平面向量与空间向量精华适合高三复习用可直接打印.docx

平面向量与空间向量精华适合高三复习用可直接打印.docx

《平面向量与空间向量精华适合高三复习用可直接打印.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面向量与空间向量精华适合高三复习用可直接打印.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

平面向量与空间向量精华适合高三复习用可直接打印

平面向量与空间向量

[例1]和=（3,－4）平行的单位向量是_________；

错解：

因为的模等于5，所以与平行的单位向量就是，即

（，－）

错因：

在求解平行向量时没有考虑到方向相反的情况。

正解：

因为的模等于5，所以与平行的单位向量是，即

（，－）或（－，）

[例2]已知A（2，1），B（3，2），C（-1，4），若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。

错解：

设D的坐标为（x，y），则有x-2=-1-3，y-1=4-2，即x=-2，y=3。

故所求D的坐标为（-2，3）。

错因：

思维定势。

习惯上，我们认为平行四边形的四个顶点是按照ABCD的顺序。

其实，在这个题目中，根本就没有指出四边形ABCD。

因此，还需要分类讨论。

正解：

设D的坐标为（x，y）

当四边形为平行四边形ABCD时，有x-2=-1-3，y-1=4-2，即x=-2，y=3。

解得D的坐标为（-2，3）；

当四边形为平行四边形ADBC时，有x-2=3-（-1），y-1=2-4，即x=6，y=-1。

解得D的坐标为（6，-1）；

当四边形为平行四边形ABDC时，有x-3=-1-2，y-2=4-1，即x=0，y=5。

解得D的坐标为（0，5）。

故第四个顶点D的坐标为（-2，3）或（6，-1）或（0，5）。

[例3]已知P1（3,2），P2（8，3），若点P在直线P1P2上，且满足|P1P|=2|PP2|，求点P的坐标。

错解：

由|P1P|=2|PP2|得，点P分P1P2所成的比为2，代入定比分点坐标公式得P（）

错因：

对于|P1P|=2|PP2|这个等式，它所包含的不仅是点P为P1，P2的内分点这一种情况，还有点P是P1，P2的外分点。

故须分情况讨论。

正解：

当点P为P1，P2的内分点时，P分P1P2所成的比为2，此时解得

P（）；

当点P为P1，P2的外分点时，P分P1P2所成的比为-2，此时解得P（13，4）。

则所求点P的坐标为（）或（13，4）。

点评：

在运用定比分点坐标公式时，要审清题意，注意内外分点的情况。

也就是分类讨论的数学思想。

[例4]设向量，，，则“”是“”的

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件   D.既不充分也不必要条件

分析：

根据向量的坐标运算和充要条件的意义进行演算即可．

解：

若，∵，则，代入坐标得：

，即且．消去，得；

反之，若，则且，即

 则，∴

 故“”是“”的充要条件．

答案：

C

点评：

本题意在巩固向量平行的坐标表示．

[例5]．已知=（1，-1），=（-1，3），=（3，5），求实数x、y，使=x+y．

分析：

根据向量坐标运算和待定系数法，用方程思想求解即可．

解：

由题意有

    x+y=x（1，-1）+y（-1，3）=（x-y，-x+3y）．

    又=（3，5）

    ∴x-y=3且-x+3y=5

    解之得x=7且y=4

点评：

在向量的坐标运算中经常要用到解方程的方法．

[例6]已知A（-1，2），B（2，8），=，=-，求点C、D和向量的坐标．

分析：

待定系数法设定点C、D的坐标，再根据向量，和关系进行坐标运算，用方程思想解之．

 解：

设C、D的坐标为、，由题意得

 =（），=（3，6）， =（），=（-3，-6）

 又=，=-

 ∴（）=（3，6），（）=-（-3，-6）

 即（）=（1,2），（）=（1,2）

 ∴且，且

 ∴且，且

 ∴点C、D和向量的坐标分别为（0，4）、（-2，0）和（-2，-4）

小结：

本题涉及到方程思想，对学生运算能力要求较高．

[例1]在ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为（　　）

A．　　　B．　　C．　　　D．或

错解：

选A

错因：

公式记不牢，误将余弦定理中的“减”记作“加”。

正解：

∵a2＝b2＋bc＋c2＝b2＋c2－2bc（－）＝b2＋c2－2bc·cos

∴∠A＝

选　C.

