四川省开江县讲治中学中考第二轮 四边形 分类复习训练试题含答案word版.docx

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四川省开江县讲治中学中考第二轮四边形分类复习训练试题含答案word版

四川省开江县讲治中学2020年中考第二轮四边形分类复习训练试题

1、如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE＝CF，G是CD与EF的交点．

（1）求证：

△BCF≌△DCE；

（2）若BC＝5，CF＝3，∠BFC＝90°，求DG：

GC的值．

2、在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED

＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF．求证：

（1）△ABF≌△DAE；

（2）DE＝BF+EF．

3、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．

（1）求证：

△AHF为等腰直角三角形．

（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．

4、如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．

（1）试判断AG与FG是否相等？

并给出证明；

（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？

若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．

5、如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？

请说明理由．

6、如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作

FG∥CD交BE于点G，连接CG．

（1）求证：

四边形CEFG是菱形；

（2）若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．

7、如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG，作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH．显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于180°的角平分线），并说明理由．

8、

（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，请直接写出HD：

GC：

EB的结果（不必写计算过程）

（2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD：

GC：

EB；

（3）把图2中的菱形都换成矩形，如图3，且AD：

AB＝AH：

AE＝1：

2，此时HD：

GC：

EB的结果与

（2）小题的结果相比有变化吗？

如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）；若无变化，请说明理由．

9、如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，E是CD边上一点，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，延长AE交BC的延长线于点G．

（1）求线段CE的长；

（2）如图2，M，N分别是线段AG，DG上的动点（与端点不重合），且∠DMN＝∠DAM，设AM＝x，DN＝y．

①写出y关于x的函数解析式，并求出y的最小值；

②是否存在这样的点M，使△DMN是等腰三角形？

若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．

10、

（1）如图1，以AC为斜边的Rt△ABC和矩形HEFG摆放在直线l上（点B、C、E、F在直线l上），已知BC＝EF＝1，AB＝HE＝2．△ABC沿着直线l向右平移，设CE＝x，△ABC与矩形HEFG重叠部分

的面积为y（y≠0）．当x＝

时，求出y的值；

（2）在

（1）的条件下，如图2，将Rt△ABC绕AC的中点旋转180°后与Rt△ABC形成一个新的矩形

ABCD，当点C在点E的左侧，且x＝2时，将矩形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将矩形HEFG绕着点E逆时针旋转相同的角度．若旋转到顶点D、H重合时，连接AG，求点D到AG的距离；

（3）在

（2）的条件下，如图3，当α＝45°时，设AD与GH交于点M，CD与HE交于点N，求证：

四

边形MHND为正方形．

11、如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E

是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P．

（1）当点E坐标为（3，0）时，试证明CE＝EP；

（2）如果将上述条件“点E坐标为（3，0）”改为“点E坐标为（t，0）（t＞0），结论CE＝EP是否成立，请说明理由；

（3）在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？

若存在，用t表示点M的坐标；若不存在，说明理由．

12、已知：

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分AC．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：

（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？

（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？

若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

13、在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．

（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；

（2）若PE⊥EC，如图②，求证：

AE•AB＝DE•AP；

（3）在

（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．

14、如图，在正方形ABCD中，AB＝10cm，E为对角线BD上一动点，连接AE，CE，过E点作EF⊥AE，交直线BC于点F．E点从B点出发，沿着BD方向以每秒2cm的速度运动，当点E与点D重合时，运动停止．设△BEF的面积为ycm2，E点的运动时间为x秒．

（1）求证：

CE＝EF；

（2）求y与x之间关系的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（3）求△BEF面积的最大值．

15、如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A在y轴上，点C

在x轴上，且

，OB＝OC．

（1）求点B的坐标；

（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位/秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；

（3）在

（2）的条件下，过点P作PM∥CB交线段AB于点M，过点M作MR⊥OC，垂足为R，线段MR分别交直线PH、OB于点E、G，点F为线段PM的中点，连接EF．

①判断EF与PM的位置关系；

②当t为何值时，EG＝2？

16、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF

中点，连接EG，CG．

（1）求证：

EG＝CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问

（1）中的结论是否仍

然成立？

通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）．

17、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b（b＞0）分别交x轴，y轴于A，B两点，以OA，OB为边作矩形OACB，D为BC的中点．以M（4，0），N（8，0）为斜边端点作等腰直角三角形PMN，点P

