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1、习题集含详解高中数学题库高考专点专练之102数列分组求和法【习题集含详解】高中数学题库高考专点专练之102数列分组求和法 一、选择题（共10小题；共50分）1. 数列 的通项公式 ，其前 项和为 ，则 A. B. C. D. 2. 已知数列 的通项公式为 ，其前 项和为 ，则 A. B. C. D. 3. 已知数列 ， 满足 ，设数列 的前 项和为 ，则 的值为 A. B. C. D. 4. 已知等差数列 的首项 ，公差 ，等比数列 的首项 ，公比 ，若数列 满足 ，则数列 中小于 的项有 个 A. B. C. D. 5. 已知函数 且 ，则 等于 A. B. C. D. 6. 在数列 中，若

2、 ，则数列 的前 项和等于 A. B. C. D. 7. 已知数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， 是以 为首项， 为公比的等比数列设 ，则当 时， 的最小值是 A. B. C. D. 8. 如果一个数列 满足 ，则称数列 为等和数列， 为公和， 是其前 项的和，已知等和数列 中，则 等于 A. B. C. D. 9. 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列 ，其中第一项是 ，接下来的两项是 ，再接下来的三项是 ，依此类推求满足如下条件的最小整数 ： 且该数列的前 项

3、和为 的整数幂那么该款软件的激活码是 A. B. C. D. 10. 数列 满足 ，则 的前 项和为 A. B. C. D. 二、填空题（共10小题；共50分）11. 在数列 中，记 是数列 的前 项和，则 12. 在数列 中，且 ，则 13. 已知函数 ，数列 中，则数列 的前 项之和 14. 数列 中， 是与 最接近的正整数，则 15. 已知 ，则 16. 数列 ， 的前 项和 17. 已知数列 满足 ，则 的前 项和为 18. 已知数列 满足 ，且 ，则数列 的前 项和为 19. 数列 满足 ， 那么 ，数列 的前 项和 20. 若数列 满足 ，则数列 的前 项和为 三、解答题（共80小

4、题；共1040分）21. 已知 是各项均为正数的等比数列，且 ， 成等差数列（1）求 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 22. 已知数列 的通项 求其前 项和 23. 已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ，（1）求数列 的通项公式；（2）令 ， 为数列 的前 项和，求 24. 已知数列 是等差数列，满足 ，数列 满足 ，且 为等比数列（1）求数列 和 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 25. 已知数列 是等差数列，满足 ，数列 是等比数列，满足 ，（1）求数列 和 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 26. 设公差不为 的等差数列 的首项 ，前 项和为 ，且 ， 成等比数列（1）求数

5、列 的通项公式及 ；（2）设 ，且 ， 分别为数列 ， 的前 项和，比较 与 的大小 27. 已知等差数列 的各项均为正数，其公差为 ，（1）求 的通项公式；（2）求 28. 已知数列 是首项 ，公比 的等比数列设 （1）求证：数列 为等差数列；（2）设 ，求数列 的前 项和 29. 在数列 中， 是等比数列，且 （1）求 的通项公式；（2）求 的前 项和 30. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 31. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，（1）求数列 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 32. 已知数列 满足 ，且 ，（1

6、）求数列 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 33. 已知数列 为等差数列，其中 ，（1）求数列 的通项公式；（2）数列 中，从数列 中取出第 项记为 ，若 是等比数列，求 的前 项和 34. 已知数列 的前 项和 ，（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 35. 数列 的前 项和为 ，且 （1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足：，求数列 的通项公式；（3）令 ，求数列 的 项和 36. 已知 是等比数列，前 项和为 ，且 ，（1）求数列 的通项公式；（2）若对任意的 ， 是 和 的等差中项，求数列 的前 项和 37. 已知 是等差数列， 是各项都为正数的等比数

7、列，且 ，（1）求数列 ， 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 38. 已知数列 为等差数列，；数列 是公比为 的等比数列，且满足集合 （1）求数列 ， 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 39. 已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 40. 已知数列 是公差不为 的等差数列，首项 ，且 ， 成等比数列（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 满足 ，求数列 的前 项和 41. 已知等差数列 满足 ，数列 满足 ，设 ，且数列 为各项均为正数的等比数列（1）求数列 和 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 42. 已知在等差数列 中

