名师精品高中数学北师大版选修23同步导学案22 超几何分布.docx
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名师精品高中数学北师大版选修23同步导学案22超几何分布
§2 超几何分布
1．理解超几何分布及其推导过程．（重点）
2．能用超几何分布解决一些简单的实际问题．（难点）
[基础·初探]
教材整理 超几何分布
阅读教材P38～P40部分，完成下列问题．
1．超几何分布的概念
一般地，设有N件产品，其中有M（M≤N）件次品．从中任取n（n≤N）件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P（X＝k）＝____________（其中k为非负整数）．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布．
2．超几何分布的表格形式
X＝k
0
1
2
…
k
…
P（X＝k）
________
________
________
…
________
…
【答案】 1. 2.
1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在产品检验中，超几何分布描述的是放回抽样．（ ）
（2）在超几何分布中，随机变量X取值的最大值是M.（ ）
（3）从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X服从超几何分布．（ ）
（4）在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式，求出X取不同值m时的概率P（X＝m）．（ ）
【答案】
（1）×
（2）× （3）√ （4）√
2．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【解析】 设X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N＝100，M＝80，n＝10的超几何分布，取到的10个球中恰有6个红球，即X＝6，P（X＝6）＝.
【答案】 D
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
超几何分布的概念
盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．
（1）若用随机变量X表示任选4个球中红球的个数，则X服从超几何分布，其参数为（ ）
A．N＝9，M＝4，n＝4B．N＝9，M＝5，n＝5
C．N＝13，M＝4，n＝4D．N＝14，M＝5，n＝5
（2）若用随机变量Y表示任选3个球中红球的个数，则Y的可能取值为________．
（3）若用随机变量Z表示任选5个球中白球的个数，则P（Z＝2）＝________.
【精彩点拨】 着眼点：
（1）超几何分布的概念；
（2）参数的意义；（3）古典概型概率的计算公式．
【自主解答】
（1）根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝4，n＝4.
（2）由于只选取了3个球，因此随机变量Y的所有可能取值为0,1,2,3.
（3）由古典概型概率计算公式知，P（Z＝2）＝＝.
【答案】
（1）A
（2）0,1,2,3 （3）
对于超几何分布要注意以下两点：
1超几何分布是不放回抽样；
2公式PX＝k＝中各参数的意义.
[再练一题]
1．若将例1第
（1）小题中改为“随机变量X表示不是红球的个数”，则参数N＝______，M＝______，n＝______.
【解析】 根据超几何分布的定义知，N＝9，M＝5，n＝4.
【答案】 9 5 4
求超几何分布的分布列
袋中有8个球，其中5个黑球，3个红球，从袋中任取3个球，求取出的红球数X的分布列，并求至少有一个红球的概率．
【精彩点拨】 先写出X所有可能的取值，求出每一个X所对应的概率，然后写出分布列，求出概率．
【自主解答】 X＝0,1,2,3，
X＝0表示取出的3个球全是黑球，
P（X＝0）＝＝＝，
同理P（X＝1）＝＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
P
至少有一个红球的概率为P（X≥1）＝1－＝.
超几何分布的求解步骤
1．辨模型：
结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”，“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．
2．算概率：
可以直接借助公式P（X＝k）＝求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M，N，n，k的含义．
3．列分布表：
把求得的概率值通过表格表示出来．
[再练一题]
2．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数为ξ的分布列．
【解】 设随机变量ξ表示取出次品的件数，则ξ服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3.ξ的可能的取值为0,1,2，相应的概率依次为
P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
[探究共研型]
超几何分布的应用
探究1 袋中有4个红球，3个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球．试求得分X的分布列．
【提示】 从袋中随机摸4个球的情况为1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红四种情况，分别得分为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.
P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝，
P（X＝7）＝＝，P（X＝8）＝＝.
故所求的分布列为
X
5
6
7
8
P
探究2 在上述问题中，求得分大于6分的概率．
【提示】 根据随机变量X的分布列，可以得到得分大于6分的概率为P（X>6）＝P（X＝7）＋P（X＝8）＝＋＝.
