二、填空题
11.
如图所示，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，高AD＝，在∠BAC内作射线AM交BC于点M，则BM<1的概率是________．
答案
解析 ∠B＝60°，∠C＝45°，所以∠BAC＝75°.
在Rt△ABD中，AD＝，∠B＝60°，
BD＝＝1，∠BAD＝30°.
记事件N为“在∠BAC内作射线AM交BC于点M，使BM<1”，则可得∠BAM<∠BAD时事件N发生．
由几何概型的概率公式，得P（N）＝＝.
12．一个长方体空屋子，长、宽、高分别为5米、4米、3米，地面三个角上各装有一个捕蝇器（大小忽略不计），可捕捉距其一米空间内的苍蝇，若一只苍蝇从位于另外一角处的门口飞入，并在房间内盘旋，则苍蝇被捕捉的概率是________．
答案
解析 依题意，放在地面一角处的捕蝇器能捕捉到的空间体积V0＝××13＝（立方米），
又空屋子的体积V＝5×4×3＝60（立方米），
三个捕蝇器捕捉到的空间体积V′＝3V0＝（立方米）．
故苍蝇被捕捉的概率是＝.
13．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
答案
解析 记“小波周末去看电影”为事件A，则P（A）＝1－＝，记“小波周末去打篮球”为事件B，则P（B）＝＝，点到圆心的距离大于与点到圆心的距离小于不可能同时发生，所以事件A与事件B互斥，则小波周末不在家看书为事件A∪B，P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝＋＝.
14．（2018·河南洛阳模拟）已知O（0,0），A（2,1），B（1，－2），C，动点P（x，y）满足0≤·≤2且0≤·≤2，则点P到点C的距离大于的概率为________．
答案 1－
解析 ∵O（0,0），A（2,1），B（1，－2），C，
动点P（x，y）满足0≤·≤2且0≤·≤2，
∴
如图，不等式组对应的平面区域为正方形OEFG及其内部，|CP|>对应的平面区域为阴影部分．
由解得即E，
∴|OE|＝＝，
∴正方形OEFG的面积为，则阴影部分的面积为－，
∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为＝1－.
三、解答题
15．（2018·广东深圳模拟）已知复数z＝x＋yi（x，y∈R）在复平面上对应的点为M.
（1）设集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，从集合P中随机抽取一个数作为x，从集合Q中随机抽取一个数作为y，求复数z为纯虚数的概率；
（2）设x∈[0,3]，y∈[0,4]，求点M落在不等式组：
所表示的平面区域内的概率．
解
（1）记“复数z为纯虚数”为事件A.
∵组成复数z的所有情况共有12个：
－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，
且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，
其中事件A包含的基本事件共2个：
i,2i，
∴所求事件的概率为P（A）＝＝.
（2）依条件可知，点M均匀地分布在平面区域（x，y）内，属于几何概型．该平面区域的图形为图中矩形OABC围成的区域，面积为S＝3×4＝12.
而所求事件构成的平面区域为
，其图形如图中的三角形OAD（阴影部分）．又直线x＋2y－3＝0与x轴，y轴的交点分别为A（3,0），D，
∴三角形OAD的面积为S1＝×3×＝.
∴所求事件的概率为P＝＝＝.
16．设f（x）和g（x）都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1,2]，都有|f（x）＋g（x）|≤8，则称f（x）和g（x）是“友好函数”，设f（x）＝ax，g（x）＝.
（1）若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f（x）和g（x）是“友好函数”的概率；
（2）若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f（x）和g（x）是“友好函数”的概率．
解
（1）设事件A表示f（x）和g（x）是“友好函数”，
则|f（x）＋g（x）|（x∈[1,2]）所有的情况有
x－，x＋，x＋，4x－，4x＋，4x＋，
共6种且每种情况被取到的可能性相同．
又当a>0，b>0时ax＋在上递减，在上递增；
x－和4x－在（0，＋∞）上递增，
∴对x∈[1,2]可使|f（x）＋g（x）|≤8恒成立的有x－，x＋，x＋，4x－，
故事件A包含的基本事件有4种，
∴P（A）＝＝，故所求概率是.
（2）设事件B表示f（x）和g（x）是“友好函数”，∵a是从区间[1,4]中任取的数，b是从区间[1,4]中任取的数，∴点（a，b）所在区域是长为3，宽为3的正方形区域．
要使x∈[1,2]时，|f（x）＋g（x）|≤8恒成立，需f
（1）＋g
（1）＝a＋b≤8且f
（2）＋g
（2）＝2a＋≤8，
∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．
∴P（B）＝＝，
故所求的概率是.
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