南昌大学数学建模国赛选拔赛.docx
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南昌大学数学建模国赛选拔赛
2012南昌大学数学建模国赛选拔赛
承诺书
我们仔细阅读了南昌大学数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
姓名
学院
专业
性别
校赛（建模）
数学竞赛（高数）
计算机等级
是否是本硕班/实验班
张艳君
建工学院
土木工程
男
已过二级
实验班
罗海涛
信工学院
信息工程
男
已过二级
实验班
陈思
环化学院
环境工程
女
已过二级
日期：
2012年08月29
电力输送分配的优化设计
摘要
如今电能已经成为了最重要的能源，人们的生产生活都离不开用电。
如何分配供给人们需要的电量，并在此条件下减小输送成本成为了供电公司亟待解决的问题。
本文中我们对电力的损耗情况以及分配方式进行研究。
首先，我们在模型中将总费用分为两部分：
一部分是电力输送过程中电流热效应产生的能量消耗，另一部分是电力远距离输送线路的建设费用。
在模型一中我们使用了混合非线性规划，以供电公司的最小费用（即能量损耗费与建设费用之和）作为目标函数，并引入了0-1变量表示供电线路的建设与否，以各个供电企业提供的电量和各个城市需要的电量作为约束条件，利用lingo和matlab软件辅助求解，计算出需要建设22条输电线并且求出了各条电路上的电流值（表三）、损耗的电压值（表六）、以及在最小费用条件下各个供电企业实际提供电量的最小值（表七）。
对于问题二我们考虑了包含建设成本与不包含建设成本两种情况，在模型二中不考虑线路的建设成本，我们使用了非线性规划模型并且以线路中电能的的最小损耗值为目标函数，以各个供电企业提供的电量和各个城市需要的电量作为约束条件，利用lingo和matlab软件辅助求解，计算出了只考虑电量供需平衡情况下电路中电压的损耗值（表四）和各个供电企业供电所能达到的极限小值（表五）。
最后，在优化模型中我们考虑到了电网在使用中的维修费用，在这个混合非线性规划模型中，目标函数为供电公司长期的最小费用（包括能量损耗费、建设费用与线路维修费用）建立了长期模型。
本文中的模型一可以推广到运输问题中，是否选择该运输路径，怎么分配运输费用最小该模型都能很好地解决。
模型二可以与图论相结合，能良好的解决分配问题。
关键词：
混合非线性规划最小费用0-1变量非线性规划能量损耗建设成本维修费用
一、问题的重述与背景
现今的社会已经进入了电力化的时代，人们的生产生活都离不开用电，工厂生产产品需要用电，家庭的基本生活也需要用电，家用电器越来越丰富和普及。
电改善了人们的生活，成为我们不可分割的一部分。
如今大量大型发电站的建成，大量的电需要通过远距离输送，然而在电力运输过程中往往会产生一些能量损耗，建设电力输送系统也需要成本，因此需要一种便利而又经济的电力输送方案。
所以如何供给人们需要的电量，并在此条件下减小输送成本成为了供电公司亟待解决的问题。
在电力远距离输送过程中，控制电力输送过程中的能量损耗及向用户合理分配电量可大大节省供电成本。
通常供电公司的总费用包括两部分：
一部分是电力输送过程中电流热效应产生的能量损耗，另一部分是电力远距离输送的建设费用。
本题中给出了每度电的生产成本、每个供电企业提供的电量、各城市需求的电量、各输电线路的电阻值、各输电线路的建设成本，问题一中我们要求出当能耗最小化时线路中实际输送的电流值，问题二中我们要求出输电线路实际损失的电压以及各发电企业向各个城市实际输送分配的最低电量。
二、问题的分析与模型的准备
2.1问题的分析：
问题一的分析：
问题一中我们需要求出当供电公司总费用最小时，8家发电企业每天向16个城市分配电力时实际输送的电流值。
在高压输电线路中，电路功率的损耗与电流值存在着
的关系，而电路功率的损耗又可以用电量的损耗来表示，电流热效应产生的能量消耗费用为电量的损耗值和单位电生产成本的乘积。
这样就建立起电流值与供电公司费用的关系。
供电公司的总费用分为两部分：
电流热效应产生的能量消耗费和电力远距离输送线路的建设费用。
在求输送线路的建设费用中，分为建设此条线路与不建此条线路两种情况，在这里我们引入0-1变量表示。
0即代表不建该条线路，1则代表建设该条线路。
由此我们可以得到供电公司总费用的表达式。
对于一个供电公司来说，不仅要追求费用最小化，还要考虑电力的输送分配问题，比如要保证各个供电企业的供电量，要满足客户的用电需求。
在这里供电量与用电需求就是对目标函数的约束条件。
问题二的分析：
在问题二中我们需要求出在供需平衡下第i个城市实际输送到第j家企业的最低电量
之和和输送电力过程中线路上的实际损失电压，因为用户得到的电量之和是不变的，因此求出输送过程中损耗的电量最小值加上用户得到的电量即可得到要求实际输送电量最小值。
