高考数学文第二篇 函数导数及其应用 第9节 函.docx

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高考数学文第二篇函数导数及其应用第9节函

第9节　函数模型及其应用

【选题明细表】

知识点、方法

题号

利用函数图象刻画实际问题

1,2,10

二次函数模型

3,7,11,12,14,15

指对函数模型

4,8,9

分段函数模型

6,12

模型的选取与求解

5,13

基础对点练（时间:

30分钟）

1.（2015·江西九江二模）一个游泳池长100m,甲、乙两人分别在游泳池相对两边同时朝对面游泳,甲的速度是2m/s,乙的速度是1m/s,若不计转向时间,则从开始起到5min止,他们相遇的次数为（　B　）

（A）6（B）5（C）4（D）3

解析:

设距离m为甲、乙所在位置与乙岸的距离,实线为甲函数m1（t）的图象,虚线为乙函数m2（t）的图象,如图所示,两曲线共有5个交点.

2.（2016·长沙模拟）如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆.垂直于x轴的直线l:

x=t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动,l在移动过程中扫过平面图形的面积为S（图中阴影部分）,若函数S=f（t）的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能是（　C　）

解析:

由函数的图象可知,几何体具有对称性,选项A,B,D,l在移动过程中扫过平面图形的面积为S,在中线位置前,增长的先慢后快,再快.选项C,后面是匀速增加,函数图象呈直线.故选C.

3.（2016·辽宁抚顺期末）一批材料可以建成200m长的围墙,现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地,中间隔成3个面积相等的矩形（如图）,则围成的矩形最大总面积为（　C　）

（A）100m2（B）10000m2

（C）2500m2（D）6250m2

解析:

设每个小矩形的高为am,

则长为b=（200-4a）m,记面积为Sm2,

则S=3ab=a·（200-4a）=-4a2+200a（0

所以当a=25时,Smax=2500（m2）,

所以所围矩形面积的最大值为2500m2.故选C.

4.某种动物繁殖量y（只）与时间x（年）的关系为y=alog3（x+1）,设这种动物第2年有100只,则到第8年它们有（　A　）

（A）200只（B）300只（C）400只（D）500只

解析:

由已知得100=alog3（2+1）,

得a=100,所以y=100log3（x+1）,

则当x=8时,y=100log3（8+1）=200（只）.

5.（2016·江西吉安期末）某实验小组通过实验产生的一组数据（如表）,现欲从理论上对这些数据进行分析并预测后期实验结果的最佳模拟函数的模型是（　C　）

x

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

y

1.03

4.57

10.41

21.75

32.00

43.21

（A）y=log2x（B）y=2x

（C）y=x2+2x-3（D）y=2x-3

解析:

通过所给数据可知y随着x的增大而增大,且其增长速度越来越快,而A中的函数增长速度越来越慢,D中的函数增长速度保持不变,且24=16,26=64即B中的函数不满足题意,于是选项C满足题意,故

选C.

6.（2016·辽宁锦州期末）国家规定个人稿费纳税办法是:

不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4000元的按全部稿酬的11.2%纳税,已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费（扣税前）为（　C　）

（A）2800元（B）3000元

（C）3800元（D）3818元

解析:

由题意,纳税额y与稿费x函数关系为

y=

由于此人纳税420元,令（x-800）×0.14=420,

解得x=3800.

令0.112x=420,得x=3750（舍去）,

故可得这个人应得稿费（扣税前）为3800元.故选C.

7.（2016·江苏南通模拟）用长度为24的材料围成一个矩形场地,中间有两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为　　　. 

解析:

如图所示,

设矩形场地的宽为x,

则长为,

其面积为

S=·x=12x-2x2=-2（x2-6x+9）+18

=-2（x-3）2+18.

当x=3时,S有最大值,为18;所以隔墙的长度应为3.

答案:

3

8.导学号49612073为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一种方式其加密、解密原理如下:

明文密文密文明文

已知加密为y=ax-2（x为明文,y为密文）,如果明文“3”通过加密后得到密文为6,再发送,接收方通过解密得到明文“3”,若接收方接到密文为“14”,则原发的明文是　　　　. 

解析:

依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,

故6=a3-2,解得a=2,

所以加密为y=2x-2.

因此,当y=14时,由14=2x-2,

解得x=4.

答案:

4

9.一个人喝了少量酒后,血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后,血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:

驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么,此人至少经过　　　　小时后才能开车.（精确到1小时） 

解析:

设经过x小时才能开车,

由题意得0.3（1-25%）x≤0.09,

所以0.75x≤0.3,x≥log0.750.3≈4.19.

所以此人至少经过5小时后才能开车.

答案:

5

10.（2016·湖北黄冈自主招生）某农机租赁公司共有50台收割机,其中甲型20台,乙型30台,现将这50台联合收割机派往A,B两地区收割水稻,其中30台派往A地区,20台派往B地区,两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表:

每台甲型收割机的租金

每台乙型收割机的租金

A地区

1800元

1600元

B地区

1600元

1200元

（1）设派往A地区x台乙型联合收割机,租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y元,求y关于x的函数关系式;

（2）若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于79600元,试写出满足条件的所有分派方案;

（3）农机租赁公司拟出一个分派方案,使该公司50台收割机每天获得租金最高,并说明理由.

