中考数学常考易错点 31 平面直角坐标系及函数的图象.docx

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中考数学常考易错点31平面直角坐标系及函数的图象

2019-2020年中考数学常考易错点3.1平面直角坐标系及函数的图象

易错清单

1.能确定较复杂函数的自变量取值范围吗?

【例1】　（2014·山东济宁）函数

中的自变量x的取值范围是（　　）.

A.x≥0B.x≠-1

C.x>0D.x≥0且x≠-1

【解析】　根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出x的范围.

【答案】　根据题意,得x≥0且x+1≠0,

解得x≥0.

故选A.

【误区纠错】　本题考查了自变量的取值范围,函数自变量的范围一般从三个方面考虑:

当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.

2.能利用直角坐标系探讨点的坐标的变化规律.

【例2】　（2014·山东泰安）如图,在平面直角坐标系中,将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置,点B,O分别落在点B1,C1处,点B1在x轴上,再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置,点C2在x轴上,将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置,点A2在x轴上,依次进行下去….若点

B（0,4）,则点B2014的横坐标为　　　　. 

【解析】　首先利用勾股定理得出AB的长,进而得出三角形的周长,进而求出B2,B4的横坐标,进而得出变化规律,即可得出答案.

【答案】　∵

BO=4,

故答案为10070.

【误区纠错】　此题主要考查了点的坐标以及图形变化类,根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键.由特殊总结一般性.

3.借助函数图象描述问题中两个变量之间的关系.

【例3】　（2014·山东烟台）如图,点P是ABCD边上一动点,沿A→D→C→B的路径移动,设P点经过的路径长为x,△BAP的面积是y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（　　）.

【解析】　分三段来考虑点P沿A→D运动,△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动,△BAP的面积不变;点P沿C→B的路径移动,△BAP的面积逐渐减小,据此选择即可.

【答案】　点P沿A→D运动,△BAP的面积逐渐变大;点P沿D→C移动,△BAP的面积不变;点P沿C→B的路径移动,△BAP的面积逐渐减小.故选A.

【误区纠错】　本题主要考查了动点问题的函数图象.注意分段考虑.

名师点拨

1.会画出直角坐标系,能标识点在平面直角坐标系的位置.

2.能根据点的坐标的正、负性确定点的对称性及所在象限.

3.理解函数的意义,会解释并区分常量与变量,能列简单的函数关系,会进行描点法画函数的图象.

4.能列举函数的三种表示方法.

5.会求出函数中自变量的取值范围,如保证分母不为零,使二次根式有意义等.

6.能利用代入法求函数的值.

7.能利用函数变化规律进行准确猜想、判断.

提分策略

1.函数的概念及函数自变量的取值范围.

函数自变量的取值范围一般从三个方面考虑:

（1）当函数关系式是整式时,自变量可取全体实数;

（2）当函数关系式是分式时,考虑分式的分母不能为0;

（3）当函数关系式是二次根式时,被开方数为非负数.此题就是第三种情形,考虑被开方数必须大于等于0.

【解析】　根据二次根式的意义,被开方数不能为负数,据此求解.

【答案】　C

2.函数解析式的求法.

具体地说求函数的解析式和列一元一次方程解实际问题基本相似,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示所求问题含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式.

【例2】　某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务,有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱.供应这种纸箱有两种方案可供选择:

方案一:

从纸箱厂定制购买,每个纸箱价格为4元;

方案二:

由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱,机器租赁费按生产纸箱数收取.工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元,每加工一个纸箱还需成本费2.4元.

（1）若需要这种规格的纸箱x个,请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）关于x（个）的函数关系式;

（2）假设你是决策者,你认为应该选择哪种方案?

并说明理由.

【答案】　

（1）从纸箱厂定制购买纸箱费用y1=4x.

蔬菜加工厂自己加工纸箱费用y2=2.4x+16000.

（2）y2-y1=（2.4x+16000）-4x=16000-1.6x,

由y1=y2,得16000-1.6x=0,

解得x=10000.

∴　当x<10000时,y1

选择方案一,从纸箱厂定制购买纸箱所需的费用低.

∴　当x>10000时,y1>y2.

选择方案二,蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低.

∴　当x=10000时,y1=y2.

