高考数学教案和学案有答案第6章学案29.docx

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高考数学教案和学案有答案第6章学案29

学案29　等比数列及其前n项和

导学目标：

1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．

自主梳理

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母______表示（q≠0）．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝____________.

3．等比中项：

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．

4．等比数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am·________（n，m∈N*）．

（2）若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则__________________．

（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．

（4）单调性：

或⇔{an}是________数列；或⇔{an}是________数列；q＝1⇔{an}

是____数列；q<0⇔{an}是________数列．

5．等比数列的前n项和公式

等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；

当q≠1时，Sn＝＝＝－.

6．等比数列前n项和的性质

公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．

自我检测

1．（2011·苏州模拟）如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________.

2．（2011·湖南长郡中学模拟）已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a＋8，则an＝______________.

3．设{an}是公比为q的等比数列，|q|>1，令bn＝an＋1（n＝1,2，…），若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.

4．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值为________．

5．设f（n）＝2＋24＋27＋…＋23n＋1（n∈N*），则f（n）＝____________.

探究点一　等比数列的基本量运算

例1　已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.

变式迁移1　在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2·an－1＝128，Sn＝126，求n和q.

探究点二　等比数列的判定

例2　已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.

（1）证明：

数列{an＋1}是等比数列；

（2）求{an}的通项公式以及Sn.

变式迁移2　设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）Sn＋2n（n∈N*）．

（1）求a2，a3的值；

（2）求证：

数列{Sn＋2}是等比数列．

探究点三　等比数列性质的应用

例3　在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且＋＋＋＋＝2，求a3.

变式迁移3　

（1）已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；

（2）在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.

分类讨论思想与整体思想

例　（14分）设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．

【答题模板】

解　设数列{an}的公比为q，

若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.

∵S2n＝6560≠2Sn＝160，∴q≠1，[4分]

由题意得[6分]

将①整体代入②得80（1＋qn）＝6560，

∴qn＝81.[8分]

将qn＝81代入①得a1（1－81）＝80（1－q），

∴a1＝q－1，由a1>0，得q>1，

∴数列{an}为递增数列．[10分]

∴an＝a1qn－1＝·qn＝81·＝54.

∴＝.[12分]

与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，

∴a2n＝2×32n－1（n∈N*）．[14分]

【突破思维障碍】

（1）分类讨论的思想：

①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时也应进行讨论：

当a1>0，q>1或a1<0,01或a1>0,0

（2）函数的思想：

等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝·qn（q>0且q≠1）常和指数函数相联系．（3）整体思想：

应用等比数列前n项和时，常把qn，当成整体求解．

本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．

1．等比数列的通项公式、前n项和公式分别为an＝a1qn－1，Sn＝

2．等比数列的判定方法：

（1）定义法：

即证明＝q（q≠0，n∈N*）（q是与n值无关的常数）．

（2）中项法：

证明一个数列满足a＝an·an＋2（n∈N*且an·an＋1·an＋2≠0）．

3．等比数列的性质：

（1）an＝am·qn－m（n，m∈N*）；

（2）若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak·al＝am·an；

（3）设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.

4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．

5．等差数列与等比数列的关系是：

（1）若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；

（2）若{an}是等比数列，且an>0，则{lgan}构成等差数列．

（满分：

90分）

一、填空题（每小题6分，共48分）

1．（2010·辽宁）设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比q=.

2．（2010·浙江）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.

3．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5＝________.

4．（2011·无锡模拟）等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是________．

5．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则＝________.

6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．

7．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.

8．（2010·福建）在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.

二、解答题（共42分）

9．（12分）（2010·陕西）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．

（1）求数列{an}的通项；

（2）求数列{2an}的前n项和Sn.

10．（14分）已知数列{log2（an－1）}为等差数列，且a1＝3，a2＝5.

（1）求证：

数列{an－1}是等比数列；

（2）求＋＋…＋的值．

11．（16分）已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．

（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（2）设数列{cn}对n∈N*均有＋＋…＋＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋c2010.

答案自主梳理

1．公比　q　2.a1·qn－1　4.

（1）qn－m　

（2）ak·al＝am·an

（4）递增　递减　常　摆动　6.qn

自我检测

1．－3

解析　由等比数列的性质可得ac＝（－1）×（－9）＝9，b2＝9且b与奇数项的符号相同，故b＝－3.

2．8·n－1

解析　因为{an}为等比数列，所以（a＋2）2＝（a－2）（a＋8），解得a＝10，a－2＝8，q＝＝，

∴an＝a1qn－1＝8·n－1.

3．－9

解析　由题意：

等比数列{an}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知：

四项是两个正数、两个负数，

故－24,36，－54,81，符合题意，则q＝－，∴6q＝－9.

4．1

解析　可用特殊值法，由Sn得a1＝3－a，a2＝6，a3＝18，由等比数列的性质可知a＝1.

5.（8n＋1－1）

解析　由题意可知，f（n）即为一个以2为首项，公比q＝23＝8，项数为n＋1的等比数列的和．

由公式可得f（n）＝Sn＋1＝

＝＝（8n＋1－1）．

课堂活动区

例1　解题导引　

（1）在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；

（2）本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．

解　方法一　由已知得：

①－②，得4aq6＝64，∴aq6＝16.③

代入①，得＋2×16＋16q2＝100.

解得q2＝4或q2＝.

又数列{an}为正项数列，∴q＝2或.

当q＝2时，可得a1＝，

∴an＝×2n－1＝2n－2，Sn＝＝2n－1－；

当q＝时，可得a1＝32.

∴an＝32×n－1＝26－n.

Sn＝＝64－26－n.

方法二　∵a1a5＝a2a4＝a，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a，

由

可得

即

∴解得或

当a3＝8，a5＝2时，q2＝＝＝.

∵q>0，∴q＝，由a3＝a1q2＝8，

得a1＝32，∴an＝32×n－1＝26－n.

Sn＝＝64－26－n.

当a3＝2，a5＝8时，q2＝＝4，且q>0，∴q＝2.

由a3＝a1q2，得a1＝＝.∴an＝×2n－1＝2n－2.

Sn＝＝2n－1－.

变式迁移1　解　由题意得

解得或

若则Sn＝＝＝126，

解得q＝，此时，an＝2＝64·n－1，∴n＝6.

若则Sn＝＝126，∴q＝2.

∴an＝64＝2·2n－1.∴n＝6.

综上n＝6，q＝2或.

例2　解题导引　

（1）证明数列是等比数列的两个基本方法：

①＝q（q为与n值无关的常数）（n∈N*）．

②a＝anan＋2（an≠0，n∈N*）．

（2）证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．

解　

（1）由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，

可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，

两式相减得Sn＋1－Sn＝2（Sn－Sn－1）＋1，

即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2（an＋1），

当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，

所以a2＋a1＝2a1＋6，