的面积
第21讲用等量代换求面积
第22讲用割补法求面积
第23讲列方程解应用题
第24讲行程问题
（一）
第25讲行程问题
（二）
第26讲行程问题（三）
第27讲逻辑问题
（一）
第28讲逻辑问题
（二）
第29讲抽屉原理
（一）
第30讲抽屉原理
（二）
小学奥数基础教程（五年级）
第1讲数字迷
（一）
第2讲数字谜
（二）
第3讲定义新运算
（一）
第4讲定义新运算
（二）
第5讲数的整除性
（一）
第6讲数的整除性
（二）
第7讲奇偶性
（一）
第8讲奇偶性
（二）
第9讲奇偶性（三）
第10讲质数与合数
第11讲分解质因数
第12讲最大公约数与最小公倍数
（一）
第13讲最大公约数与最小公倍数
（二）
第14讲余数问题
第15讲孙子问题与逐步约束法
第1讲数字谜
（一）
数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。
例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。
数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。
这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1把+,-,X,宁四个运算符号，分别填入下面等式的。
内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：
（501307）0（1709）=12。
分析与解：
因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“十”的位置。
当“宁”在第一个O内时，因为除数是13,要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数,此时只有下面一种填法，不合题意。
（5-13-7）X（17+9）。
当“宁”在第二或第四个O内时，运算结果不可能是整数。
当“十”在第三个O内时，可得下面的填法：
（5+13X7）-（17-9）=12。
例2将1〜9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：
□口口乂□口=□□*□□=5568。
解：
将5568质因数分解为5568=26X3X29。
由此容易知道，将5568分解为两个两位数的乘积有两种：
58X96和64X87,分解为一个两位数与一个三位数的乘积有六种：
12X464,16X348,24X232,
29X192,32X174,48X116。
显然，符合题意的只有下面一种填法：
174X32=58X96=556&
例3在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。
分析与解：
先用443000除以573,通过所得的余数，可以求出应添的三位数。
由443000-
573=773……71推知，443000+（573-71）=443502一定能被573整除，所以应添502
例4已知六位数33□口44是89的倍数，求这个六位数。
分析与解：
因为未知的数码在中间，所以我们采用两边做除法的方法求解。
先从右边做除法。
由被除数的个位是4,推知商的个位是6;由左下式知，十位相减后的差是1,所以商的十位是9。
这时，虽然89X96=8544,但不能认为六位数中间的两个□内是85,因为还
89）33Q
Pet
a
E01
幺D1
0
再从左边做除法。
如右上式所示，
由左、右两边做除法的商，得到商是
没有考虑前面两位数。
a可能是6或7,所以b只可能是7或&
3796或3896。
由3796X89=337844,3896X89=346744
知，商是3796,所求六位数是337844。
例5在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。
FORTY
2:
9786
TEN
850
+TEN
十850
SIXTY
31486
分析与解：
先看竖式的个位。
由Y+N+N=Y£Y+10,推知N要么是0,要么是5。
如果N=5,那么要向上进位，由竖式的十位加法有T+E+E+仁■或T+10,等号两边的奇偶性不同，所以NM5,N=Q此时，由竖式的十位加法T+E+E=T或T+10,E不是0就是5,但是N=0,所以E=5
竖式千位、万位的字母与加数的千位、万位上的字母不同，说明百位、千位加法都要向上进位。
因为N=0,所以I工0,推知1=1,0=9,说明百位加法向千位进2。
再看竖式的百位加法。
因为十位加法向百位进1,百位加法向千位进2,且灯0或1,
所以R+T+T+P22,再由R,T都不等于9知，T只能是7或&
若T=7,则R=8,X=3,这时只剩下数字2,4,6没有用过，而S只比F大1,S,F不可能是2,4,6中的数，矛盾。
若T=8,则R只能取6或7。