两种方案都可以,两种方案所需的费用相同.

3.坐标系中的图形的平移与旋转.

求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标,一般要把握三点:

一是根据图形变换的性质,二是利用图形的全等关系;三是确定变换前后点所在的象限.

【例3】　在平面直角坐标系中,规定把一个三角形先沿着x轴翻折,再向右平移2个单位长度称为1次变换.如图,已知等边三角形ABC的顶点B,C的坐标分别是（-1,-1）,（-3,-1）,把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A'B'C',则点A的对应点A'的坐标是　　　　. 

4.运用函数的图象特征解决问题.

（1）由函数图象的定义可知图象上任意一点P（x,y）中的坐标值x,y是解析式方程的一个解,反之,以解析式方程的任意一解为坐标的点一定在函数的图形上.

（2）注意方程与函数的结合,抓住“方程（方程的解）——点的坐标——函数图象与性质”这个网,结合数学知识,用数形结合法来解题.

【例4】　小刚上午7:

30从家里出发步行上学,途经少年宫时走了1200步,用时10分钟,到达学校的时间是7:

55.为了估测路程等有关数据,小刚特意在学校的田径跑道上,按上学的步行速度,走完100米用了150步.

（1）小刚上学步行的平均速度是多少米/分?

小刚家和少年宫之间、少年宫和学校之间的路程分别是多少米?

（2）下午4:

00,小刚从学校出发,以45米/分的速度行走,按上学时的原路回家,在未到少年宫300米处与同伴玩了半小时后,赶紧以110米/分的速度回家,中途没有再停留.问:

①小刚到家的时间是下午几时?

②小刚回家过程中,离家的路程s（米）与时间t（分）之间的函数关系如图,请写出点B的坐标,并求出线段CD所在直线的函数解析式.

②小刚从学校出发,以45米/分的速度行走到离少年宫300米处时实际走了900米,用时

分,此时小刚离家1100米,所以点B的坐标是（20,1100）.

点C的坐标是（50,1100）,点D的坐标是（60,0）,

设线段CD所在直线的函数解析式是s=kt+b,将点C,D的坐标代入,得

所以线段CD所在直线的函数解析式是s=-110t+6600.

5.分段函数的应用

自变量在不同的范围内取值时,函数y和x有不同的对应关系,这种函数称为分段函数,解决分段函数的有关问题时,关键是弄清自变量的取值范围,选择适合的解析式解决问题.

【例5】　如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,动点P从点B出发,沿路线B→C→D作匀速运动,那么△ABP的面积S与点P运动的路程x之间的函数图象大致是（　　）.

【答案】　B

专项训练

一、选择题

1.（2014·四川中江县一模）已知点A（a,1）与点A'（-5,b）是关于原点O的对称点,则a+b的值为（　　）.

A.1B.5

C.6D.4

2.（2014·深圳模拟）已知点A（a+2,a-1）在平面直角坐标系的第四象限内,则α的取值范围为（　　）.

A.-2

C.-1

3.（2014·宁夏银川外国语学校模拟）已知点P（a+1,2a-3）关于x轴的对称点在第一象限,则a的取值范围是（　　）.

4.（2014·内蒙古赤峰模拟）小芳的爷爷每天坚持体育锻炼,某天他慢步行走到离家较远的公园,打了一会儿太极拳,然后沿原路跑步回到家里.下面能够反映当天小芳爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系的大致图象是（　　）.

5.（2013·广东佛山模拟）在直角坐标系xOy中,点P（4,y）在第四象限内,且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2,则y的值是（　　）.

A.2B.8

C.-2D.-8

6.（2013·湖北宜昌调研）在正方形ABCD中,点P从点C出发沿着正方形的边依次经过点D,A向终点B运动,运动的路程为x（cm）,△PBC的面积为y（cm2）,y随x变化的图象可能是（　　）.

7.（2013·河南南阳模拟）如图,在平面直角坐标系中,在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA,OB,使OA=OB;再分别以点A,B为圆心,以大于AB长为半径作弧,两弧交于点C.若点C的坐标为（m-1,2n）,则m与n的关系为（　　）.