8、，（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求 43. 已知单调递增的等比数列 满足：且 ，且 是 ， 的等差中项（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，其前 项和为 ，求 44. 已知数列 中，记 为 的前 项的和，（1）判断数列 是否为等比数列，并求出 ；（2）求 45. 已知数列 的通项 求其前 项和 46. 已知等差数列 中，前 项和 （1）求数列 通项公式；（2）若从数列 中依次取第 项，第 项，第 项，第 项，按原来的顺序组成一个新的数列 ，求数列 的前 项和 47. 设 ，求：（1）（2） 48. 求数列 的前 项和 49. 已知 求数列 的前 项和 50. 设 是正项等比数列，（1）

9、求 的通项公式；（2）设 是首项为 ，公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 51. 在等差数列 中，（1）求数列 的通项公式；（2）设数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，求 的前 项和 52. 已知等差数列 的前 项和为 ，且满足 ，（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前 项和 53. 已知数列 的前 项和 满足 ，其中 （1）求证：数列 为等比数列；（2）设 ，求数列 的前 项和 54. 设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上（1）求数列 的通项公式；（2）若 为等比数列，且 ，求数列 的前 项和 55. 等差数列 中，（1）求数列 的通项公式；（2）记 表示不超过

10、的最大整数，如 ，令 ，求数列 的前 项和 56. 设数列 的前 项和 ，数列 满足 （1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前项和 57. 设 是首项为 ，公比为 的等差数列， 是首项为 ，公比为 的等比数列，记 ，（1）若 是等差数列，求 的值；（2）求数列 的前 项和 58. 已知 为数列 的前 项和，且 （ 是非零常数）（1）求 的通项公式；（2）设 ，当 时，求数列 的前 项和 59. 设 为等差数列， 为等比数列，且 ，若 ，且 ，（1）求 的公差 和 的公比 ；（2）求数列 的前 项和；（3）若 ，求数列 的前 项和 60. 已知数列 中，且 对任意正整数 都成立，数列 的前

11、项和为 （1）若 且 ，求 （2）是否存在实数 ，使数列 是公比不为 的等比数列，且对任意相邻三项 ， 按某顺序排列后成等差数列?若存在，求出所有的 值；若不存在，请说明理由；（3）若 ，求 61. 设 是公比为正数的等比数列，（1）求 的通项公式；（2）设 是首项为 ，公差为 的等差数列，求数列 的前 项和 62. 设数列 的前 项和为 ，且 ，（1）写出 ， 的值；（2）求数列 的通项公式；（3）已知等差数列 中，有 ，求数列 的前 项和 63. 已知数列 是等差数列，其前 项和为 ，数列 是公比大于 的等比数列，且 ，（1）求数列 和 的通项公式；（2）令 ，求数列 的前 项和 64.

12、知数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列 为等差数列，且满足 ，（1）求数列 ， 的通项公式；（2）令 ，关于 的不等式的 的解集为 ，求所有 的和 65. 已知数列 中，且 （ 且 ）（1）证明：数列 为等差数列；（2）求数列 的前 项和 66. 已知数列 中，且 （1）证明：数列 为等差数列；（2）求数列 的前 项和 67. 已知 是首项为 ，公差为 的等差数列， 为 的前 项和（1）求通项 及 ；（2）设 是首项为 ，公比为 的等比数列，求数列 的通项公式及前 项和 68. 等比数列 中，（1）求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 69. 在数列 中，（1）求 的值，并求 的值；

13、（2）求数列 的通项公式；（3）若数列 的前 项和为 ，证明不等式 ，对任意 皆成立 70. 已知在等比数列 中，且 是 和 的等差中项（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，求 的前 项和 71. 已知数列 的首项为 ，且满足 （1）求证数列 为等比数列，并求出数列 的通项公式（2）设 ，求数列 的通项公式及前 项和 72. 已知数列 满足 ，（1）证明数列 为等比数列（2）求数列 的通项公式 与其前 项和 73. 数列 的前 项和为 ，已知 恒成立（1）求数列 的通项公式；（2），求 的前 项和 74. 已知等差数列 的前 项和为 ，（1）求数列 的通项公式；（2）设 ，求数列 的