交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0,10]，分别有五个级别：
T∈[0,2）畅通；T∈[2,4）基本畅通；T∈[4,6）轻度拥堵；T∈[6,8）中度拥堵；T∈[8,10]严重拥堵．晚高峰时段，从某市交通指挥中心选取了市区20个交通路段，依据其交通指数数据绘制的直方图如图221所示：
图221
（1）这20个路段轻度拥堵、中度拥堵的路段各有多少个？
（2）从这20个路段中随机抽出3个路段，用X表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布列．
【精彩点拨】
（1）求这20个路段中轻度拥堵、中度拥堵的个数，即求交通指数分别为[4,6）和[6,8）时的频数．根据频率分布直方图的性质求解．
（2）先根据超几何分布的概率公式求解X取各个值时的概率，再列出分布列．
【自主解答】
（1）由直方图得：
轻度拥堵的路段个数是（0.1＋0.2）×1×20＝6；中度拥堵的路段个数是（0.3＋0.2）×1×20＝10.
（2）X的可能取值为0,1,2,3.
则P（X＝0）＝＝；P（X＝1）＝＝；
P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
1．超几何分布具有广泛的应用，它可以用来描述产品抽样中的次品数的分布规律，也可以用来研究我们熟悉的不放回摸球游戏中的某些概率问题．在其分布列的表达式中，各个字母的含义在不同的背景下会有所不同．
2．在超几何分布中，随机变量X取每个值的概率是用古典概型计算的，明确每一个基本事件的性质是正确解答此类问题的关键．
[再练一题]
3．某人有5把钥匙，其中只有一把能打开办公室的门，一次他醉酒后拿钥匙去开门．由于看不清是哪把钥匙，他只好逐一去试．若不能开门，则把钥匙扔到一边，记打开门时试开门的次数为ξ，试求ξ的分布列，并求他至多试开3次的概率．
【解】 ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，
且P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，
P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，
P（ξ＝5）＝＝.
因此ξ的分布列为
ξ
1
2
3
4
5
P
由分布列知P（ξ≤3）＝P（ξ＝1）＋P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝＋＋＝.
[构建·体系]
1．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是（ ）
A. B.
C.D.
【解析】 根据题意知，该问题为古典概型，∴P＝＝.
【答案】 C
2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P（X＝3）＝（ ）【导学号：
62690031】
A.B.
C.D.
【解析】 P（X＝3）＝＝.
【答案】 D
3．从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P（X＝1）＝________.
【解析】 X＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P（X＝1）＝＝.
【答案】
4．在某次国际会议中，需要从4个日本人，5个英国人和6个美国人中，任选4人负责新闻发布会，则恰好含有3个英国人的概率为________．（用式子表示）
【解析】 设选取的4人中英国人有X个，由题意知X服从参数为N＝15，M＝5，n＝4的超几何分布，其中X的所有可能取值为0,1,2,3,4，且
P（X＝k）＝（k＝0,1,2,3,4）．
∴P（X＝3）＝.
【答案】
5．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回地方式从袋中任取3个球，取到黑球的数目用X表示，求随机变量X的分布列．
【解】 X可能取的值为0,1,2.
由题意知，X服从超几何分布，
所以P（X＝0）＝＝；
P（X＝1）＝＝；
P（X＝2）＝＝.
所以X的分布列为：
X＝k
0
1
2
P（X＝k）
我还有这些不足：
（1）
（2）
我的课下提升方案：
（1）
（2）
学业分层测评
（建议用时：
45分钟）
[学业达标]
一、选择题
1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为（ ）
A.
B.
C．1－
D.
【解析】 从52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A的结果数是CC＋CC，故所求概率为.
【答案】 D
2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则P（X≤1）等于（ ）
A. B.
C.D.
【解析】 由已知得，X的可能取值为0,1,2.
P（X＝0）＝；P（X＝1）＝；P（X＝2）＝，
∴P（X≤1）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝.
【答案】 A
3．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么等于（ ）
A．恰有1只是坏的的概率
B．恰有两只是好的的概率
C．4只全是好的的概率
D．至多有两只是坏的的概率
【解析】 恰好两只是好的概率为P＝＝.
【答案】 B
4．某12人的兴趣小组中，有5名“特困生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“特困生”的人数，则下列概率中等于的是（ ）
A．P（ξ＝2）B．P（ξ＝3）
C．P（ξ≤2）D．P（ξ≤3）
【解析】 6人中“特困生”的人数为ξ，则其选法数为C·C，当ξ＝3时，选法数为CC，故P（ξ＝3）＝.
【答案】 B
5．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为的事件是（ ）【导学号：
62690032】
A．没有白球B．至少有一个白球
C．至少有一个红球D．至多有一个白球
【解析】 ＝＋表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球
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