解:

（1）由于派往A地的乙型收割机x台,则派往B地的乙型收割机为（30-x）台,派往A,B地区的甲型收割机分别为（30-x）台和（x-10）台.

所以y=1600x+1200（30-x）+1800（30-x）+1600（x-10）=200x+

74000（10≤x≤30）.

（2）由题意,得200x+74000≥79600,解得x≥28,

因为10≤x≤30,x是正整数,所以x=28,29,30,

所以有3种不同分派方案:

①当x=28时,派往A地区的甲型收割机2台,乙型收割机28台,余者全部派往B地区;

②当x=29时,派往A地区的甲型收割机1台,乙型收割机29台,余者全部派往B地区;

③当x=30时,派往A地区的甲型收割机0台,乙型收割机30台,余者全部派往B地区.

（3）因为y=200x+74000中,

所以y随x的增大而增大,所以当x=30时,y取得最大值,

此时,y=200×30+74000=80000,建议农机租赁公司将30台乙型收割机全部派往A地区,20台甲型收割机全部派往B地区,这样公司每天获得租金最高,最高租金为80000元.

11.（2016·武汉期末）为了美化校园环境,学校打算在兰蕙广场上建造一个绚丽多彩的矩形花园,中间有三个完全一样的矩形花坛,每个花坛面积均为294平方米,花坛四周的过道均为2米,如图所示,设矩形花坛的长为x,宽为y,整个矩形花园面积为S.

（1）试用x,y表示S;

（2）为了节约用地,当矩形花坛的长为多少米时,新建矩形花园占地最少,占地多少平方米?

解:

（1）S=（x+4）（3y+8）=3xy+8x+12y+32.

（2）由xy=294得S=3×294+8x+12×+32=914+8x+12×,x∈（0,+∞）≥914+2·=914+2×4×6×7=1250,

当且仅当8x=,即x=21时,等号成立.

此时,矩形花园面积为1250平方米.

能力提升练（时间:

15分钟）

12.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流,现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图中阴影部分）备用,当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x,y应为（　A　）

（A）x=15,y=12（B）x=12,y=15

（C）x=14,y=10（D）x=10,y=14

解析:

由三角形相似得=,

得x=（24-y）,

所以S=xy=-（y-12）2+180,

所以当y=12时,S有最大值,此时x=15.

13.（2016·广东佛山期末）某地区今年1月,2月,3月,4月,5月患某种传染病的人数分别是52,61,68,74,78.若用下列四个函数模型预测以后各月的患该种传染病的人数,哪个最不合理?

（　A　）

（A）f（x）=kx+h（B）f（x）=ax2+bx+c

（C）f（x）=pqx+r（D）f（x）=mlnx+n

解析:

f（x）=kx+h,则所以k=9,h=43,

所以f（x）=9x+43,f（3）=70>68,f（4）=79>74,f（5）=88>78;

f（x）=ax2+bx+c,

由题意得

解得a=-1,b=12,c=41,

所以f（x）=-x2+12x+41,

所以f（4）=-42+12×4+41=73<74,

f（5）=-52+12×5+41=76<78,

f（x）=p·qx+r,

由题意得

解得p=-,q=,r=92.5,

所以f（x）=-·（）x+92.5,

所以f（4）≈73,f（5）≈78,

f（x）=mlnx+n,

所以m=,n=52,

所以f（x）=lnx+52,

所以f（3）=ln3+52<68,

f（4）=ln4+52=70<74,

f（5）=ln5+52<78,故选A.

14.（2016·上海普陀区二模）某企业参加A项目生产的工人为1000人,平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要,从A项目中调出x人参与B项目的售后服务工作,每人每年可以创造利润10（a-）万元（a>0）,A项目余下的工人每年创造利润需要提高0.2x%.

（1）若要保证A项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润,则最多调出多少人参加B项目从事售后服务

工作?

（2）在

（1）的条件下,当从A项目调出的人数不能超过总人数的40%时,才能使得A项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润,求实数a的取值范围.

解:

设调出x人参加B项目从事售后服务工作.

（1）由题意得10（1000-x）（1+0.2x%）≥10×1000,

即x2-500x≤0,又x>0,所以0

（2）由题知,0

从事售后服务工作的员工创造的年总利润为10（a-）x万元,

从事原来产业的员工的年总利润为10（1000-x）（1+x）万元,

则10（a-）x≤10（1000-x）（1+0.2x%）,

所以ax-≤1000+2x-x-x2,

所以ax≤+1000+x,

即a≤++1恒成立,

因为0

所以++1≥++1=5.1,

所以a≤5.1,

又a>0,所以0

即a的取值范围为（0,5.1].

15.（2016·江苏宿迁三模）经市场调查,某商品每吨的价格为x

（1