根据用户得到的电量与输送过程中损耗的电量的关系，求出运输过程中损耗的电量，又根据电量与电压之间的关系，得出输电线路中实际损耗的电压。
在考虑达到供需平衡各发电企业向城市输送的最低电量时，企业得到的电量
是保持不变的，要使
最小，热效应产生的能量损耗值需要达到最小。
所以在这个问题中，我们将目标函数设置为能量损耗的最小值。
2.2模型的准备：
改革开放30多年以来我国发电装机容量由5712万KW增至10.6亿KW，平均年增长率10.90%，年发电量由2526亿千瓦时增至4.8万亿千瓦时，目前中国的发电装机容量均世界第二位，年发电量均居世界第一位。
随着电力工业的高速发展，我国的高压与超高压电力运输水平得到进一步发展。
由相关文献可知电压等级与输送距离和输送功率的关系如下表所示：
表一：
一个电压等级的输送功率和输送距离
电压等级（kv）
输送功率（MW）
输送距离（km）
220
100——500
300——100
330
200——800
600——200
500
1000——1500
850——150
750
2000——2500
500以上
对于500KV的超高压输送线缆我国多采用钢丝铝绞线，铝合金架空线和铝包钢线用量均不大。
对于500KV超高压铝制导线规格一些材料性质如下表所示：
表二：
导线的规格与电阻
导线规格/
20铝单线电阻/（
·/m）
标准
实测
300/40
<=0.028264
0.02794
400/35
<=0.028264
0.028050
400/50
<=0.028264
0.027859
720/50
<=0.028264
0.2810
注：
上表为超高压500KV平罗回线、双南线、阳淮线、天广直流、山西神侯线用导线及ACSR-720/50抽样结果。
（上表资料摘自《超高压500KV架空导线的研制》蒲奇志，徐绍贤）
根据题中给出的电阻值都在10—20
之间，由公式和上表中的数据可以算出运输距离大概在150—500km，在满足功率相等并且其他条件大体相同的情况下高电压运输电力比低电压运输电力损耗的更小，综合表一中电压等级与距离之间的关系500KV超高压符合情况，且功率也可以得到保证，故本题中我们假定供电公司的供电电压为500KV。
根据资料显示高压路线使用寿命一般也20——30年，同时，在电力研学网上查的架空路线经济使用年限一般为20年，因此我们将电网基础设施建成后使用年限定为二十年。
三、问题的假设
1、假设企业提供的电量为到达城市的电量，即城市从企业得到的电量。
2、假设每条电网建成后使用年限为二十年。
3、假设超高压输电线路的电压值为500KV。
4、供电公司的总费用仅考虑电力热效应产生的能量消耗以及线路的建设成本。
5、假设电网故障概率与电流在各个的阶段分别呈线性关系。
6、电能守恒即供电公司实际提供的总电量等于损耗的总电量与城市得到的总电量之和。
四、符号及说明
：
高压线路的供电电压，我们假设其值为500KV；
:
本文中表示一天的时间。
：
第i个供电企业将电供给第j个城市所损耗的电量；
：
第i个供电企业实际分配给第j个城市的电量；
：
第j个城市从第i家企业得到的电量；
：
第i个供电企业实际提供的电量；
：
第j个城市需求的电量；
:
从第i个企业到第j个城市输电线路的建设费用；
:
城市输电线，路的总的建设费用；
：
0-1变量，在此题中表示路线是否建立；
:
从第i个企业到第j个城市输送路线的电阻；
：
从第i个企业分配给第j个城市的电流；
:
输送电力工程中损耗的功率；
:
该供电公司的总费用；
：
表示每一天电网发生故障的概率；
：
每天故障发生所花去的修缮费；
五、模型的建立与求解
（1）模型的建立
模型一：
模型一为一个优化模型，由题意我们要求当供电公司的总费用最少时各条线路实际输送的电流值，将供电公司的总费用设定为目标函数，通过各城市需求的电量和每个供电企业提供的电量对目标函数进行约束，找到在约束条件下目标函数取最小值时的解。
在问题一中供电公司的最小费用分为两部分即：
电流损耗部分和输电线路建设成本费用部分。
电流损耗费用即为损耗的电量
与每度电生产成本的乘积。
第i个供电企业向第j个城市供电损耗的电量为第i个企业发出供给j城市电量与第j个城市从第i家企业得到的电量之差：
根据功率原理功率的损耗为电流的平方乘以电阻，公式为
可得出以下关系式：
我们将损耗的电量
用含
的关系式表示，解出：
供电公司的建设费用题中已给出，若第i个企业向第j个城市的建设该线路其费用为
，若不建设该线路其费用为0，引入0,1变量
，
表示该线路建成，
表示该线路不建设，输电线路建设成本费用的数学表达式表示为：
在本题中我们假设线路的平均使用寿命为二十年，将二十年中所有线路的电流损耗费与建设费用进行加和，目标函数供电公司的总费用的表达式表示为：
