最新人教版八年级数学初二上册第十三章轴对称教学案.docx

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最新人教版八年级数学初二上册第十三章轴对称教学案

第十三章　轴对称

13．1　轴对称

13．1.1　轴对称

1．理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念，了解轴对称及轴对称图形的的性质．

2．能识别简单的轴对称图形及其对称轴．

重点：

轴对称与轴对称图形的概念．

难点：

轴对称与轴对称图形的性质．

一、自学指导

自学1：

自学课本P58－59页“思考1及思考2”，了解轴对称图形、轴对称的概念，以及它们之间的区别和联系，完成下列填空．（5分钟）

总结归纳：

（1）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．

（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

自学2：

自学课本P59页“思考3”，了解轴对称及轴对称图形的的性质．（5分钟）

如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点．

（1）设AA′交对称轴于点P，将△ABC或△A′B′C′沿MN折叠后，点A与点A′重合，则有△ABC≌△A′B′C′，PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90度．

（2）MN与线段AA′的关系为MN垂直平分线段AA′．

总结归纳：

（1）经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

（2）成轴对称的两个图形是全等形．

（3）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

（4）轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（5分钟）

1．如图所示的图案中，是轴对称图形的有A，B，C，D．

2．下列图形中，不是轴对称图形的是（D）

A．角　　　　　B．等边三角形

C．线段D．直角梯形

3．下图中哪两个图形放在一起成轴对称B与F，C与D．

4．轴对称与轴对称图形有什么区别与联系？

答：

区别为轴对称是指两个图形沿对称轴折叠后重合，而轴对称图形是指一个图形的两部分沿对称轴折叠后能完全重合；联系是都有对称轴、对称点和两部分完全重合的特性．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　下列图形是轴对称图形吗？

如果是，指出轴对称图形的对称轴．

①等边三角形；②正方形；③圆；④平行四边形．

解：

①等边三角形的对称轴为三条中线所在的直线；②正方形的对称轴为两条对角线所在的直线和两组对边中点所在的直线；③圆的对称轴为过圆心的直线．

点拨精讲：

对称轴是一条直线．

探究2　如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，若AB＝2cm，∠C＝80°，则AE＝2_cm，∠D＝80°．

点拨精讲：

根据成轴对称的两个图形全等，再根据全等的性质得到对应线段相等，对应角相等．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（5分钟）

1．指出下列哪组图形是轴对称，并指出对称轴．

①任意两个半径相等的圆；②正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形；③长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形．

解：

①两圆心所在的直线和连接两圆心的线段的垂直平分线；②正方形两条对角线所在的直线；③不是轴对称关系．

点拨精讲：

是不是轴对称看是否能沿某条直线折叠后重合．

2．下列两个图形是轴对称关系的有A，B，C.

3．如图，在网格中，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在旁边的网格中设计出一个轴对称图案．（不得与原图案相同，黑、白方块的个数要相同）

（3分钟）1.可用折叠法判断是否为轴对称图形．

2．多角度、多方法思考对称轴的条数．

3．对称轴是一条直线，一条垂直于对应点连线的直线．

4．轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

13.1.2　线段的垂直平分线的性质

（1）

1．理解线段垂直平分线的性质和判定，并会运用此性质解决问题．

2．会用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线．

重、难点：

线段垂直平分线的性质和判定定理的理解与运用．

一、自学指导

自学1：

自学课本P61页“探究”，理解线段垂直平分线的性质与判定定理，完成下列填空．（5分钟）

1．如图，l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，则△PAC≌△PBC，PA＝PB.

2．如图，PA＝PB，若PC⊥AB，垂足为C，则AC＝BC；若AC＝BC，则PC⊥AB．

总结归纳：

（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

（2）与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

（3）线段的垂直平分线是到线段两个端点的距离相等的点的集合．

自学2：

自学课本P62页“例1”，掌握经过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法．（5分钟）

如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你在图中确定学校的位置．

解：

①连接AB，AC，BC；

②分别作AC，BC的垂直平分线交于点P，则点P就是所要确定的学校的位置．

点拨精讲：

此题主要运用了作线段垂直平分线解决问题的方法．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（5分钟）

1．课本P62页练习题1，2.

2．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是（C）

A．MA＝MB，NA＝NB

B．MA＝MB，MN⊥AB

C．MA＝NA，MB＝NB

D．MA＝MB，MN平分AB

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　如图，AB＝AC＝8cm，AB的垂直平分线交AC于D，若△ADB的周长为18，求DC的长．

解：

∵DM是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，设CD的长为x，则AD＝AC－CD＝8－x，∵C△ADB＝AB＋AD＋BD＝8＋（8－x）＋（8－x）＝18，∴x＝3，即CD的长为3cm.