R=6时，X=3,这时只剩下2,4,7,同上理由，出现矛盾；R=7时,X=4,剩下数字2,3,6,可取F=2,S=3,丫=&所求竖式见上页右式。
解这类题目，往往要找准突破口，还要整体综合研究，不能想一步填一个数。
这个题目是美国数学月刊上刊登的趣题，竖式中从上到下的四个词分别是40,10,10,60,而40+10+10正好是60,真是巧极了！
例6在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。
请你填上适当的数字，使竖式成立。
10702
10703
10704
ABOBD
EFAG
-9814
-9315
-921S
-EFAG
838
888
888
FFF
ABCBD
分析与解：
按减法竖式分析，看来比较难。
同学们都知道，加、减法互为逆运算，是否可以把减法变成加法来研究呢（见右上式）？
不妨试试看。
因为百位加法只能向千位进1,所以E=9,A=1,B=0b
如果个位加法不向上进位，那么由十位加法1+F=10,得F=9,与E=9矛盾，所以个位加法向上进1,由1+F+1=1Q得到F=8,这时C=7。
余下的数字有2,3,4,5,6,由个位加法知，G比D大2,所以G,D分别可取4,2或5,3或6,4。
所求竖式是
解这道题启发我们，如果做题时遇到麻烦，不妨根据数学的有关概念、法则、定律把原题加以变换，将不熟悉的问题变为熟悉的问题。
另外，做题时要考虑解的情况，是否有多个解。
练习1
1.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819,求原来的四位数。
解：
621819-（100-1）=6281。
2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。
请你用适当的数字代替
字母，使竖式成立：
（1）AB
（2）ABAB
+BCA-ACA
ABCBAAC
£4ST3T
+4Q§—8§8
~5497359
（1）由百位加法知，A=B+1再由十位加法A+C=B+10推知C=9,进而得到A=5,B=4（见上右式）
（2）由千位加法知B=A-1，再由个位减法知C=Q因为十位减法向百位借1,百位减法向千位借1,所以百位减法是（10+B-1）-A=A,
化简为9+B=2A将B=A-1代入，得A=8,B=7（见右上式）。
3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：
1—2—3—4—5—6—7—8—9。
解：
1-（2-3-4-5-6-7-8-9）=90720。
4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：
1-2-3-4-5-6-7-8-9=2.8
解：
1-（2-3）-4-（5-6-7-8）-9=2.8。
提示’因为22冬二而1必须在分子上，2必须在分母上，即器
卞吕、剩下的玉4,6,8,■五个数填在耳中，应使吕=4只有
3X6X8甜土*,1X3X6X7X8「捍址*
=7一种填法。
由沖沖9F帶花
5.将1〜9分别填入下式的□中，使等式成立：
□□*□口=□□*□□□=3634。
提示：
3634=2X23X79。
46X79=23X158=3634。
6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。
提示：
仿照例3。
391344。
7.已知六位数7□口888是83的倍数，求这个六位数。
提示：
仿例4,商的后3位是336,商的第一位是8或9。
774888。
第2讲数字谜
（二）
这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求abcde.
labcdex3=abcde1
分析与解：
这道题可以从个位开始，比较等式两边的数，逐个确定各个字母所代表的数码。
现
在，我们从另一个角度来解。
labcde与abcdel只是1所在的位置不同，设x=abcde则算式变为
（100000+x）x3=10x+1,300000+3x=10x+1,7x=299999,x=42857。
这种代数方法干净利落，比用传统方法解简洁。
我们再看几个例子。
例2在□内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。
□□□124
x81x81
□□□124
□□口992
□□□□□10044
解；设被乘数为跖由唸<999知K124亍又由81Q1QQ0Q知Q求竖式。
37
123—0因为K是整数』所Ux=1240右上式为所
O1
例3左下方的除法竖式中只有一个8,请在□内填入适当的数字，使除法竖式成立
□□□）□□□□□□
□□匚二
ffiSn
□Z□口
989
112）110760
1008
S96
100810CS
0
二匚
二
=
=
=
□匚□口
bDDc
nq）annodo
解：
竖式中除数与8的积是三位数，而与商的百位和个位的积都是四位
数，所以商为爼阵设除数为孤由9x?