在该模型中电量达到供需平衡，十六个城市从第i家企业得到的电量为
，第j个城市从八个企业得到的电量为
，得到该模型的约束条件：
整理后可得：
目标函数
约束条件
使用lingo软件求解（程序：
附录一）得出
和
的值（附录一表九），并得到目标函数的最优解。
线路中的电流值为：
根据（3）、（4）两式，并通过matlab软件（程序：
附录二）的辅助求解，我们得到各家发电企业向各个城市分配电力时实际输送的电流值
。
模型二：
在不考虑建设成本的条件下为了在达到供需平衡下使各发电企业向各个城市实际输送的电量达到最小，因为用户得到的电量总和是不变的，则只需保证输送过程中热效应产生的能量损耗最小就能使输送的电量最小，建立目标函数：
根据（3）式可以将目标函数改写为：
约束条件同模型一：
用lingo软件（程序及运行结果见附录三）求解出
（附录十一）的值，再根据
（1）、（3）式并通过matlab软件（程序见附录四）的辅助求解出实际运输分配中的最低电量
与损耗的电压。
（2）问题的求解：
1、问题一的求解：
对于问题一中需要在总费用最小下的情况下计算出8家发电企业每天在向16个城市分配电力时实际输送的电流值，结果如下：
表三:
实际输送过程中的电流值
（注：
取到小数点后三位,空格表示该条线路不存在）
Iij
（A）
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10
D11
D12
D13
D14
D15
D16
O1
77.633
108.57
O2
53.425
91.937
36.712
60.145
O3
60.945
78.494
91.869
86.833
O4
106.92
55.952
78.456
O5
91.835
84.323
74.332
O6
75.972
45.572
115.29
O7
89.455
79.33
106.96
O8
50.07
116.97
2、问题二的求解：
我们将此问题分为两种情况。
情况一：
不考虑建设成本
在这种情况下，我们只需求的输送过程中损耗最小的电量，就能使总供电量最小，从而求的各条线路上损失的电压、损失的电量、得到的电量。
运用模型二求解得到结果如下表所示：
表四：
各个企业对城市输送电路上损耗的电压
（V）
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10
D11
D12
D13
D14
D15
D16
O1
0
568.98
192.57
453.75
0
116.69
14.167
0
173.39
0
0
0
0
638.31
523.05
0
O2
45.004
233.44
563.97
283.49
106.69
453.75
326.88
155.88
480.46
269.31
50.005
316.87
8.3335
62.508
266.81
128.37
O3
240.95
475.45
237.61
0
249.29
256.8
50.005
191.74
430.37
350.25
517.2
338.56
467.1
50.005
137.54
250.13
O4
520.54
600.72
12.5
27.502
66.676
155.88
75.011
81.68
220.1
15
112.53
375.28
146.71
570.65
58.34
470.44
O5
16.667
18.334
585.69
55.006
125.03
37.503
56.673
1542.3
95.018
8.3335
90.016
170.06
221.77
249.29
100.85
141.71
O6
216.76
387.8
116.69
90.016
221.77
237.61
262.64
30.002
65.008
119.2
253.46
265.97
383.63
9.1668
490.48
292.67
O7
142.54
30.002
10.834
56.673
741.1
58.34
150.05
43.337
0
86.682
100.02
275.15
300.18
618.26
517.2
275.15
O8
140.04
0
80.013
495.49
250.13
43.337
337.73
25.001
0
478.79
283.49
9.1668
100.02
240.12
130.03
27.502
表五：
各个企业对各个城市实际分配的最低电量
（万度）
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10
D11
D12
D13
D14
D15
D16
O1
223.21
0
62.071
21.008
32.029
0
10.002
1.