在第一象限，设矩形OACB与△PMN重叠部分的面积为S．

（1）求点P的坐标．

（2）当b值由小到大变化时，求S与b的函数关系式．

（3）若在直线y＝﹣x+b（b＞0）上存在点Q，使∠OQM等于90°，请直接写出b的取值范围．

（4）在b值的变化过程中，若△PCD为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的b值．

参考答案

1、

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCF+∠FCD＝90°，BC＝CD．

∵△ECF是等腰直角三角形，CF＝CE，

∴∠ECD+∠FCD＝90°．

∴∠BCF＝∠ECD．

∴△BCF≌△DCE．

（2）解：

在△BFC中，BC＝5，CF＝3，∠BFC＝90°，

∴BF＝

∵△BCF≌△DCE，

∴DE＝BF＝4，∠BFC＝∠DEC＝∠FCE＝90°．

∴DE∥FC．

∴△DGE∽△CGF．（5分）

∴DG：

GC＝DE：

CF＝4：

3．

2、证明：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，AD∥BC，

∴∠BOA＝∠DAE，

∵∠ABC＝∠AED，

∴∠BAF＝∠ADE，

∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，

∴∠ABF＝∠DAE，

∵AB＝DA，

∴△ABF≌△DAE（ASA）；

（2）∵△ABF≌△DAE，

∴AE＝BF，DE＝AF，

∵AF＝AE+EF＝BF+EF，

∴DE＝BF+EF．

3、证明：

（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形

∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°

∵AD∥BC，AH∥DG

∴四边形AHGD是平行四边形

∴AH＝DG，AD＝HG＝CD

∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG

∴△DCG≌△HGF（SAS）

∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD

∴AH＝HF，

∵∠HGD+∠DGF＝90°

∴∠HFG+∠DGF＝90°

∴DG⊥HF，且AH∥DG

∴AH⊥HF，且AH＝HF

∴△AHF为等腰直角三角形．

（2）∵AB＝3，EC＝5，

∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5

∵AD∥EF

∴

＝

，且DE＝2

∴EM＝

4、解：

（1）AG＝FG，

理由如下：

如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M

∵四边形ABCD是正方形

∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD

∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD

∴四边形AGFM是矩形

∴AG＝MF，AM＝FG，

∵∠CEF＝90°，

∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°

∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC

∴△EFM≌△CEB（AAS）

∴BE＝MF，ME＝BC

∴ME＝AB＝BC

∴BE＝MA＝MF

∴AG＝FG，

（2）DH⊥HG

理由如下：

如图，延长GH交CD于点N，

∵FG⊥AD，CD⊥AD

∴FG∥CD

∴

，且CH＝FH，

∴GH＝HN，NC＝FG

∴AG＝FG＝NC又∵AD＝CD，

∴GD＝DN，且GH＝HN

∴DH⊥GH

5、

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，

∴∠ABE＝∠CDF，

∵点E，F分别为OB，OD的中点，

∴BE＝

OB，DF＝

OD，

∴BE＝DF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：

当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：

∵AC＝2OA，AC＝2AB，

∴AB＝OA，

∵E是OB的中点，

∴AG⊥OB，

∴∠OEG＝90°，同理：

CF⊥OD，

∴AG∥CF，

∴EG∥CF，

∵EG＝AE，OA＝OC，

∴OE是△ACG的中位线，

∴OE∥CG，

∴EF∥CG，

∴四边形EGCF是平行四边形，

∵∠OEG＝90°，

∴四边形EGCF是矩形．

6、

（1）证明：

由题意可得，

△BCE≌△BFE，

∴∠BEC＝∠BEF，FE＝CE，

∵FG∥CE，

∴∠FGE＝∠CEB，

∴∠FGE＝∠FEG，

∴FG＝FE，

∴FG＝EC，

∴四边形CEFG是平行四边形，又∵CE＝FE，

∴四边形CEFG是菱形；

（2）∵矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，BC＝BF，

∴∠BAF＝90°，AD＝BC＝BF＝10，

∴AF＝8，

∴DF＝2，

设EF＝x，则CE＝x，DE＝6﹣x，

∵FDE＝90°，

∴22+（6﹣x）2＝x2，

解得，x＝，

∴CE＝

，

∴四边形CEFG的面积是：

CE•DF＝

×2＝

．

7、解：

过点H作HN⊥BM于N，则∠HNC＝90°，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝AB＝BC，∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°，

①∵将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，

∴△ADE≌△AFE，

∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE，

∴AF＝AB，又∵AG＝AG，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴∠BAG＝∠FAG，∠AGB＝∠AGF，