（第7题）

A.m+2n=1B.m-2n=1

C.2n-m=1D.n-2m=1

二、填空题

8.（2014·广西玉林模拟）在平面直角坐标系中,点（0,2）到x轴的距离是　　　　. 

9.（2014·甘肃天水模拟）函数

中,自变量x的取值范围　　　 

10.（2014·四川达州模拟）如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上,向右,向下,向右的方向不断地移动,每移动一个单位,得到点A1（0,1）,A2（1,1）,A3（1,0）,A4（2,0）,…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为　　　　（用n表示）. 

（第10题）

11.（2013·北京房山区一模）如图,在平面直角坐标系中,以原点O为圆心的同心圆半径由内向外依次为1,2,3,4,…,同心圆与直线y=x和y=-x分别交于A1,A2,A3,A4,…,则点A31的坐标是　　　　. 

（第11题）

三、解答题

12.（2014·四川峨眉山二模）如图所示,在平面直角坐标系中,每个小方格的边长是1,把△ABC先向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到△A'B'C'.在坐标系中画出△A'B'C',并写出△A'B'C'各顶点的坐标.

（第12题）

13.（2013·辽宁葫芦岛一模）如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,△AOB的三个顶点均在格点上,点A,B的坐标分别为（3,2）,（1,3）.△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1.

（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为　　　　; 

（2）点A1的坐标为　　　　; 

（3）在旋转过程中,点B经过的路径为

的长为　　　　. 

（第13题）

参考答案与解析

1.D　[解析]a=5,b=-1.

2.A　[解析]由a+2>0,a-1<0,得-2

4.C　[解析]先慢步行走,再打了一会儿太极拳,最后原路跑步回到家里.只有C图能反映爷爷离家的距离y（米）与时间x（分钟）之间的函数关系

6.A　[解析]利用图象可以发现△PBC的面积,从增大到不变,再到不断减小,结合图象可选出答案.

7.B　[解析]根据题意可知OC为∠AOB的平分线,点C的坐标为（m-1,2n）且在第一象限,点C到x轴、y轴距离为m-1,2n,根据角平分线上的点到角两边距离相等,可知m-1=2n,所以m-2n=1.

8.2　[解析]点p（a,b）到x轴的距离是|b|,到y轴的距离是|a|.

9.x≥0且x≠1　[解析]根据被开方数具有非负性且分母不等于零,得x≥0且x≠1.

10.（2n,1）　[解析]A4（2,0）,A8（4,0）,A12（6,0）,

∴　A4n（2n,0）.

11.

　[解析]根据31÷4=7……3,得出A31在直线y=x上,在第三象限,且在第8个圆上,求出OA31=8,通过解直角三角形即可求出答案.

12.图略;各顶点坐标为A'（2,2）,B'（3,-2）,C'（0,-6）.

2019-2020年中考数学常考易错点3.2一次函数

易错清单

1.一次函数y=kx+b的图象的位置与k,b的符号之间的关系.

【例1】　（2014·湖南娄底）一次函数y=kx-k（k<0）的图象大致是（　　）.

【解析】　首先根据k的取值范围,进而确定-k>0,然后再确定图象所在象限即可.

【答案】　∵　k<0,

∴　-k>0.

∴　一次函数y=kx-k的图象经过第一、二、四象限.

故选A.

【误区纠错】　此题主要考查了一次函数图象,直线y=kx+b,可以看做由直线y=kx平移|b|个单位而得到.当b>0时,向上平移;b<0时,向下平移.

2.讨论一次函数性质时漏解.

【例2】　（2014·四川自贡）一次函数y=kx+b,当1≤x≤4时,3≤y≤6,则

的值是　　　　. 

【解析】　由于k的符号不能确定,故应分k>0和k<0两种进行解答.

【误区纠错】　本题考查的是一次函数的性质,在解答此题时要注意分类讨论,不要漏解.

　　3.一次函数与不等式的关系.

【例3】　（2014·湖北孝感）如图,直线y=-x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为-2,则关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为（　　）.

A.-1B.-5

C.-4D.-3

【解析】　满足不等式-x+m>nx+4n>0就是直线y=-x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象,据此求得自变量的取值范围即可.

【答案】　∵　直线y=-x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为-2,

∴　关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的解集为-4

∴　关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的整数解为-3.故选D.

