习题集含详解高中数学题库高考专点专练之102数列分组求和法.docx

习题集含详解高中数学题库高考专点专练之102数列分组求和法.docx

《习题集含详解高中数学题库高考专点专练之102数列分组求和法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《习题集含详解高中数学题库高考专点专练之102数列分组求和法.docx（54页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

习题集含详解高中数学题库高考专点专练之102数列分组求和法

【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之102数列分组求和法

一、选择题（共10小题；共50分）

1.数列的通项公式，其前项和为，则

A.B.C.D.

2.已知数列的通项公式为，其前项和为，则

A.B.C.D.

3.已知数列，满足，，设数列的前项和为，则的值为

A.B.

C.D.

4.已知等差数列的首项，公差，等比数列的首项，公比，若数列满足，则数列中小于的项有个．

A.B.C.D.

5.已知函数且，则等于

A.B.C.D.

6.在数列中，若，则数列的前项和等于

A.B.C.D.

7.已知数列是以为首项，为公差的等差数列，是以为首项，为公比的等比数列．设，，则当时，的最小值是

A.B.C.D.

8.如果一个数列满足，则称数列为等和数列，为公和，是其前项的和，已知等和数列中，，，则等于

A.B.C.D.

9.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

已知数列，，，，，，，，，，，，，，，，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．求满足如下条件的最小整数：

且该数列的前项和为的整数幂．那么该款软件的激活码是

A.B.C.D.

10.数列满足，则的前项和为

A.B.C.D.

二、填空题（共10小题；共50分）

11.在数列中，，，记是数列的前项和，则 ．

12.在数列中，，，且，则 ．

13.已知函数，数列中，，则数列的前项之和 ．

14.数列中，是与最接近的正整数，则 ．

15.已知，，则 ．

16.数列，，，，的前项和 ．

17.已知数列满足，则的前项和为 ．

18.已知数列满足，且，则数列的前项和为 ．

19.数列满足，那么 ，数列的前项和 ．

20.若数列满足，则数列的前项和为 ．

三、解答题（共80小题；共1040分）

21.已知是各项均为正数的等比数列，，且，，成等差数列．

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前项和．

22.已知数列的通项求其前项和．

23.已知等比数列的前项和为，公比，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，为数列的前项和，求．

24.已知数列是等差数列，满足，，数列满足，，且为等比数列．

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和．

25.已知数列是等差数列，满足，，数列是等比数列，满足，．

（1）求数列}和的通项公式；

（2）求数列的前项和．

26.设公差不为的等差数列的首项，前项和为，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式及；

（2）设，，且，分别为数列，的前项和，比较与的大小．

27.已知等差数列的各项均为正数，其公差为，．

（1）求的通项公式；

（2）求．

28.已知数列是首项，公比的等比数列．设．

（1）求证：

数列为等差数列；

（2）设，求数列的前项和．

29.在数列中，，，是等比数列，且．

（1）求的通项公式；

（2）求的前项和．

30.已知等差数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

31.已知等差数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

32.已知数列满足，，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）令，，求数列的前项和．

33.已知数列为等差数列，其中，．

（1）求数列的通项公式；

（2）数列中，，，从数列中取出第项记为，若是等比数列，求的前项和．

34.已知数列的前项和，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

35.数列的前项和为，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足：

，求数列的通项公式；

（3）令，求数列的项和．

36.已知是等比数列，前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若对任意的，是和的等差中项，求数列的前项和．

37.已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和．

38.已知数列为等差数列，，；数列是公比为的等比数列，且满足集合．

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和．

39.已知等差数列的前项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

40.已知数列是公差不为的等差数列，首项，且，，成等比数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求数列的前项和．

41.已知等差数列满足，，数列满足，，设，且数列为各项均为正数的等比数列．

（1）求数列和的通项公式；

（2）求数列的前项和．

42.已知在等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求．

43.已知单调递增的等比数列满足：

且，且是，的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，其前项和为，求．

44.已知数列中，，，记为的前项的和，，．

（1）判断数列是否为等比数列，并求出；

（2）求．

45.已知数列的通项求其前项和．

46.已知等差数列中，，前项和．

（1）求数列通项公式；

（2）若从数列中依次取第项，第项，第项，，第项，，按原来的顺序组成一个新的数列，求数列的前项和．

47.设，求：

（1）．

（2）．

48.求数列的前项和．

49.已知求数列的前项和．

50.设是正项等比数列，，．

（1）求的通项公式；

（2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和．

51.在等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和．

52.已知等差数列的前项和为，且满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

53.已知数列的前项和满足，其中．

（1）求证：

数列为等比数列；

（2）设，求数列的前项和．

54.设数列的前项和为，点均在函数的图象上．

（1）求数列的通项公式；

（2）若为等比数列，且，求数列的前项和．

55.等差数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记表示不超过的最大整数，如，．令，求数列的前项和．

56.设数列的前项和，数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

57.设是首项为，公比为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列，记，．

（1）若是等差数列，求的值；

（2）求数列的前项和．

58.已知为数列的前项和，且（是非零常数）．

（1）求的通项公式；

（2）设，当时，求数列的前项和．

59.设为等差数列，为等比数列，且，若，且，，．

（1）求的公差和的公比；

（2）求数列的前项和；

（3）若，求数列的前项和．

60.已知数列中，，，且对任意正整数都成立，数列的前项和为．

（1）若且，求．

（2）是否存在实数，使数列是公比不为的等比数列，且对任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列?