[例2]在△ABC中，已知，试判别其形状。

错解：

等腰三角形。

错因：

忽视了两角互补，正弦值也相等的情形。

直接由得，，即，则。

接着下结论，所求三角形为等腰三角形

正解：

由得，，即

则或，故三角形为直角三角形或等腰三角形。

[例3]在中，试求周长的最大值。

并判断此时三角形的形状。

错解：

由于题目中出现了角和对边，故使用余弦定理，进一步想使用不等式或二次函数求最值

错因：

其实这种思路从表面上看是可行的，实际上处理过程中回遇到无法进行下去的困难。

正解：

由正弦定理,得a=2（）sinA,b=2（）sinB.

a+b=2（）（sinA+sinB）=4（）sincos

sin=sin75o=

a+b=（）2cos≤（）2=8+4.

当a=b时,三角形周长最大,最大值为8+4+.此时三角形为等腰三角形

[例4]在中，，其内切圆面积为，求面积。

分析：

题中涉及到内切圆，而内切圆直接与正弦定理联系起来了，同时正弦定理和余弦定理又由边联系起来了。

解：

由已知,得内切圆半径为2.由余弦定理,得三角形三边分别为16,10,14.

[例5]已知定点A（2,1）与定直线:

3x-y+5=0,点B在上移动,点M在线段AB上,且分AB的比为2,求点M的轨迹方程.

分析:

向量的坐标为用“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁,形成了代数与几何联系的新纽带.

解:

设B（x0,y0）,M（x,y）

∴=（x-2,y-1）,=（x0-x,y0-y）,由题知=2

∴

由于3x0-y0+5=0,∴3×-+5=0

化简得M的轨迹方程为9x-3y+5=0

[例6]过抛物线:

y2=2px（p>0）顶点O作两条互相垂直的弦OA、OB（如图）,求证:

直线AB过一定点,并求出这一定点.

分析:

对于向量a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,有a//bx1y2-x2y1=0.可以用来处理解析几何中的三点共线与两直线平行问题.

证明:

由题意知可设A点坐标为（,t1）,B点坐标为（,t2）∴=（,t1）,=（,t2）,

∵OA⊥OB,∴•=0•+t1•t2=0

t1•t2=-4p2①

设直线AB过点M（a,b）,则=（a-,b-t2）,=（-,t1-t2）,

由于向量与是共线向量,∴（a-）（t1-t2）=（b-t2）（-）

化简得2p（a-2p）=b（t1+t2）

显然当a=2p,b=0时等式对任意的成立

∴直线AB过定点,且定点坐标为M（2p,0）

三、经典例题

　[例1]下列所表示的空间直角坐标系的直观图中，不正确的是（　　）

　　ABCD

错解：

B、C、D中任选一个

错因：

对于空间直角坐标系的表示不清楚。

有共同的原点，且两两垂直的三条数轴，只要符合右手系的规定，就可以作为空间直角坐标系．

正解：

易知（C）不符合右手系的规定，应选（C）．

　[例2]已知点A（－3，－1，1），点B（－2，2，3），在Ox、Oy、Oz轴上分别取点L、M、N，使它们与A、B两点等距离．

错因：

对于坐标轴上点的坐标特征不明；使用方程解题的思想意识不够。

分析：

设Ox轴上的点L的坐标为（x，0，0），由题意可得关于x的一元方程，从而解得x的值．类似可求得点M、N的坐标．

解：

设L、M、N的坐标分别为（x，0，0）、（0，y，0）、（0，0，z）．

　　由题意，得

　　（x＋3）2＋1＋1＝（x＋2）2＋4＋9，

　　9＋（y＋1）2＋1＝4＋（y－2）2＋9，

　　9＋1＋（z－1）2＝4＋4＋（z－3）2．

分别解得，

故

评注：

空间两点的距离公式是平面内两点的距离公式的推广：

若点P、Q的坐标分别为（x1，y1，z1）、（x2，y2，z2），则P、Q的距离为

必须熟练掌握这个公式．

[例3]设，，且，记，求与轴正方向的夹角的余弦值

错解：

取轴上的任一向量，设所求夹角为，

∵

∴，

即余弦值为

错因：

审题不清。

没有看清“轴正方向”，并不是轴

正解：

取轴正方向的任一向量，设所求夹角为，

∵

∴，即为所求

[例5]已知空间三点A（0,2,3）,B（－2,1,6）,C（1,－1,5），

⑴求以向量为一组邻边的平行四边形的面积S；

⑵若向量分别与向量垂直，且||＝，求向量的坐标

分析：

⑴

∴∠BAC＝60°，

⑵设＝（x,y,z），则

解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，∴＝（1,1,1）或＝（－1，－1，－1）.

[例6]已知正方体的棱长为，是的中点，是对角线的中点，

求异面直线和的距离