子主题二圆幂定理的应用精教学提纲.docx

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子主题二圆幂定理的应用精教学提纲

子主题二圆幂定理的应用（精）

一、学习目标

　　进一步理解圆幂定理的作用与内涵，能够运用圆幂定理解决有关的线段问题和面积计算问题．

　　从方程的视角看待圆幂定理，感悟“图形”与“数量”的内在联系，提高分析问题和解决问题的能力．

　　在用圆中比例线段探索实际问题的过程中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．通过小组之间的分工与合作，产生学习数学的兴趣，提高探究问题的能力．

二、重难点分析

　　通过对与圆有关的线段长问题的分析，学生将能认识到圆幂定理有助于建立与与圆有关的线段的长度间的关系，进而运用圆幂定理解决问题．

　　用方程的观点看待圆幂定理，从而运用该定理实现已知与未知的转化是本探究活动的难点，可以通过分析题目中的已知、未知，引导学生沿着已知或者未知展开联想的方式克服这一难点，在问题解决后，再次强化方程思想在解题中的作用．

三、活动建议方案

《圆幂定理的应用》活动建议方案

一、活动流程框图

二、活动过程

2.1活动任务

通过探究活动，让学生体会如何运用相交弦定理及其推论、切割线定理及其推论进行线段长度计算．

2.2活动1：

线段长度的计算

2.2.1活动内容

第一步：

提出问题

出示线段长度的计算题（见媒体资源），请学生完成．

第二步：

小组合作探究

请学生以小组为单位解决上述问题，根据需要可以给学生提出如下建议：

第一，每位同学首先独立思考，将自己面对问题的想法和感到的困难记下来；

第二，小组内就题目的共同特点、对解决问题过程中获得的感悟以及总结出的通性通法进行提炼总结，向全班交流．

第三步：

全班集体交流

选择2～3个具有不同特点的小组的同学汇报自己的探究结果，全班讨论，建议从如下几个方面进行总结：

第一，解决与圆有关的线段长度问题时，圆幂定理是个重要工具；

第二，有些问题直接给出的条件不符合圆幂定理的条件，可以通过添加辅助线的方式使之适应于圆幂定理；

第三，圆幂定理实质上可以看成是一个等量关系，因此，应用它时可以结合方程思想花未知为已知．

参考资料

1．相交弦定理

相交弦定理：

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）．

若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD．

推论：

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．

若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PA·PB．

2．割线定理

割线定理：

从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B和C、D，则有PA·PB=PC·PD．

3．切割线定理

切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的一种。

若PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线，则PT2=PA·PB.

切割线定理与割线定理、相交弦定理，通称为圆幂定理．

4．相似三角形的判定方法

相似三角形的判定方法有：

平行于三角形一边的直线（或两边的延长线）和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．

直角三角形相似判定定理1：

斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似．

直角三角形相似判定定理2：

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似．

5.圆的切线性质定理

圆的切线性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径．

推论：

经过圆心（或切点）且垂直于切线的直线必经过切点（或圆心）．

于是，切线具有如下性质：

（1）切线与圆只有一个公共点；

（2）切线与圆心的距离等于圆的半径；

（3）切线垂直于过切点的半径；

（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；

（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．

如图：

直线MN与圆O相切，切点为N．

依据圆的切线性质定理，则有：

MN⊥ON．

2.2.2活动组织方式

本活动的组织首先由教师提出探究任务，学生明确探究任务；

学生在独立思考的基础上进行小组内部交流，教师进行巡视指导；

集体交流时请学生充分发表自己的意见，引导其他学生倾听，在讨论后，由教师点拨提升．

2.2.3活动评价方式

从两个方面对探究活动进行评价，分别是过程性评价和效果性评价，采用教师评价、学生互评、学生自评的方式．

2.2.4所需学习资源

线段长度的计算例题1.doc

线段长度的计算例题2.doc

线段长度的计算例题3.doc

线段长度的计算例题1解答.doc

线段长度的计算例题2解答.doc

线段长度的计算例题3解答.doc

2.2.5所需学习时间

20分钟．

活动2：

图形面积的计算

2.3.1活动内容

第一步：

提出问题

出示如下图形面积的计算题（见媒体资源），请学生完成．

第二步：

小组合作探究

请学生以小组为单位解决上述问题，根据需要可以给学生提出如下建议：

第一，每位同学首先独立思考，将自己面对问题的想法、分析过程和感到的困难记下来；

第二，小组内就题目的共同特点、对解决问题过程中获得的感悟以及总结出的通性通法进行提炼总结，向全班交流．

第三步：

全班集体交流

选择2～3个具有不同特点的小组的同学汇报自己的探究结果，全班讨论，建议从如下几个方面进行总结：

第一，遇到几何问题时，如果感觉条件少，不妨把解决问题需要的数据用字母表示，然后充分利用已知条件和理论建立未知量和已知量的关系，通过方程的方法解决；

第二，圆幂定理给确定的是与圆有关的线段的关系，在解决面积问题时可以采用整体思想运用之．

参考资料

和圆有关的比例线段知识体系

相交弦定理及其推论

内容

切割线定理及其推论

和圆有关的比例线段

解有关的计算和证明题

应用

在作图中的应用

2.3.2活动组织方式

本探究活动采用小组合作学习、探究的组织形式．

2.3.3活动评价方式

从两个方面对探究活动进行评价，分别是过程性评价和效果评价，采用师生互评、学生互评及学生自评的方式．

2.3.4所需学习资源

图形面积的计算例题1.doc

图形面积的计算例题1解答.doc

图形面积的计算例题2.doc

图形面积的计算例题2解答.doc

2.3.5所需学习时间

20分钟．

四、学习评价

圆幂定理的应用学习效果测试

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　学习效果测试

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　姓名_______等级_______

一、选择与填空:

（每小题10分）

　　1．圆内两弦相交，其中一条弦长为8cm，且被交点平分，另一条被交点分为1:

4两部分，则这条弦长为（　）．

　　　　A．2cm　　　B．8cm　　　C．10cm　　　D．16cm

　　2．自圆外一点所作过圆心的割线长是12cm，圆的半径为4cm，则过此点所引的切线长为（　）．

　　　　A．16cm　　B．43cm　　C．42cm　　D．以上答案都不对

　　3．⊙O中直径CD垂直弦AB于E，AB＝6，DE∶CE＝1∶3，则DE的长为（　）．

　　　　A．3　　　B．3　　　C．23　　　D．6

　　4．如图1，⊙O的半径为6，PQ＝6，AR＝8则QR的长为（　）．

　　　　A．9　　　B．10　　　C．11　　　D．12

　　5．如图2，CD为⊙O直径，弦AB垂直CD于P，AP＝4，PD＝2，则PO＝_________．

　　6．如图3，PAB为⊙O的割线，PC切⊙O于C，PC＝10，AB＝15，则PA长为________．

　　7．如图4，弦AB垂直弦CD于E，若AE＝2，BE＝6，DE＝3，则⊙O的直径长＝________．

二、解答题（15分）

　　8．如图，⊙O和⊙O′都经过点A和B，PQ切⊙O于P，交⊙O′于Q，M，交AB的延长线于N．

　　　求证：

PN2＝NM·NQ．

三、作图题（15分）

　　作一个正方形，使它的面积等于已知矩形的面积．

等级说明：

90分（含，下同）以上优秀，75分以上良好，60分以上合格．

五、工具和方法