若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由；

（3）若，求．

61.设是公比为正数的等比数列，，．

（1）求的通项公式；

（2）设是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和．

62.设数列的前项和为，且，，．

（1）写出，，的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）已知等差数列中，有，，求数列的前项和．

63.已知数列是等差数列，其前项和为，数列是公比大于的等比数列，且，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，求数列的前项和．

64.知数列的前项和为，且满足，数列为等差数列，且满足，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）令，关于的不等式的的解集为，求所有的和．

65.已知数列中，，且（且）．

（1）证明：

数列为等差数列；

（2）求数列的前项和．

66.已知数列中，，且．

（1）证明：

数列为等差数列；

（2）求数列的前项和．

67.已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和．

（1）求通项及；

（2）设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及前项和．

68.等比数列中，，．

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

69.在数列中，，．

（1）求的值，并求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）若数列的前项和为，证明不等式，对任意皆成立．

70.已知在等比数列中，，且是和的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求的前项和．

71.已知数列的首项为，且满足．

（1）求证数列为等比数列，并求出数列的通项公式．

（2）设，求数列的通项公式及前项和．

72.已知数列满足，，，．

（1）证明数列为等比数列．

（2）求数列的通项公式与其前项和．

73.数列的前项和为，已知恒成立．

（1）求数列的通项公式；

（2），求的前项和．

74.已知等差数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和为．

75.为等差数列的前项和，且，．记，其中表示不超过的最大整数，如，．

（1）求，，；

（2）求数列的前项和．

76.为等差数列的前项和，且，．记，其中表示不超过的最大整数，如，．

（1）求，，；

（2）求数列的前项和．

77.已知为锐角，且，函数，数列的首项，．

（1）求函数的表达式；

（2）求数列的前项和．

78.数列的通项公式为，求：

（1）数列的前项和；

（2）数列的前项和．

79.数列满足，．

（1）证明：

数列是等差数列；

（2）若，求．

80.已知等差数列的通项公式为，各项都是正数的等比数列满足，.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

81.在德国不莱梅矩形的第届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第堆只有层，就个乒乓球；第，，，堆最底层（第层）分别按图所示得方式摆放，从第层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放个乒乓球，用表示前堆的乒乓球总数，则 ， （用表示）．

82.数列中，，，求数列的前项和．

83.数列中，若，且．

（1）求证：

数列是等比数列；

（2）求数列的通项公式及前项和．

84.已知等比数列的前项和为，且，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

85.已知等比数列满足，且是，的等差中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，，求使成立的正整数的最小值．

86.设数列的通项公式为．数列定义如下：

对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值．

（1）若，，求；

（2）若，，求数列的前项和公式．

87.已知数列的前项和，满足；数列满足，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）记数列满足求数列的前项和．

88.已知各项为正数的等比数列的前项和为，数列的通项公式，若，是和的等比中项．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

89.已知数列满足（），设数列的前项和为．

（1）试求的值．

90.等比数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足，求数列的前项和．

91.设数列的前项和为．已知，，且．

（1）证明：

；

（2）求．

92.已知，数列满足，数列满足；又在数列中，，且对，，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）将数列中的第项、第项、第项、、第项删去后，剩余的项按从小到大的顺序排列成新的数列，求数列的前项的和．

93.已知数列的前项和是，且，又数列满足点在函数的图象上．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和．

94.已知数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求；

（3）证明：

存在，使得．

95.在数列中，已知，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：

数列是等差数列；

（3）设数列满足，求的前项和．

96.观察下表：

，

，，，

，，，，，，，

问

（1）此表第行的最后一个数是多少?

（2）此表第行的各个数之和是多少?

（3）是第几行的第几个数?

（4）是否存在，使得第行起连续行的所有数之和为?

若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

97.等比数列中，，，分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列．

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列，求数列的前项和．

98.已知为数列的前项和，且.

（1）求证：

数列为等比数列．

（2）求数列的通项公式

（3）求数列的前项和．

99.已知为等差数列，公差，的部分项，，，恰为等比数列，是，，.

（1）求；

（2）求.

