第1课时弧长和扇形面积 习题.docx

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第1课时弧长和扇形面积习题

24.4　第1课时　弧长和扇形面积

知识点1　弧长公式及其应用

1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长l＝________，n°的圆心角所对的弧长l＝________．

2．

（1）2016·岳阳在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为________cm.

（2）有一条弧的长为2πcm，半径为2cm，则这条弧所对的圆心角的度数是________；

（3）一条长度为10πcm的弧所对的圆心角为60°，则这条弧所在的圆的半径是________．

3．若半径为5cm的一段弧的弧长等于半径为2cm的圆的周长，则这段弧所对的圆心角为（　　）

A．18°B．36°C．72°D．144°

4．2017·咸宁如图24－4－1，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为（　　）

图24－4－1

A．π　　　　B.π

C．2π　　　　D．3π

5．如图24－4－2所示，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，求劣弧的长．

图24－4－2

知识点2　扇形的面积公式及其应用

6．2016·宜宾半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是（　　）

A．3πB．6πC．9πD．12π

7．2017·天门一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（　　）

A．300°B．150°C．120°D．75°

8．2017·泰州扇形的半径为3cm，弧长为2πcm，则该扇形的面积为________cm2.

9．

（1）在半径为6cm的圆中，圆心角为60°的扇形的面积是________；

（2）已知扇形的半径为2cm，面积为2πcm2，则扇形的圆心角是________；

（3）若扇形的弧长为10πcm，面积为20πcm2，则扇形的半径为________．

10．2016·怀化已知扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，则该扇形的弧长等于________．

11．如图24－4－3，⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接BC，OC.

（1）求证：

∠BCD＝∠COB；

（2）若OC＝10，∠BCD＝15°，求阴影部分的面积．

　图24－4－3

12．2016·青岛如图24－4－4，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB的长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（　　）

图24－4－4

A．175πcm2B．350πcm2

C.πcm2D．150πcm2

13．2016·山西如图24－4－5，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为（　　）

图24－4－5

A.　B.　C．πD．2π

14．2016·昆明如图24－4－6，AB为⊙O的直径，AB＝6，AB垂直于弦CD，垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A＝30°，连接AD，OC，BC，则下列结论不正确的是（　　）

图24－4－6

A．EF∥CD

B．△COB是等边三角形

C．CG＝DG

D.的长为π

15．2017·舟山如图24－4－7，小明自制一块乒乓球拍，正面是半径为8cm的⊙O，＝90°，弓形ACB（阴影部分）粘贴胶皮，则胶皮面积为________．

图24－4－7

16．2016·福州如图24－4－8，正方形ABCD内接于⊙O，M为的中点，连接BM，CM.

（1）求证：

BM＝CM；

（2）当⊙O的半径为2时，求的长．

图24－4－8

17．2017·枣庄如图24－4－9，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，与AC，AB分别交于点E，F.

（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若BD＝2，BF＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．

图24－4－9

18．如图24－4－10所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF.

（1）求证：

OF∥BC；

（2）求证：

△AFO≌△CEB；

（3）若EB＝5cm，CD＝10cm，设OE＝xcm，求x的值及阴影部分的面积．

图24－4－10

教师详解详析

1.　

2．

（1）4π　

（2）180°　（3）30cm

3．D　[解析]设这段弧所对的圆心角为n°，则有π·5＝2π·2，解得n＝144.

4．C　[解析]∵∠BAD＝∠BOD＝∠BCD，∠BAD＋∠BCD＝180°，

∴∠BOD＝120°.

又∵⊙O的半径为3，

∴的长为＝2π.故选C.

5．解：

连接OB，OC.

∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥OB.

∵∠A＝30°，∴∠AOB＝90°－∠A＝60°.

∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.

∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，

∴∠BOC＝60°，

∴劣弧的长为＝2π（cm）.

6．D　[解析]S＝＝12π.

7．B　[解析]根据S扇形＝l弧长r，求得半径r＝12cm，由弧长公式l＝，得10π＝，解得n＝150.即此扇形的圆心角的度数是150°.