14、前 项和为 75. 为等差数列 的前 项和，且 ，记 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ，（1）求 ，；（2）求数列 的前 项和 76. 为等差数列 的前 项和，且 ，记 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ，（1）求 ，；（2）求数列 的前 项和 77. 已知 为锐角，且 ，函数 ，数列 的首项 ，（1）求函数 的表达式；（2）求数列 的前 项和 78. 数列 的通项公式为 ，求：（1）数列 的前 项和 ；（2）数列 的前 项和 79. 数列 满足 ，（1）证明：数列 是等差数列；（2）若 ，求 80. 已知等差数列 的通项公式为 ，各项都是正数的等比数列 满足 ， .（1）求数列 的通项

15、公式；（2）求数列 的前 项和 . 81. 在德国不莱梅矩形的第 届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第 堆只有 层，就 个乒乓球；第 ， 堆最底层（第 层）分别按图所示得方式摆放，从第 层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第 堆第 层就放 个乒乓球，用 表示前 堆的乒乓球总数，则 ， （用 表示） 82. 数列 中，求数列 的前 项和 83. 数列 中，若 ，且 （1）求证：数列 是等比数列；（2）求数列 的通项公式及前 项和 84. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 85. 已

16、知等比数列 满足 ，且 是 ， 的等差中项（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求使 成立的正整数 的最小值 86. 设数列 的通项公式为 数列 定义如下：对于正整数 ， 是使得不等式 成立的所有 中的最小值（1）若 ，求 ；（2）若 ，求数列 的前 项和公式 87. 已知数列 的前 项和 ，满足 ；数列 满足 ，（1）求数列 ， 的通项公式；（2）记数列 满足 求数列 的前 项和 88. 已知各项为正数的等比数列 的前 项和为 ，数列 的通项公式 ，若 ， 是 和 的等比中项（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 89. 已知数列 满足 （），设数列 的前 项和为 （1）试求 的

17、值 90. 等比数列 中， 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 ， 中的任何两个数不在下表的同一列（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 91. 设数列 的前 项和为 已知 ，且 （1）证明：；（2）求 92. 已知 ，数列 满足 ，数列 满足 ；又在数列 中，且对 ，（1）求数列 和 的通项公式；（2）将数列 中的第 项、第 项、第 项、 、第 项删去后，剩余的项按从小到大的顺序排列成新的数列 ，求数列 的前 项的和 93. 已知数列 的前 项和是 ，且 ，又数列 满足点 在函数 的图象上（1）求数列 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前项和 94. 已知数

18、列 的前 项和为 ，（1）求数列 的通项公式；（2）求 ；（3）证明：存在 ，使得 95. 在数列 中，已知 ，（1）求数列 的通项公式；（2）求证：数列 是等差数列；（3）设数列 满足 ，求 的前 项和 96. 观察下表： ， ， ， 问（1）此表第 行的最后一个数是多少?（2）此表第 行的各个数之和是多少?（3） 是第几行的第几个数?（4）是否存在 ，使得第 行起连续 行的所有数之和为 ?若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由 97. 等比数列 中， 分别是下表第一，二，三行中的某一个数，且 ， 中的任何两个数不在下表的同一列（1）求数列 的通项公式；（2）若数列 ，求数列 的前 项和

19、98. 已知 为数列 的前 项和，且 .（1）求证：数列 为等比数列（2）求数列 的通项公式（3）求数列 的前 项和 99. 已知 为等差数列，公差 ， 的部分项 ， 恰为等比数列，是 ， .（1）求 ；（2）求 . 100. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，；数列 的前 项和为 ，且 （1）求数列 ， 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和答案第一部分1. A 2. D 【解析】由 ，得 ， ， ， ， 由上可知，数列 的奇数项为 ，每相邻两个偶数项的和为 ，所以 3. C 【解析】由 ， 得 ， ， ， ， ， 则 4. C 【解析】，所以 ，所以 因为 ，所以数列 中小于 的项共

20、有 项5. B 【解析】由题意，得 6. B 【解析】由已知 ，得 ，得 ，取 及 ，结果相加可得 7. C 【解析】，则 ，而 ，即 ，代入检验知 的最小值是 8. C 【解析】由 ， 得 ，则数列 的各项是 ， 交替出现，于是 9. A 【解析】设该数列为 ，设 ，则 ，由题意可设数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，则 可知当 为 时 ，数列 的前 项和为数列 的前 项和，即为 容易得到 时， A 项，由 ，可知 ，故 A 项符合题意 B 项，仿上可知 ，可知 ，显然不为 的整数幂，故 B 项不符合题意 C 项，仿上可知 ，可知 ，显然不为 的整数幂，故 C 项不符合题意 D 项，