100.已知等差数列的前项和为，且，；数列的前项和为，且．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前项和．

答案

第一部分

1.A2.D【解析】由，得

，，

，，

，，

，，

由上可知，数列的奇数项为，每相邻两个偶数项的和为，

所以

3.C【解析】由，

得，

，

，

，

，

．

则

4.C【解析】，，

所以，

所以．

因为，，

所以数列中小于的项共有项．

5.B

【解析】由题意，得

6.B【解析】由已知，得，得，取及，结果相加可得．

7.C【解析】，，则．

，

而，即，代入检验知的最小值是．

8.C【解析】由，得，，，

则数列的各项是，，，，

交替出现，于是．

9.A【解析】设该数列为，设，则，

由题意可设数列的前项和为，数列的前项和为，则．

可知当为时，数列的前项和为数列的前项和，即为．

容易得到时，，

A项，由，，可知，故A项符合题意．

B项，仿上可知，可知，显然不为的整数幂，故B项不符合题意．

C项，仿上可知，可知，显然不为的整数幂，故C项不符合题意．

D项，仿上可知，可知，显然不为的整数幂，故D项不符合题意．

方法二：

由题意可知：

，，，，，

根据等比数列前项和公式，求得每项和分别为：

，，，，，

每项含有的项数为：

，，，，，

总共的项数为，

所有项数的和为

由题意可知：

为的整数幂．只需将消去即可，

则①，解得：

，总共有，不满足，

②，解得：

，总共有，不满足，

③，解得：

，总共有，不满足，

④，解得：

，总共有，满足．

所以该款软件的激活码为．

10.D

【解析】当时，，当时，，

所以，所以，

所以，所以．

所以

第二部分

11.

【解析】因为，

所以当为奇数时，，即数列的奇数项构成一个首项为，公差为的等差数列，

当为偶数时，．

所以

12.

【解析】由递推公式，得

则奇数项是常数列；偶数项是公差为的等差数列，

所以，

13.

【解析】因为函数，

所以，

同理可得：

，，．

所以

所以数列的前项之和．

14.

【解析】因为是与最接近的正整数，

所以时，；

时，；

时，；

时，；

时，；

时，；

时，；

时，；

时，；

时，．

所以

15.

16.

【解析】利用分组求和法，可得．

17.

【解析】当时，；当时，，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以

18.

【解析】因为，又，所以，从而，，

即得．

故数列的前项和．

19.，

20.

【解析】提示：

由，变形为，令，所以，所以．

第三部分

21.

（1）因为，，成等差数列，

所以．

设数列的公比为，又，

所以，即，

解得或（舍），

所以．

（2）由

（1）得，

所以

22.奇数项组成以为首项，公差为的等差数列，偶数项组成以为首项，公比为的等比数列．前项中，奇数项和偶数项分别有项，所以，

．

23.

（1）因为，，所以，即，

所以，所以或（舍去）．

又，所以，所以，所以，．

（2），

所以

记，

则．

记

则

①-②得

所以，

所以．

24.

（1）设等差数列的公差为，由题意，得，

所以（）．

设等比数列的公比为，由题意，得

，解得．

所以，

所以（）．

（2）由

（1）知（）．

因为数列的前项和为，数列的前项和为，所以数列的前项和为．

25.

（1）设等差数列的公差为，由题意得，

所以．

设等比数列的公比为，由题意得，解得．

因为，

所以．

（2）．

26.

（1）设等差数列的公差为，

因为公差不为的等差数列的首项，前项和为，，，成等比数列，

所以．

所以．

由，解得．

所以，．

（2）因为，

所以．

因为，，且，分别为数列，的前项和，

所以．

因为，

所以．

所以．

所以．

27.

（1）由题意知：

等差数列的各项均为正数，其公差为，．

所以，解得（舍去）．

所以的通项公式为．

（2）由（）得到，

所以

28.

（1）由已知得：

．

．

则．

所以数列是以为首项，为公差的等差数列．

（2）由（）知，，则数列是以为首项，为公差的等差数列．

．

则．

即．

即．

29.

（1）在数列中，，，是等比数列，且，

设公比为，则，，

则，解得，

则，．

（2）的前项和为．

30.

（1）设等差数列的公差为，

由可得，

即，则，解得．

所以．

（2）由（）可得：

，

所以

31.

（1）设等差数列的公差为，

由可得：

，

即，

所以，解得，

所以，

数列的通项公式．

（2）由（）可得：

．

所以

数列的前项和．

32.

（1），，且，．

当为奇数时，，

可得奇数项成首项为，公差为的等差数列，且为；

当为偶数时，，

可得偶数项成首项为，公比为的等比数列，且为；

即有．

（2）令，，

当为偶数时，前项和

当为奇数时，前项和

则数列的前项和

．

33.

（1）设等差数列的公差为，

依题意有

解得，，

从而的通项公式为．