∴AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线；

②由①知，∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG，又∵∠BAD＝90°，

∴∠GAF+∠EAF＝

×90°＝45°，即∠GAH＝45°，

∵GH⊥AG，

∴∠GHA＝90°﹣∠GAH＝45°，

∴△AGH为等腰直角三角形，

∴AG＝GH，

∵∠AGB+∠BAG＝90°，∠AGB+∠HGN＝90°，

∴∠BAG＝∠NGH，又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH，

∴△ABG≌△GNH（AAS），

∴BG＝NH，AB＝GN，

∴BC＝GN，

∵BC﹣CG＝GN﹣CG，

∴BG＝CN，

∴CN＝HN，

∵∠DCM＝90°，

∴∠NCH＝∠NHC＝

×90°＝45°，

∴∠DCH＝∠DCM﹣∠NCH＝45°，

∴∠DCH＝∠NCH，

∴CH是∠DCN的平分线；

③∵∠AGB+∠HGN＝90°，∠AGF+∠EGH＝90°，由①知，∠AGB＝∠AGF，

∴∠HGN＝∠EGH，

∴GH是∠EGM的平分线；

综上所述，AG是∠BAF的平分线，GA是∠BGF的平分线，CH是∠DCN的平分线，GH是∠EGM的平分线．

8、解：

（1）连接AG，

∵菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD＝60°，

∴∠GAE＝∠CAB＝30°，AE＝AH，AB＝AD，

∴A，G，C共线，AB﹣AE＝AD﹣AH，

∴HD＝EB，

延长HG交BC于点M，延长EG交DC于点N，连接MN，交GC于点O，则GMCN也为菱形，

∴GC⊥MN，∠NGO＝∠AGE＝30°，

∴

＝cos30°＝

，

∵GC＝2OG，

∴

＝

，

∵HGND为平行四边形，

∴HD＝GN，

∴HD：

GC：

EB＝1：

：

1．

（2）如图2，连接AG，AC，

∵△ADC和△AHG都是等腰三角形，

∴AD：

AC＝AH：

AG＝1：

，∠DAC＝∠HAG＝30°，

∴∠DAH＝∠CAG，

∴△DAH∽△CAG，

∴HD：

GC＝AD：

AC＝1：

，

∵∠DAB＝∠HAE＝60°，

∴∠DAH＝∠BAE，在△DAH和△BAE中，

∴△DAH≌△BAE（SAS）

∴HD＝EB，

∴HD：

GC：

EB＝1：

：

1．

（3）有变化．

如图3，连接AG，AC，

∵AD：

AB＝AH：

AE＝1：

2，∠ADC＝∠AHG＝90°，

∴△ADC∽△AHG，

∴AD：

AC＝AH：

AG＝1：

，

∵∠DAC＝∠HAG，

∴∠DAH＝∠CAG，

∴△DAH∽△CAG，

∴HD：

GC＝AD：

AC＝1：

，

∵∠DAB＝∠HAE＝90°，

∴∠DAH＝∠BAE，

∵DA：

AB＝HA：

AE＝1：

2，

∴△ADH∽△ABE，

∴DH：

BE＝AD：

AB＝1：

2，

∴HD：

GC：

EB＝1：

：

2

9、解：

（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，

∴∠B＝∠BCD＝90°，

由翻折可知：

AD＝AF＝10．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x．在Rt△ABF中，BF＝

＝6，

∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，

在Rt△EFC中，则有：

（8﹣x）2＝x2+42，

∴x＝3，

∴EC＝3．

（2）①如图2中，

∵AD∥CG，

∴＝，

∴＝，

∴CG＝6，

∴BG＝BC+CG＝16，

在Rt△ABG中，AG＝

＝8

，

在Rt△DCG中，DG＝

＝10，

∵AD＝DG＝10，

∴∠DAG＝∠AGD，

∵∠DMG＝∠DMN+∠NMG＝∠DAM+∠ADM，∠DMN＝∠DAM，

∴∠ADM＝∠NMG，

∴△ADM∽△GMN，

∴

＝

，

∴

＝

，

∴y＝

x2﹣

x+10．

当x＝4

时，y有最小值，最小值＝2．

②存在．有两种情形：

如图3﹣1中，当MN＝MD时，

∵∠MDN＝∠GMD，∠DMN＝∠DGM，

