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认证杯数学建模竞赛获奖论文

第七届“认证杯”数学中国

数学建模网络挑战赛

承诺书

我们仔细阅读了第七届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们接受相应处理结果。

我们允许数学中国网站（）公布论文，以供网友之间学习交流，数学中国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。

我们的参赛队号为：

2900

参赛队员（签名）：

队员1：

张安成

队员2：

勾旭东

队员3：

郑子嫣

参赛队教练员（签名）：

李石涛

参赛队伍组别：

本科组

第七届“认证杯”数学中国

数学建模网络挑战赛

编号专用页

参赛队伍的参赛队号：

（请各个参赛队提前填写好）：

2900

竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：

竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：

2014年第七届“认证杯”数学中国

数学建模网络挑战赛第一阶段论文

题目土地储备方案的风险评估

关键词土地储备主成分分析层次分析法风险函数风险评估

摘要：

本文针对土地在收储过程中存在一定的金融风险这一问题，综合运用了单一变量分析、多元统计等方法，建立了主成分分析模型和层次分析法模型，利用EXCEL和MATLAB软件及C语言程序进行求解，进而构造了土地储备方案的风险函数，并利用该风险函数，分别对附件二中给出的数据进行统计分析，从而找出10个风险最大的项目，并给出了造成这10个项目风险较大的原因。

首先，我们分析了单一变量对土地储备方案的风险的影响。

我们利用EXCEL软件，分别绘制了74组方案当中的收购储备面积、动态回收周期、总收储成本、预期收益的对比图，粗略的得出与土地储备方案风险有关的主要因素，即收购储备面积，总收储成本以及预期收益。

得出影响风险的主要因素后，我们继续利用EXCEL软件，计算得出单位储备面积的成本以及收益，进而绘制出单位储备面积内，收益与成本的对比图，得出74组方案的收益与成本的差值范围。

其次，我们建立主成分分析模型，利用MATLAB软件进行相关系数的计算，相对准确的找出与土地储备方案的风险有关的主要因素，并构造了土地储备方案的风险函数，即

S=0.264X1+0.422X2-0.313X3

其中，S表示加权之和，即风险总值，X1表示收购储备面积，X2表示总收储成本，X3表示预期收益。

随后，我们根据构造的土地储备方案的风险函数S=0.264X1+0.422X2-0.313X3，将74组方案当中的相关数据代入，得出74组风险函数值，我们将74组数据值输入到C语言程序中，设计从大到小顺序排列的程序，得出前10名的数据，与之对应的项目即为10个风险最大的项目，方案序号分别为10、37、47、50、51、57、60、64、66、74，而造成风险较大的原因大都是收购储备面积过大，总存储成本过高或预期收益较小。

最后，为了保证所建立模型的可行性以及计算结果的可靠性，我们对所建立的模型进行了检验。

因为土地储备方案风险评估是一个决策问题，所以也可用层次分析法进行求解。

于是我们又建立了层次分析法模型，利用MATLAB软件进行求解，得出影响土地储备风险的三个主要因素分别为收购储备面积，总收储成本和预期收益，这一结果验证了主成分分析模型的可行性和风险函数计算结果的可靠性。

参赛密码

（由组委会填写）

参赛队号:

2900

所选题目:

C题

英文摘要

Upontheproblemthattherearecertainfinancialrisksinlandpurchasingandbanking,principalcomponentanalysismodelandanalytichierarchyprocessmodelareestablishedinthispaperthroughcomprehensiveapplicationofsinglevariableanalysisandmultivariatestatisticalmethods.EXCEL,MATLABandCLanguageProgramareusedtosolveandbuildtheriskfunctionoflandbankingprojects.ThedataprovidedinAttachment2arestatisticallyanalyzedbasedontheriskfunction,soastofindoutthetenprojectswiththebiggestrisks.Thereafter,thereasonsleadingtotherisksofthesetenprojectsareexplainedcorrespondingly.