点拨精讲：

由线段垂直平分线的性质得AD＝BD进而求解．

探究2　如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DC⊥AC于C，求证：

直线AD是CE的垂直平分线．

证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝CD，∴点D在CE的垂直平分线上．在Rt△AED与Rt△ACD中，∵AD＝AD，DE＝DC，∴Rt△AED≌Rt△ACD（HL），∴AE＝AC，∴点A在CE的垂直平分线上，∴直线AD是CE的垂直平分线．

点拨精讲：

证线段垂直平分线的方法1即定义，证垂直平分线的方法2即线段垂直平分线的判定方法．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（5分钟）

1．如图，在△ABC中，EF是AC的垂直平分线，AF＝12，BF＝3，则BC＝15.

2．如图，直线AD是线段BC的垂直平分线．求证：

∠ABD＝∠ACD.

证明：

∵直线AD是线段BC的垂直平分线，∴AB＝AC，DB＝DC.在△ABD与△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ABD＝∠ACD.

3．在锐角△ABC内一点P满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC（D）

A．三条角平分线的交点

B．三条中线的交点

C．三条高的交点

D．三边垂直平分线的交点

（3分钟）线段的垂直平分线的性质和判定有时是交叉使用，线段垂直平分线的性质是证明线段相等的常用定理．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

13．1.2　线段的垂直平分线的性质

（2）

会画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．

重、难点：

会画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．

一、自学指导

自学1：

自学课本P62－63页“思考及例2”，掌握轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的作法，完成下列填空．（7分钟）

如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？

点拨精讲：

作线段垂直平分线是根据线段垂直平分线的判定，而作对称轴是根据轴对称的性质作对称轴．

总结归纳：

（1）如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

（2）对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（8分钟）

1．课本P64页练习题1，2，3.

2．下列图形是不是轴对称图形？

如果是轴对称图形的，画出对称轴的条数．

解：

（略）

3．角、线段、直线、圆、扇形、正方形、等边三角形、直角三角形、等腰梯形和长方形中是轴对称图形的有哪些？

分别有几条对称轴？

解：

轴对称图形有：

角、线段、直线、圆、扇形、正方形、等边三角形、等腰梯形和长方形；角、扇形、等腰梯形只有1条对称轴，直线、圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形、线段有2条对称轴．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（6分钟）

探究1　正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴，正七边形有7条对称轴（分别画出图形的对称轴）……正n边形有n条对称轴．

探究2　如图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为810076．

学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．（9分钟）

1．课本P64－65页复习巩固题1，2，3，7，8.

2．下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（A）

3．如图，把一圆形纸片对折后，然后沿虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（B）

4．画出下列图形的对称轴．

（3分钟）1.作对称轴的步骤：

先找出任意一对对应点，再作出对应点所连线段的垂直平分线．

2．对称轴是一条直线；一个图形可能没有对称轴，也可能有很多条，不要多画，也不要漏画．

（学生总结本堂课的收获与困惑）（2分钟）

（10分钟）

13.2　画轴对称图形

（1）

了解轴对称变换的意义，能够按要求作出简单平面图形经过一次轴对称变换后的图形．

重、难点：

借助轴对称的意义，画出一个图形关于某一条直线对称的图形．

一、自学指导

自学：

自学课本P67－68页“归纳、思考与例1”，会作已知图形关于某条直线对称的图形，能利用轴对称的一些性质设计图案，完成下列填空．（5分钟）

如图，观察下面作线段AB关于直线l对称图形的过程并填空：

总结归纳：

几何图形都可以看作由点组成，对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．

二、自学检测：

学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．（7分钟）

1．课本P68页练习题1，2.

2．如图，以虚线为对称轴，画出图形的另一半，并说明完成后图形可能代表什么含义．

小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．（10分钟）

探究1　如图，已知△ABC，直线MN，求作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于直线MN对称．

解：

如图，①过点A作AD⊥MN于D，延长AD至点A′，使A′D＝AD，得点A关于直线MN的对称点A′；

②同样作出点B，C关于直线MN的对称点B′，C′；

③连接A′B′，B′C′，A′C′，则△A′B′C′就是所求作的三角形．

点拨精讲：

首先作出点A，B，C关于直线MN的对称点A′，B′，C′，使直线MN为线段AA′，BB′，CC′的垂直平