x>1000>Px>lH^f由竖式特点知.除
总一八“上心耳川J菲士*E肾―」数，
Li
所以x=112,被除数为989x112=110768右上式为所求竖式。
代数解法虽然简洁，但只适用于一些特殊情况，大多数情况还要用传统的方法。
例4在□内填入适当数字，使下页左上方的小数除法竖式成立。
分析与解：
先将小数除法竖式化为我们较熟悉的整数除法竖式（见下页右上方竖式）。
可以看
出，除数与商的后三位数的乘积是1000=23x53的倍数，即除数和商的后三位数一个是23=8的倍数，另一个是53=125的奇数倍，因为除数是两位数，所以除数是8的倍数。
又由竖式特点知a=9,从而除数应是96的两位数的约数，可能的取值有96,48,32,24和16。
因为，c=5,5与除数的乘积仍是两位数，所以除数只能是16,进而推知b=6。
因为商的后三位数是125的奇数倍，只能是125,375,625和875之一，经试验只能取375。
至此，已求出除数为16,商为6.375，故被除数为6.375x16=102。
上页右式即为所求竖式。
求解此类小数除法竖式题，应先将其化为整数除法竖式，如果被除数的末尾出现n个0,则
在除数和商中，一个含有因子2n（不含因子5）,另一个含有因子5n（不含因子2）,以此为突破口即可求解。
例5一个五位数被一个一位数除得到下页的竖式
（1）,这个五位数被另一个一位数除得到下页的竖式
（2）,求这个五位数。
（1）ric#
（2）»“*；
⑴'
和*#卡*
y
—
5L*
0
分析与解：
由竖式
（1）可以看出被除数为10**0（见竖式
（1）'），竖式
（1）的除数为3或
9。
在竖式
（2）中，被除数的前两位数10不能被整数整除，故除数不是2或5,而被除数的后两位数*0能被除数整除，所以除数是4,6或8。
当竖式
（1）的除数为3时，由竖式
（1）'知，a=1或2,所以被除数为100*0或101*0，再由竖式
（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，可得竖式
（2）的除数为4,被除数为10020;
当竖式
（1）的除数为9时，由能被9整除的数的特征，被除数的百位与十位数字之和应为&
因为竖式
（2）的除数只能是4,6,8,由竖式
（2）知被除数的百位数为偶数，故被除数只有10080,10260，10440和10620四种可能，最后由竖式
（2）中被除数的前三位数和后两位数分别能被除数整除，且十位数不能被除数整除，可得竖式
（2）的除数为8,被除数为10440。
所以这个五位数是10020或10440。
练习2
1.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的
数字，求岀〔1）labcd^3=abcdS;
（.2）7'^abcxyz二=6Xxyzabco
答案
（1）4285;
（2）46153&蒜；
（2）用原示五喙示赢耐灌为7X（1000A+B）=6X（1000B+A）,
3.在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立:
□.□□□□□□.□）□□
□□口
□8□
□□□
0
化简后得538A=461B由于538与461互质，且A,B均为三位数,所以A=461,B=538。
所求六位数是461538。
2.用代数方法求解下列竖式：
□8□7
□.□□）□.□
□□□
□□）□□□□□□
□□□
□□
口口
□□
□□
0
117684-12=9807。
答案
（1）124X81=10044;
（2）
提示：
（1）设被乘数为a,
由8a<999,81a>10000,推知
123詐K124#
所以a=124o
（2）根据竖式特点知，商是
9807o设除数是a,根据竖式特点由8av100,9a>100,推知
所以a=12o
3.答案
（1）先将竖式化为整数除法竖式如左下式：
易知f=2,g=0;由g=0知b,d中有一个是5,另一个是偶数而f=2,所以b=5,进而推知
d=6;再由d=6,f=2知a=2或7,而e=3或4,所以a=7;最后求出c=5。
见上页右下式。
（2）先将除法竖式化为整数除法竖式如左下式：
由竖式特点知b=c=0；因为除数与d的乘积是1000
的倍数，d与e都不为0,所以d与除数中必分别含有因子23和52，故d=8,除数是125的奇数倍，因此e=5;又f工0,e=5，所以f=g=5;由g=5,d=8得到除数为5000-8=625,再由625Xa是三位数知a=1,所以被除数为625X1008=630000,所求竖式见右上式。
第3讲定义新运算
（一）
我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。
除此之外，还会有什么别的运算吗？
这两讲我们就来研究这个问题。
这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算,
对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
例1对于任意数a，b，定义运算“*”：
a*b=axb-a-b。
求12*4的值。
分析与解：
根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。
根据以上的规定，求
12*4=12X4-12-4=48-12-4=32。
例2己知表示盒的今倍减古b的*例如1A2=1X3^2x1=2.
10A6的值。
解；10216=10X3-6x1=30-3=27.
、,d3，x>=2，求x的值
例3对于数為b,c,&规定5b,c,d>=2ab—»己知52,
c
分析与解：
按照定义的运算，
<1，2，3，X>=2,
x=6o
由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。
新运算使用的符号应
避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+,-,X,宁，V,>等，以防止发生混淆，而
表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。
如例1中，a*b=axb-a-b,新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。
例临戲示两个就规定花b
Cl）29（|o|）=?
—
711
〔2）Q©x=求龙
Ao2
分析与解：
按新运算的定义，符号表示求两个数的平均数。
⑴因沏0&确）中机）齢龌新定氏所以其盍义与
四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算
3Y1515
按通常的规则从左
24r厂11
（2）因为在中没笔有重新规定运算次序，所以应
至右进行运算。
診3規皤（扣6
由（扣）作魯襁君
器L24
例5规定：
4®2=4+44
2曲冃+謝恣・
1$^1+1M11+11U,
求佝冃
分析与解：
从已知的三式来看，运算“一”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面
的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数
是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得3—5=3+33+333+3333+33333=37035
从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。
例6对于任意自然数，定义：
n!
=1X2X…xn。
例如4!
=1X2X3X4。
那么1!
+2!
+3!
+…+100!
的个位数字是几？
分析与解：
1!