First,theinfluenceofsinglevariableontherisksoflandbankingprojectsisanalyzed.EXCELisappliedtodrawthecomparisondiagramsofpurchasingandbankingarea,dynamicrecoverycycle,totalpurchasingandbankingcostandprospectiveearningsforthe74projects,soastoroughlyfindoutthemainfactorsrelatedtotherisksoflandbankingprojects,thatis,purchasingandbankingarea,totalpurchasingandbankingcostandprospectiveearnings.Afterthat,thecostandearningsofunitbankingareaarecalculatedwithEXCEL,andthecomparisondiagramsofcostandearningsforunitbankingareaaredrawn,soastoobtainthescopeofdifferenceincostandearningofthese74projects.

Second,theprincipalcomponentanalysismodelisestablished,andMATLABisusedtocalculatethecorrelationcoefficient,thusmoreaccuratelydecidingthemainfactorsassociatedwiththerisksoflandbankingprojects.Theriskfunctionoflandbankingprojectsisalsodecided,namely

S=0.264X1+0.422X2-0.313X3

Followingthat,therelevantdataof74projectsaresubstitutedintotheriskfunctionoflandbankingprojects:

S=0.264X1+0.422X2-0.313X3,soastoobtain74riskfunctionvalues.ThesevaluesaretheninputtoCLanguageProgram,whichisdesignedtolistthevaluesinthedescendingorder,togetthetoptenvalues.So,theprojectscorrespondingtothesevaluesarebelievedtobethetoptenprojectswiththebiggestrisks.TheseprojectsareProjectNo.10,No.37,No.47,No.50,No.51,No.57,No.60,No.64,No.66,andNo.74.Thereasonsforthebigrisksincludetoolargepurchasingandbankingarea,toohightotalbankingcostorrelativelylowprospectiveearnings.

Finally,themodelistestedforitsfeasibilityandthereliabilityofthecalculationresults.Consideringthatriskevaluationoflandbankingprojectsisadecision-makingproblem,theanalytichierarchyprocessisresortedto.Therefore,theanalytichierarchyprocessmodelisbuilt,andMATLABisappliedforsolutions.Thethreemainfactorsinfluencingtherisksoflandbankingprojectsarelandpurchasingandbankingarea,totalpurchasingandbankingcostandprospectiveearnings.Thisresultprovesthefeasibilityoftheprincipalcomponentanalysismodelandthereliabilityofthecalculationresultsoftheriskfunction.

一、问题重述

（1）相关背景

实施土地收储及招拍挂，虽然增加了地方财政收入，改善了城市基础设施建设，提高了土地市场的公平性和透明性。

但是，土地收储也是金融风险的关键环节。

在土地收储过程中，需要动用大量的资金，如果单纯依靠有限的财政资金是不现实的。

同时，当前我国的金融产品较为单一，土地银行、土地债券、土地信托等新型的金融产品至今还未兴起。

于是在地方政府授权的情况下，土地收储机构往往大量利用银行的授信贷款、抵押贷款等各种渠道的信贷资金收储土地。

而这些资金在土地市场活跃的情况下，风险不易显现。

而当土地市场疲软之时，极易因所收储的土地无法变现而导致金融风险的集中暴发。

图1土地储备的基本步骤

（2）相关信息与数据

1、土地储备项目可研报告（详见原题的附件一）

2、土地储备方案数据（详见原题的附件二）

（三）要解决的问题

1、问题一：

利用原题给出的数据，建立合理的数学模型，为土地储备部门提供一个比较实用的土地储备方案的风险评估方法。

2、问题二：

利用得出的风险评估方法对附件二中的方案进行风险评估，将10个风险最大的项目提供给土地储备部门退回，并从模型的角度，指出造成这10个项目风险较大的原因。

二、问题分析

1、问题的总体分析

设计土地储备方案的风险评估方法属于一个决策问题，需要按照一定的准则或原则，在若干种方案中选出最合适的。

我们根据原题给出的相关数据，建立了层次分析法模型和主成分分析模型，构造了土地储备风险的函数，进而得出风险评估的方法。

2、问题一的分析

问题一需要我们根据附件二给出的数据，建立合理的数学模型，进而得出风险评估的方法。

针对此问题，我们首先分析整理了附件二提供的数据，建立了层次分析法模型，运用MATLAB软件，对与土地储备方案风险有关的数据进行筛选，忽略次要因素，保留三个主要因素。

