高三联考数学文.docx

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高三联考数学文

2019-2020年高三9月联考（数学文）

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

2．请将第I卷选择题的答案填涂在答题区内，第Ⅱ卷将各题答在答题卷指定位置。

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球的表面积公式

P（A+B）=P（A）+P（B）

如果事件A、B相互独立，那么其中R表示球的半径

P（A·B）=P（A）·P（B）球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是

P，那么n次独立重复试验中恰好发生k其中R表示球的半径

次的概率

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）

1．已知集合，则S∩T等于（）

A．SB．TC．D．

2．的展开式中的系数是（）

A．18B．14C．10D．6

3．若，则的值为（）

A．1B．-1C．D．

4．已知是不同的两个平面，直线，直线，命题与没有公共点；命题，则的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分的条件

C．充要条件D．既不充分也不必要的条件

5．若向量与向量满足，且的夹角是（）

A．30°B．45°C．90°D．135°

6．已知数列的前项和为，且是与1的等差中项，则等于（）

A．B．C．D．

7．在的切线中，斜率最小的切线方程为（）

A．B．C．D．

8．先后两次抛掷一枚骰子，所得点数中，两个数中至少有一个奇数的概率为（）

A．B．C．D．

9．已知正方体外接球的体积是，则正方体的棱长是（）

A．B．

C．D．

10．椭圆的离心率，以右焦点为中心将椭圆逆时针旋转后所得到椭圆的一条准线为，则椭圆C的方程为（）

A．B．C．D．

11．函数的图象恒过点A，若点A在直线上，其中，则的最小值为（）

A．16B．8C．4D．2

12．已知曲线与函数的图象分别交于等于（）

A．16B．8C．4D．2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案答在指定的位置上）

13．函数的定义域是。

14．某校高一、高二、高三三个年级的学业生数分别为1500人、1200和1000人，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查了人。

15．由1，2，3，4，5组成的无重复数字的三位数中，既含有奇数字又含偶数字的有个。

（用数字作答）

16．设F为抛物线的焦点，A、B为该抛物线上的两点，若，则。

三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

已知锐角中，角A、B、C的对边分别为，且

（1）求；

（2）求的值。

18．（本小题满分12分）

某工厂组织工人参加上岗测试，每位测试者最多有三次机会，一旦某次测试通过，便可上岗工作，不再参加以后的测试；否则就一直测试到第三次为止。

设每位工人每次测试通过的概率依次为

（1）若有3位工人参加这次测试，求至少有一人不能上岗的概率；

（2）若有4位工人参加这次测试，求至多有2人通过测试的概率。

（结果均用分数表示）

19．（本小题满分12分）

如图，直三棱柱A1B1C1—ABC中，，D、E分别为棱=B1C1的中点。

（1）求A1B与平面A1C1CA所成角的大小；

（2）求二面角B—A1D—A的大小；

（3）在线段AC上是否存在一点F，使得平面A1BD？

若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由。

20．（本小题满分12分）

已知等差数列为递增数列，且是方程的两根，数列的前项和；

（1）分别写出数列和的通项公式；

（2）记，求证：

数列为递减数列。

21．（本小题满分12分）

已知函数的图象经过原点，曲线在原点处的切线到直线的角为135°。

]

（1）求的解析式；

（2）若对于任意实数，不等式恒成立，求的最小值。

22．（本小题满分12分）

已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，右准线为，一条渐近线的方程是，过双曲线C的右焦点F2的一条弦交双曲线右支于P、Q两点，R是PQ的中点。

（1）求双曲线C的方程；

（2）若A、B分别是双曲C的两条渐近线上的动点，且，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明该轨迹是什么曲线；

（3）若在的左侧能作出直线，使点R在直线上的射影S满足，当点P在曲线C上运动时，求取值范围。

参考答案

一、选择题

1—5ACABB6—10ADDCD11—12BC

二、填空题

13．

14．185

15．54

16．6

三、解答题：

17．解：

（1）因为…………2分

而，

可得…………4分

因为B为锐角，所以B=60°…………5分

（2）

……6分

……8分

…………10分

18．解：

（1）每位工人通过测试的概率为……2分

每位工人不能通过测试的概率为…………4分

3位工人中至少有一人不能上岗的概率为……6分

（2）4位工人中至多有2人通过测试的概率为

……12分

法二：

19．解：

（1）为直三棱柱，

底面ABC，

，平面A1C1CA…………2分

为A1B与平面A1C1CA所成角，

与平面A1C1CA所成角为…………4分

（2）分别延长AC，A1D交于G，过C作于M，连结BM

平面ACC1A1

CM为BM在平面A1C1CA的内射影

为二面角B—A1D—A的平面角……6分

平面A1C1CA中，C1C=CA=2，D为C1C的中点

在直角三角形CDG中

即二面角B—A1D—A的大小为…………8分

（3）在线段AC上存在一点F，使得平面A1BD，

其位置为AC中点…………9分

证明如下：

为直三棱柱，

由

（1）平面A1C1CA

平面A1C1CA

在平面A1C1CA内的射影为C1F，F为AC中点

…………11分

同理可证EFBD，平面A1BD

为定点，平面A1BD为定平面，点F唯一。

…………12分

解法二：

（1）同解法一…………4分

（2）A1B1C1—ABC为直三棱柱，C1CB=CA=2，ACCB

D、E分虽为C1C、B1C1的中点，

建立如图所示的坐标系得

C（0，0，0）B（2，0，0，）A（0，2，0）

C1=（0，0，2）B1（2，0，2）A1（0，2，2）

D（0，0，1）E（1，0，2）

…………6分

设平面A1BD的法向量为

即

得…………7分

平面ACC1A1的法向量为

即二面角B—A1D—A的大小为…………8分

（3）在线段AC上存在一点F，

设使得EF平面A1BD……9分

欲使EF平面A1BD，由

（2）知，当且仅…………10分

，…………11分

存在唯一一点F（0，1，0）满足条件，即点F为AC中点…………12分

20．解：

（Ⅰ）由题意得

公差…………2分

所以…………4分

由

…………6分

得

所以…………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

数列为递减数列…………12分

21．解：

（Ⅰ）由题意得…………1分

由①…………2分

在原点处的切线的斜率，又由曲线在原点处的切线到直线

的角为135°，所以②…………4分

联立①②解得

故…………6分

（Ⅱ）由于

恒成立……8分

故只需求出在[-2，2]上的最值

而，

由

列表如下：

-2

（-2，-1）

-1

（-1，1）

1

（1，2）

2

+

-

+

-2

2

-2

2

的最小值为4…………12分

22．解：

（Ⅰ）设双曲线C的方程为

则它的右准线方程为，即

由已知得，所以所求双曲线C的方程是……4分

（2）设

则

因为双曲线C的近线方程为

所以

故

又，所以

即

即

即

所以点M的轨迹是中心在原点，焦点在轴上，长轴为6，短轴长为2的椭圆……8分

（3）因为点R在直线射影S满足

所以，即是直角三角形

所以到R到直线的距离为

即……6①

又

所以…………②

将②代入①，得

又P、Q是过右焦点F2的一条弦，且P、Q均在双曲线C的右支上，R是弦PQ的中点，

所以

故所求的取值范围是…………12分