【误区纠错】　本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系,错解误认为是关于x的不等式-x+m>nx+4n>0的解集为x>-2.

4.一次函数的实际应用.

【例4】　（2014·山东德州）目前节能灯在城市已基本普及,今年山东省面向县级及农村地区推广,为响应号召,某商场计划购进甲,乙两种节能灯共1200只,这两种节能灯的进价、售价如下表:

进价（元/只）

售价（元/只）

甲型

25

30

乙型

45

60

（1）如何进货,进货款恰好为46000元?

（2）如何进货,商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,此时利润为多少元?

【解析】　

（1）设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯（1200-x）只,根据两种节能灯的总价为46000元建立方程求出其解即可;

（2）设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯（1200-a）只,商场的获利为y元,由销售问题的数量关系建立y与a的解析式就可以求出结论.

【答案】　

（1）设商场购进甲型节能灯x只,则购进乙型节能灯（1200-x）只,由题意,得

25x+45（1200-x）=46000,解得x=400.

∴　购进乙型节能灯1200-400=800只.

故购进甲型节能灯400只,购进乙型节能灯800只进货款恰好为46000元.

（2）设商场购进甲型节能灯a只,则购进乙型节能灯（1200-a）只,商场的获利为y元,由题意,得

y=（30-25）a+（60-45）（1200-a）,

y=-10a+18000.

∵　商场销售完节能灯时获利最多且不超过进货价的30%,

∴　-10a+18000≤[25a+45（1200-a）]×30%.

∴　a≥450.

∵　y=-10a+18000,

∴　k=-10<0.

∴　y随a的增大而减小.

∴　a=450时,y最大=13500元.

∴　商场购进甲型节能灯450只,购进乙型节能灯750只时的最大利润为13500元.

【误区纠错】　本题考查了单价×数量=总价的运用,列了一元一次方程解实际问题的运用,一次函数的解析式的运用,解答时求出求出一次函数的解析式是关键.

名师点拨

1.掌握一次函数的定义,能利用定义进行判断.

2.正确画出一次函数的图象,并利用图象说出它的变化特点,能利用图象求函数的近似解.

3.会求一次函数解析式.

4.会用函数思想解决实际问题.

提分策略

1.一次函数图象的平移.

直线y=kx+b（k≠0）在平移过程中k值不变.平移的规律是若上下平移,则直接在常数b后加上或减去平移的单位数;若向左（或向右）平移m个单位,则直线y=kx+b（k≠0）变为y=k（x+m）+b（或k（x-m）+b）,其口诀是上加下减,左加右减.

【例1】　如图,一次函数y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行且经过点A（1,-2）,则kb=　　　　. 

【解析】　∵　y=kx+b的图象与正比例函数y=2x的图象平行,∴　k=2.

∵　y=kx+b的图象经过点A（1,-2）,

∴　2+b=-2,解得b=-4.

∴　kb=2×（-4）=-8.

【答案】　-8

2.一次函数与一次方程（组）,一元一次不等式（组）相结合问题.

【例2】　一次函数y=kx+b（k,b为常数,且k≠0）的图象如图所示.根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为　　　　. 

【解析】　∵　一次函数y=kx+b过点（2,3）,（0,1）,

∴　一次函数的解析式为y=x+1.

当y=0时,x+1=0,x=-1.

∴　一次函数y=x+1的图象与x轴交于点（-1,0）.

∴　关于x的方程kx+b=0的解为x=-1.

【答案】　x=-1

3.一次函数图象与两坐标轴围成的三角形面积问题.

这一类问题主要考查在给定一次函数解析式或一次函数图象的前提下,求图象与坐标轴围成的三角形的面积.在这类问题中,如果三角形的一边与一坐标轴重合,那么可直接应用三角形及坐标求面积,如果三角形的任何一边均不与坐标轴重合,那么一般来说,我们可以利用“割补法”化不规则的三角形为规则的三角形,从而求得三角形的面积.

【例3】　在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫做此一次函数的坐标三角形.例如,图中的一次函数的图象与x,y轴分别交于点A,B,则△OAB为此函数的坐标三角形.

【答案】　

（1）∵　直线

与x轴的交点坐标为（4,0）,与y轴交点坐标为（0,3）,

4.用一次函数解决相关问题.