其次，我们建立了主成分分析模型，对三个主要因素进行分析，运用MATLAB软件进行计算，得出三个主要因素的权重，进而得出计算土地储备方案风险的函数。

3、问题二的分析

问题二属于一个决策问题，我们运用得出的计算土地储备风险的函数，将附件二给出与三个主要因素相关的74组数据代入风险函数，得出74组解，其中有10组解是不符合要求的，即为10个风险最大的项目。

三、模型假设

1、只考虑金融风险，其他风险暂不考虑。

2、经济相对稳定，不会发生通货膨胀或通货紧缩等情况。

3、省市政府的土地政策不会有较大变动。

4、涉及拆迁补偿的人口总数不变。

5、银行贷款的利率不变。

四、符号说明

序号

符号

符号说明

风险总值

权重

每组数据变量

收购储备面积

总收储成本估算

预期收益

Rij

两变量的相关系数

协方差矩阵

λi

特征值

主成分

数据方差的平均数

max

最大特征根

（2）

归一化特征向量

（2）

一致性指标

（2）

一致性比率

5、模型的建立与求解

（一）对于问题1：

我们首先利用EXCEL软件对附件二给出的数据进行统计分析，得出单一变量与土地储备方案风险有关的定性结论。

图2各方案收购储备面积对比

从图2中可以发现，各方案收购储备面积不尽相同，有的方案收购储备面积之间差异很大，因此可以判定，收购储备面积与土地储备方案的风险有一定关系。

图3动态回收周期散点图

从图3中可以发现，74组方案的动态回收周期大多数都集中在1.5年，因此可以得出结论，动态回收周期对土地储备方案风险的影响不大，可以不考虑动态回收周期这个因素。

图4总收储成本对比

从图4可以发现，各方案总收储成本之间差异非常大，由此断定，74组方案的总收储成本估算也是影响土地储备方案风险的因素之一。

图5预期收益对比

从图5可以看出，74组方案中，各预期收入存在较大差异，所以预期收益也应该是影响土地储备方案风险的因素之一。

图6涉及拆迁补偿人口数

从图6中可以看出，虽然大部分的方案不涉及拆迁人口，但还是有部分方案涉及到拆迁人口，这就涉及到了政策风险，而并不单单是金融风险。

因此，拆迁补偿人口也是影响土地储备方案风险的因素之一。

本文主要针对金融风险进行研究，所以拆迁人口补偿情况暂不考虑。

我们将总收储成本和预期收益分别与收购储备面积作商，得到单位储备面积的成本和收入。

表1单位储备面积成本和单位储备面积收入

方案序号

单位储备面积成本

0.01

0.03

0.02

0.11

0.02

0.24

0.02

单位储备面积收入

0.02

0.04

0.03

0.15

0.03

0.04

0.31

0.02

方案序号

单位储备面积成本

0.003

0.08

0.03

0.17

0.07

0.02

0.07

单位储备面积收入

0.005

0.10

0.05

0.21

0.09

0.03

0.02

0.03

0.10

方案序号

单位储备面积成本

0.02

0.04

0.01

0.02

0.11

0.17

0.09

0.06

单位储备面积收入

0.04

0.05

0.06

0.02

0.03

0.14

0.25

0.12

0.08

方案序号

单位储备面积成本

0.02

0.03

0.02

0.09

单位储备面积收入

0.03

0.04

0.03

0.12

方案序号

单位储备面积成本

0.01

0.06

0.08

0.03

0.11

0.08

0.02

0.08

单位储备面积收入

0.01

0.08

0.11

0.05

0.15

0.12

0.03

0.12

方案序号

单位储备面积成本

0.08

0.01

0.03

0.02

0.007

0.01

0.06

0.07

0.13

单位储备面积收入

0.11

0.02

0.05

0.03

0.01

0.09

0.11

0.16

方案序号

单位储备面积成本

0.03

0.003

0.02

0.03

0.01

0.03

0.11

0.02

单位储备面积收入

0.05

0.004

0.03

0.04

0.02

0.04

0.14

0.02

方案序号

单位储备面积成本

0.01

0.04

0.02

0.13

0.07

0.04

0.14

0.20

0.17

单位储备面积收入

0.02

0.05

0.03

0.20

0.10

0.05

0.19

0.28

0.25

方案序号

单位储备面积成本

0.07

0.03

单位储备面积收入

0.10

0.05

图7单位储备面积的收入与成本对比

通过图7可以看出，单位储备面积中，收入与成本的差值越大，说明土地储备方案风险越小；反之，两者差值越小，说明风险越大，图7可以简单、笼统的分析出与土地储备方案风险有关的因素。