∴△DMN∽△DGM，

∴

＝

，

∵MN＝DM，

∴DG＝GM＝10，

∴x＝AM＝8

﹣10．

如图3﹣2中，当MN＝DN时，作MH⊥DG于H．

∵MN＝DN，

∴∠MDN＝∠DMN，

∵∠DMN＝∠DGM，

∴∠MDG＝∠MGD，

∴MD＝MG，

∵BH⊥DG，

∴DH＝GH＝5，由△GHM∽△GBA，可得

＝

，

∴

＝，

∴MG＝，

∴x＝AM＝8﹣

＝

．

综上所述，满足条件的x的值为8﹣10或

．

10、

（1）解：

如图1，当x＝

时，设AC与HE交与点P．

由已知易得∠ABC＝∠HEC＝90°．

∴tan∠PCE＝tan∠ACB．

∴．

∴PE＝，

∴

．

（2）解：

如图2，作DK⊥AG于点K，

∵CD＝CE＝DE＝2，

∴△CDE是等边三角形，

∴∠CDE＝60°．

∴∠ADG＝360°﹣2QUOTE90°﹣60°＝120°，

∵AD＝DG＝1，

∴∠DAG＝∠DGA＝30°，

∴DK＝

DG＝

，

∴点D到AG的距离为

．

（3）解：

如图3，

∵α＝45°，

∴∠NCE＝∠NEC＝45°，

∴∠CNE＝90°，

∴∠DNH＝90°，

∵∠D＝∠H＝90°，

∴四边形MHND是矩形，

∵CN＝NE，CD＝HE，

∴DN＝NH，

∴矩形MHND是正方形．

11、解：

（1）

（2）方法一：

在OC上截取ON＝OE，

则AE＝CN，∠EAP＝∠CNE＝135°

∵CE⊥EP

∴∠CEO+∠PEA＝90°

又∵∠OCE+∠OEC＝90°，

∴∠NCE＝∠AEP

∴△NCE≌△AEP

∴CE＝EP，即不论点E的坐标是多少，都存在CE＝EP，

（1）

（2）得证；方法二：

（1）过点P作PH⊥x轴，垂足为H

∴∠2＝∠1＝90°

∵EF⊥CE

∴∠3＝∠4

∴△COE∽△EHP

∴

由题意知：

CO＝5，OE＝3，EH＝EA+AH＝2+HP

∴

＝

即HP＝3

∴EH＝5

在Rt△COE和Rt△EHP中

∴CE＝

，EP＝

故CE＝EP

（2）CE＝EP仍成立，理由如下：

同理△COE∽△EHP，

∴

由题意知：

CO＝5，OE＝t，EH＝5﹣t+HP

∴

＝

，整理得（5﹣t）HP＝t（5﹣t），

∵点E不与点A重合，A（5，0），

∴5﹣t≠0

∴HP＝t，

∴AH＝t，

∴EH＝5

∴在Rt△COE和Rt△EHP中

CE＝

EP＝

∴CE＝EP

（3）y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形．理由如下：

过点B作BM∥EP交y轴于点M

∴∠5＝∠CEP＝90°

∴∠4+∠ECB＝90°，∠6+∠ECB＝90°，

∴∠6＝∠4

在△BCM和△COE中

∴△BCM≌△COE（ASA）

∴BM＝CE而CE＝EP

∴BM＝EP由于BM∥EP

∴四边形BMEP是平行四边形，由△BCM≌△COE

可得CM＝OE＝t

∴OM＝CO﹣CM＝5﹣t

故点M的坐标为（0，5﹣t）．

12、解：

（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，

∴AC＝

＝6（cm），

∵OD垂直平分线段AC，

∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，

∵CD∥AB，

∴∠BAC＝∠DCO，

∵∠DOC＝∠ACB，

∴△DOC∽△BCA，

∴

＝

＝

，

∴

＝

＝

，

∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），

∵PB＝t，PE⊥AB，易知：

PE＝

t，BE＝

t，

当点E在∠BAC的平分线上时，

∵EP⊥AB，EC⊥AC，

∴PE＝EC，

∴

t＝8﹣

t，

∴t＝4．

∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．

（2）如图，连接OE，PC．

S四边形OPEG＝S△OEG+S△OPE＝S△OEG+（S△OPC+S△PCE﹣S△OEC）

＝•（4﹣t）•3+[•3•（8﹣t）+•（8﹣t）•t﹣•3•（8﹣t）

＝﹣

t2+

t+16（0＜t＜5）．

（3）存在．

∵S＝﹣

（t﹣

）2+

（0＜t＜5），

∴t＝

时，四边形OP