0
13.005
0
0
0
0
51.065
33.035
0
O2
290.20
3.0003
20.009
52.059
17.01
8.0017
34.031
28.018
17.005
36.035
19.01
3.0003
20.013
1
5.0006
16.009
11.003
O3
381.27
17.008
38.036
19.009
0
23.011
22.011
5.0005
23.009
43.037
21.015
62.064
29.02
40.037
4.004
15.004
20.01
O4
289.24
52.054
45.054
1
3.002
4.0005
11.003
6.0009
7.0011
24.011
1
9.002
35.019
11.003
36.041
7.0008
47.044
O5
300.48
2.0001
2.0001
54.063
6.0007
15.004
3.0002
4.0005
123.38
6.0011
1
9.0016
12.004
19.008
23.011
11.002
10.003
O6
286.17
13.006
31.024
14.003
6.0011
19.008
19.009
21.011
3.0002
6.0008
13.003
19.01
29.015
23.018
1
42.041
27.016
O7
330.30
9.0026
2.001
1
4.0005
74.11
7.0008
18.005
4.0003
0
8.0014
10.002
22.012
30.018
57.071
62.064
22.012
O8
200.13
14.004
0
6.001
33.033
15.008
4.0003
27.018
3.0002
0
41.039
17.01
1
6.0012
18.009
12.003
3.0002
说明：
各发电企业每天向16个城市实际输送分配的最低电量之和为2310.0万度，每个供电企业提供的电量分别表格中列于供电企业的下面。
情况二：
考虑建设成本
这种情况下即是在模型一的基础上求出各个企业对城市输送电路上损失的电压和各个企业对各个城市实际分配的电量。
用matlab软件进行求解（程序及运行结果见附录三）得结果如下表所示：
表六：
各个企业对城市输送电路上损耗的电压
（V）
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10
D11
D12
D13
D14
D15
D16
O1
853.96
1085.7
O2
854.79
1471
624.11
1202.9
O3
914.17
1020.4
1102.4
955.16
O4
1176.1
1063.1
784.56
O5
918.35
927.55
1115
O6
911.66
761.16
1268.2
O7
1610.2
1031.3
1390.5
O8
50.07
1286.6
表七：
各个企业对各个城市实际分配的最低电量
yij
（万度）
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
D8
D9
D10
D11
D12
D13
D14
D15
D16
O1
223.44
93.159
130.280
O2
290.66
64.110
110.320
44.055
72.174
O3
381.77
73.134
94.192
110.240
104.200
O4
289.59
128.300
67.143
94.148
O5
300.50
110.200
101.19
89.199
O6
286.60
91.166
57.087
138.350
O7
300.91
107.350
95.196
128.36
O8
211.20
60.084
140.360
说明：
各发电企业每天向16个城市实际输送分配的最低电量之和为2304.0027万度,每个供电企业提供的电量分别表格中列于供电企业的下面。
六、模型的优化
优化一：
在模型一中，我们并未考虑建设线路的修缮费用，由于电网的使用期限较长，发生故障的次数很多，所以对供电公司来说，这一项费用不容忽视。
实际生活中，电网的故障次数与电线的发热情况息息相关，电流热效应能加速绝缘体的老化，导致漏电、触电的发生，在优化模型中，我们要考虑电流与修缮费用的关系，使得供电公司的长期总费用最小。
电流越大电流热效应也越大，电网的故障概率也越大，我们建立起一个线性关系：
其中
表示每一天电网发生故障的概率，
为系数，
表示电路中电流的大小。
电流值在不同的范围内，系数的取值是不同的。
电流值与电网发生故障的概率关系如下图：
将故障概率与电流的关系写为：
若每一天由故障发生所花去的修缮费用为
，则在电网的使用期内所花的修缮费用为
。
为了使供电公司的长期总费用最小，将公司的总费用设定为目标函数：
根据（3）、（4）式得到目标函数的约束条件如下：
优化二：
在模型一中我们对于输送设备的使用寿命根据生活中的现状和相关资料的查阅采用了二十年的期限，但是现实生活中输电路线不一定为二十年，因此我们计算了将使用寿命假设为十年和三十年时的电力输送分配方案，并将其与二十年方案进行对比，分别将十年和三十年的电流分配情况结果列于表八
（一）和表八
（二）中。
基础设施使用期限为十年的目标函数为：
约束条件同模型一。
得出的电流分配方
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