分析了单一变量对土地储备方案风险的影响之后，我们忽略一些次要因素，保留主要因素。

随后我们需要考虑多元因素对土地储备方案风险的影响。

我们建立了主成分分析模型，确定主要因素的权重，进而构造出土地储备方案风险的函数。

1.模型简介

主成分分析法是一种数学变换的方法，它把给定的一组的相关变量通过线性变换转成另一组不相关的变量，这些新的变量按照方差一次递减的顺序排序。

在数学变换中保持变量的总方差不变，使第一个变量具有最大的方差，称之为第一主成分；第二个变量的方差次大，并且与第一个变量不相关，称之为第二主成分；以此类推。

主成分分析把原有的多因素的问题，通过分析筛选出少数几个主要有代表性的少数因素的一种统计分析方法，也是一种降维处理方法。

2.模型建立

根据主成分分析法对可能引起风险的变量进行加权处理，由表可知，共有74组数据，用S表示加权之和，即风险总值，用C表示权重，用x表示每组数据变量，且变量之间不相关,可得到如下函数关系：

S1=C11X1+C12X2+C13X3+…C1pXp

S2=C21X2+C22X2+C23X3+…C2pXp

……

S74=C741X1+C742X2+C743X3+…C74pXp

由原变量X1、X2计算出任意两变量的相关系数

（1）

则有相关系数矩阵为

（2）

根据协方差矩阵R求出特征值、主成分贡献率和累计方差贡献率，确定主成分个数。

解特征方程

（3）

求出特征值λi（i=1，2，…，p）。

因为R是正定矩阵，所以其特征值λi都为正数，将其按大小顺序排列，即λ1≥λ2≥…≥λi≥0。

特征值是各主成分的方差，它的大小反映了各个主成分的影响力。

主成分Zi的贡献率Wi为

Wi=

（4）

累计贡献率Wz为

Wz=

（5）

根据选取主成分个数的原则，特征值要求大于1且累计贡献率达80%-95%的特征值λ1，λ2，…，

λn所对应的1，2，…，n（n≤p），其中整数n即为主成分的个数，这里n值为3.建立初始因子载荷矩阵，解释主成分。

因子载荷量是主成分Zi与原始指标Xi的相关系数R（Zi，Xi），揭示了主成分与各财务比率之间的相关程度，利用它可较好地解释主成分的经济意义。

在此我们引入协方差这一概念，协方差分析是建立在方差分析和回归分析基础之上的一种统计分析方法，在这个问题上，我们已经考虑到表中数据的贡献率，经过不断的筛选，将数据简化成两组，现要确定其相关系数，即两个变量对于主成分的影响大小，首先将数据进行处理，求出每两组数据之间的差值，再求其方差，两组数据均求出后，再进行协方差运算，这样可以保证数据的有效性，因为表中数据具有特殊性，分析其变化对于主成分的影响会更加合理。

协方差与方差之间有如下关系：

D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2COV（X，Y）（6）

D（X-Y）=D（X）+D（Y）-2COV（X，Y）（7）

因此，

COV（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）（8）

想要求协方差，应先求出数据的方差，若x1,x2,x3......xn的平均数为m，则方差为s^2=1/n[（x1-m）^2+（x2-m）^2+.......+（xn-m）^2]（9）

利用此公式可以将每两组数据之差的方差计算出来，再进行协方差运算，确定两组变量的比例关系，对于每一个i，均有Ci1+Ci2+Ci3=1.

可以通过公式算出Ci1=0.264,Ci2=0.422,Ci3=0.313.因为预期收益与土地存储面积、总收储成本的期望趋势相反，所以取Ci3=-0.313。

由以上分析可知，主要风险因素有收购储备面积X1，总收储成本估算X2以及预期收益X3，则有

S=Ci1X1+Ci2X2-Ci3X3（10）

所以可得出如下计算表达式来表达风险总值，

S=0.264

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