=1，
2!
=1X2=2，
3!
=1X2X3=6，
4!
=1X2X3X4=24，
5!
=1X2X3X4X5=120,
6!
=1X2X3X4X5X6=720,……
由此可推知，从5!
开始，以后6!
，7!
，8!
…，100!
的末位数字都是0。
所以，要求1!
+2!
+3!
+…+100!
的个位数字，只要把1!
至4!
的个位数字相加便可求得:
1+2+6+4=13所求的个位数字是3。
例7如果mn表示两个数，那么规定：
nDn=4n-（m+r）宁2。
求30（406）012的值。
解：
30（406）012=30[4X6-（4+6）十2]O12=3019012
=[4X19-（3+19）十2]012=65012=4X12-（65+12）十2=9.5
练习3
1.对于任意的两个数a和b,规定a*b=3Xa-b-3。
求8*9的值。
（值为2）
2.已知aHb表示a除以3的余数再乘以b，求13—：
4的值。
（值为4）
3.已知a—b表示（a-b）*（a+b），试计算：
（5-—3）一（1^—6）。
（值为0）
解；（5田3）e（1璇〕=70-=0,
44
4.规定a©b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8©2的值。
答案7■„-=-■--
5.假定mOn表示m的3倍减去n的2倍，即mOn=3m-2r。
（0it算占（号◊〒）
答案
（2）
提示:
x010=7,
已知x◊（401）=7,求x的值
（2）xO（401）=7，x◊（4X3-1X2）=7,
3x-10
X2=7,x=9。
刃=]K卜\
4V=1X-X-X-,
234
⑴求（丙）斗〔57）的值；
⑵已阴二诂看獅的僮
6〔1）—;
（2）8*
（2）相当于由1X2X3X--Xx=40320,求X。
40320-2=20160,20160-3=6720,6720-4=1680,1680-5=336,……8-8=1,
即1/40320=1X1/2X1/3X1/4X1/5X1/6X1/7X1/8。
所以x=8。
7.对于任意的两个数p,Q,规定P^Q=（pXQ）*4。
例如：
2☆8=（2X8）*4。
已知x^（8^5）=10，求x的值。
解：
x^（8^5）=x☆（8X5*4）=x☆10=xX10*4,由xX10*4=10，求得x=4。
8.定义：
a^b=ab-3b,adb=4a-b/a。
计算：
（“△3）△（2'b）°
解：
（4^3）△（2△6）=（4X3-3X3）△（4X2-6/2）=3△5=3X5-3X5=0°
9.已知：
23=2X3X4,4=5=4X5X6X7X8,……求（4冋〕4）*（3点3）的值。
提示：
新运算“：
”是：
从第一个数字起，求越来越大的连续几个自然数的乘积，因数个数是
第二个数字。
（4〔4）*（313）=（4X5X6X7）*（3X4X5）=14。
第4讲定义新运算
（二）
例1已知b=（a+b）-（a-b），求9探2的值。
分析与解：
这是一道很简单的题，把a=9,b=2代入新运算式，即可算出结果。
但是，根据四则运算的法则，我们可以先把新运算“※”化简，再求结果。
a探b=（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。
所以，仝※2=2x2=4。
由例1可知，如果定义的新运算是用四则混合运算表示，那么在符合四则混合运算的性质、法则的前提下，不妨先化简表示式。
这样，可以既减少运算量，又提高运算的准确度。
例2定义运算：
a©b=3a+5ab+kb,其中a,b为任意两个数，k为常数。
比如：
207=3x2+5X2x7+7k。
（1）已知502=73。
问：
805与508的值相等吗？
2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a©b=b©a，即新运算“O”符合交换律？
分析与解：
（1）首先应当确定新运算中的常数k。
因为502=3x5+5X5X2+kX2=65+2k，所以由已知502=73,得65+2k=73,求得k=（73-65）-2=4。
定义的新运算是：
a0b=3a+5ab+4b805=3X8+5X8X5+4x5=244,508=3X5+5X5X8+4X8=247。
因为244工247,所以805工508。
（2）要使a0b=b0a,由新运算的定义，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka3a+kb-3b-ka=0,
3x（a-b）-k（a-b）=O,（3-k）（a-b）=0。
对于两个任意数a,b,要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。
当新运算是a0b=3a+5ab+3b时，具有交换律，即a0b=b0a。
例3对两个自然数a和b,它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a^b,即a^b=[a,b]-（a,
b）。
比如，10和14的最小公倍数是70,最大公约数是2,那么10^14=70-2=68。
（1）求12^21的值；
（2）已知&☆x=27，求x的值。
分析与解：
（1）12^21=[12,21]-（12,21）=84-3=81;
（2）因为定义的
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