8．3π　[解析]根据扇形面积公式，得S＝lr＝×2π×3＝3π（cm2）．

9．

（1）6πcm2　

（2）180°　（3）4cm

10.cm　[解析]设扇形的弧长为lcm.∵扇形的半径为6cm，面积为10πcm2，∴l×6＝10π，解得l＝.

11．解：

（1）证明：

∵AB⊥CD，∴＝.

如图，连接BD，则∠BCD＝∠BDC.

∵∠COB＝2∠BDC（圆周角定理），

∴∠COB＝2∠BCD，即∠BCD＝∠COB.

（2）∵∠BCD＝15°，∴∠COB＝30°，

∴∠AOC＝150°.

又∵OC＝10，

∴S阴影＝＝π.

12．B　[解析]∵AB＝25，BD＝15，∴AD＝10，∴S贴纸＝2×（－）＝350π（cm2）．

13．C　[解析]如图，连接OE，OF.∵∠1＝∠C＝60°，OA＝OF，∴∠2＝60°.∵CD与⊙O相切，∴∠4＝90°，∴∠3＝90°，∴∠EOF＝180°－∠2－∠3＝180°－60°－90°＝30°.∵r＝12÷2＝6，∴的长＝＝＝π.

14．D　[解析]∵AB为⊙O的直径，EF切⊙O于点B，∴AB⊥EF.

又∵AB⊥CD，

∴EF∥CD，故A正确；

∵AB⊥CD，∴＝，

∴∠COB＝2∠A＝60°.

又∵OC＝OB，

∴△COB是等边三角形，故B正确；

∵AB⊥CD，

∴CG＝DG.故C正确；

的长为＝π，故D不正确．

故选D.

15．（48π＋32）cm2　[解析]连接AO，OB，作OD⊥AB于点D.因为＝90°，所以∠AOB＝90°，所以胶皮面积S＝S扇形ACB＋S△OAB＝×π×82＋×8×8＝（48π＋32）cm2.

16．解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝CD，∴＝.

∵M为的中点，∴＝，

∴＋＝＋，即＝，

∴BM＝CM.

（2）∵⊙O的半径为2，

∴⊙O的周长为4π.

∵＝＝＝，

∴＝＋＝，

∴的长＝××4π＝π.

17．解：

（1）BC与⊙O相切．

理由：

连接OD.

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠BAD＝∠CAD.

又∵OD＝OA，

∴∠OAD＝∠ODA，

∴∠CAD＝∠ODA，

∴OD∥AC，

∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.

又∵BC过半径OD的外端点D，

∴BC与⊙O相切．

（2）设OF＝OD＝x，则OB＝OF＋BF＝x＋2，

根据勾股定理，得OB2＝OD2＋BD2，即（x＋2）2＝x2＋

（2）2，

解得x＝2，即OD＝OF＝2，

∴OB＝2＋2＝4.

∵在Rt△ODB中，OD＝OB，

∴∠B＝30°，∴∠DOB＝60°，

∴S扇形DOF＝＝，

则阴影部分的面积为S△ODB－S扇形DOF＝×2×2－π＝2－π.

18．解：

（1）证明：

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

又∵OF⊥AC于点F，∴∠AFO＝90°，

∴∠ACB＝∠AFO，

∴OF∥BC.

（2）证明：

由

（1）知∠CAB＋∠ABC＝90°.

由AB⊥CD于点E，可得∠CEB＝90°，∴∠ABC＋∠BCE＝90°，∴∠CAB＝∠BCE.

又∵∠AFO＝∠CEB＝90°，OF＝BE，

∴△AFO≌△CEB.

（3）∵AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，∴∠OEC＝90°，CE＝CD＝×10＝5（cm）．

在Rt△OCE中，OE＝xcm，OB＝OC＝（5＋x）cm，

由勾股定理，得OC2＝CE2＋OE2，

即（5＋x）2＝＋x2，

解得x＝5，

∴OE＝5cm，OC＝10cm.

在Rt△OCE中，OC＝2OE，故∠OCE＝30°，

∴∠COE＝60°.

由圆的轴对称性可知阴影部分的面积

S阴影＝2（S扇形BOC－S△OCE）

＝2×

＝cm2.