（1）利用一次函数进行方案选择.

一次函数的方案决策题,一般都是利用自变量的取值不同,得出不同方案,并根据自变量的取值范围确定出最佳方案.

【例4】　某医药公司把一批药品运往外地,现有两种运输方式可供选择.

方式一:

使用快递公司的邮车运输,装卸收费400元,另外每公里再加收4元;

方式二:

使用快递公司的火车运输,装卸收费820元,另外每公里再加收2元;

（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用y1（元）、y2（元）与运输路程x（公里）之间的函数关系式;

（2）你认为选用哪种运输方式较好,为什么?

【答案】　

（1）由题意,得y1=4x+400,y2=2x+820.

（2）令4x+400=2x+820,解得x=210,

所以当运输路程小于210km时,y1

当运输路程等于210km时,y1=y2,选择两种方式一样;

当运输路程大于210km时,y1>y2,选择火车运输较好.

（2）利用一次函数解决资源收费问题.

此类问题多以分段函数的形式出现,正确理解分段函数是解决问题的关键,一般应从如下几方面入手:

（1）寻找分段函数的分段点;

（2）针对每一段函数关系,求解相应的函数解析式;（3）利用条件求未知问题.

【例5】　为了促进节能减排,倡导节约用电,某市将实行居民生活用电阶梯电价方案,图中折线反映了每户每月用电电费y（元）与用电量x（千瓦时）间的函数关系式.

（1）根据图象,阶梯电价方案分为三个档次,填写下表:

档次

第一档

第二档

第三档

每月用电量

x（千瓦时）

0

（2）小明家某月用电120千瓦时,需要交电费　　　　元; 

（3）求第二档每月电费y（元）与用电量x（千瓦时）之间的函数关系式;

（4）在每月用电量超过230千瓦时时,每多用1千瓦时电要比第二档多付电费m元,小刚家某月用电290千瓦时,交电费153元,求m的值.

【答案】　

（1）第二档140230.

（2）54

（3）设第二档每月电费y（元）与用电量x（千瓦时）之间的函数关系式为y=ax+c.

将（140,63）,（230,108）代入,得

则第二档每月电费y（元）与用电量x（千瓦时）之间的函数关系式为

（4）根据图象,得用电230千瓦时,需要付费108元,用电140千瓦时,需要付费63元,故108-63=45（元）,230-140=90（千瓦时）,45÷90=0.5（元）,则第二档电费为0.5元/千瓦时.

∵　小刚家某月用电290千瓦时,交电费153元,290-230=60（千瓦时）,153-108=45（元）,45÷60=0.9（元）,m=0.9-0.5=0.4,

故m的值为0.4.

（3）利用一次函数解决其他生活实际问题.

结合函数图象及性质,弄清图象上的一些特殊点的实际意义及作用,寻找解决问题的突破口,这是解决一次函数应用题常见的思路.“图形信息”题是近几年的中考热点考题,解此类问题应做到三个方面:

（1）看图找点,

（2）见形想式,（3）建模求解.

【例6】　周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象.已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍.

（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间;

（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上?

此时离家多远?

（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地,求从家到乙地的路程.

【答案】　

（1）小明骑车速度为

在甲地游玩的时间是1-0.5=0.5（h）.

（2）妈妈驾车速度为20×3=60（km/h）,

设直线BC解析式为y=20x+b1.

专项训练

一、选择题

1.（2014·安徽安庆外国语学校模拟）已知四条直线y=kx-3,y=-1,y=3和x=1所围成的四边形的面积是12,则k的值为（　　）.

A.1或-2B.2或-1

C.3D.4

2.（2014·安徽淮北五校联考）把直线y=-x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第二象限,则m的取值范围是（　　）.

A.m>1B.m<-5

C.-5

3.（2014·安徽铜陵模拟）能表示图中一次函数图象的一组函数对应值列表的是（　　）.

（第3题）

x

y

-4

5

0

-1

A

x

y

-4

2

-2

-2

B

x

y

-1

0

2

-2

C

x

y

-3

2

0

-1

D

4.（2013·上海静安二模）函数y=kx-k-1（常数k>0）的图象不经过的象限是（　　）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.