21、仿上可知 ，可知 ，显然不为 的整数幂，故 D 项不符合题意方法二：由题意可知：，根据等比数列前 项和公式，求得每项和分别为：，每项含有的项数为：，总共的项数为 ，所有项数的和为 由题意可知： 为 的整数幂只需将 消去即可，则 ，解得：，总共有 ，不满足 ， ，解得：，总共有 ，不满足 ， ，解得：，总共有 ，不满足 ， ，解得：，总共有 ，满足 所以该款软件的激活码为 10. D 【解析】当 时，当 时，所以 ，所以 ，所以 ，所以 所以 第二部分11. 【解析】因为 ，所以当 为奇数时，即数列 的奇数项构成一个首项为 ，公差为 的等差数列，当 为偶数时，所以12. 【解析】由递推公式，得

22、则奇数项是常数列；偶数项是公差为 的等差数列，所以，13. 【解析】因为函数 ，所以 ， 同理可得：，所以 所以数列 的前 项之和 14. 【解析】因为 是与 最接近的正整数，所以 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 时，所以 15. 16. 【解析】利用分组求和法，可得 17. 【解析】当 时，；当 时，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 18. 【解析】因为 ，又 ，所以 ，从而 ，即得 故数列 的前 项和 19. ，20. 【解析】提示：由 ，变形为 ，令 ，所以 ，所以 第三部分21. （1） 因为 ， 成等差数列，所以 设数列 的公比为 ，又 ，

23、所以 ，即 ，解得 或 （舍），所以 （2） 由（1）得 ，所以 22. 奇数项组成以 为首项，公差为 的等差数列，偶数项组成以 为首项，公比为 的等比数列前 项中，奇数项和偶数项分别有 项，所以， 23. （1） 因为 ，所以 ，即 ，所以 ，所以 或 （舍去）又 ，所以 ，所以 ，所以 ，（2） ，所以 记 ，则 记 则 -得 所以 ，所以 24. （1） 设等差数列 的公差为 ，由题意，得 ，所以 （）设等比数列 的公比为 ，由题意，得 ，解得 所以 ，所以 （）（2） 由（1）知 （）因为数列 的前 项和为 ，数列 的前 项和为 ，所以数列 的前 项和为 25. （1） 设等差数列 的

24、公差为 ，由题意得 ，所以 设等比数列 的公比为 ，由题意得 ，解得 因为 ，所以 （2） 26. （1） 设等差数列的公差为 ，因为公差不为 的等差数列 的首项 ，前 项和为 ， 成等比数列，所以 所以 由 ，解得 所以 ，（2） 因为 ，所以 因为 ，且 ， 分别为数列 ， 的前 项和，所以 因为 ，所以 所以 所以 27. （1） 由题意知：等差数列 的各项均为正数，其公差为 ，所以 ，解得 （舍去） 所以 的通项公式为 （2） 由（）得到 ，所以 28. （1） 由已知得： 则 所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列（2） 由（）知，则数列 是以 为首项， 为公差的等差数列 则 即

25、 即 29. （1） 在数列 中， 是等比数列，且 ，设公比为 ，则 ，则 ，解得 ，则 ，（2） 的前 项和为 30. （1） 设等差数列 的公差为 ，由 可得 ，即 ，则 ，解得 所以 （2） 由（）可得：，所以 31. （1） 设等差数列 的公差为 ，由 可得：，即 ，所以 ，解得 ，所以 ，数列 的通项公式 （2） 由（）可得：所以 数列 的前 项和 32. （1） ，且 ，当 为奇数时，可得奇数项成首项为 ，公差为 的等差数列，且为 ；当 为偶数时，可得偶数项成首项为 ，公比为 的等比数列，且为 ；即有 （2） 令 ，当 为偶数时，前 项和 当 为奇数时，前 项和 则数列 的前 项和 33. （1） 设等差数列 的公差为 ，依题意有 解得 ，从而 的通项公式为