节水洗衣机数学建模.docx
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节水洗衣机数学建模
节水洗衣机-数学建模
节水洗衣机
摘要
目前洗衣机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要。
假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:
加水--漂水--脱水--加水--漂水--脱水…加水--漂水--脱水。
本文中通过建立数学规划模型,计算在某种情况下洗衣机的最少用水量,并为洗衣机设计一种运行程序,其中包括运行多少轮和加水量等,使得在满足一定洗涤效果的条件下,洗衣机洗衣总用水量最少。
然后经过系列的变量替换等操作优化数学模型,让过程更加简方便计算和操作。
最后选用合理的数据进行计算,并对照目前常用的洗衣机的运行情况,对此模型和结果作出评价。
关键词:
洗衣机用水;数学规划;优化模型
1问题分析………………………..………………………………….……………….1
1.1背景意义和构想………………………………………………………………………1
1.2洗衣机的基本原理和过程…………………………………………………………1
1.3“节水洗衣机”要点分析……………………………………………………………1
2问题建模…………………………………………………………………………...2
2.1基本假设………………..…………………………………………………………..2
2.2变量定义…………………………………………………….………………………..2
2.3模型建立………………………………………………………………….…...3
2.4优化模型………………………………………………………………………....…3
3分析与求解……………………………………………….………………..………....4
3.1最少洗衣轮数…………………………………………………………………….…...4
3.1算法……………………………………………………………………………….…...5
3.1实例验证………………………………………………………………………….…...5
参考文献…………………………………………………………………….……..6
1问题分析
1.1背景意义与构想
我国淡水资源有限,节约用水人人有责,洗衣在家庭用水中占有相当大的份额;目前洗衣机已非常普及,节约洗衣机用水十分重要。
假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:
加水--漂水--脱水--加水--漂水--脱水…加水--漂水--脱水(称“加水--漂水--脱水”为运行一轮)。
请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮,每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下,总用水量最少。
在实际生活中,衣服的洗涤是一个十分复杂的物理化学过程。
洗衣机的运行过程可以理解为洗涤剂溶解在水中,通过水进入衣物并与衣物中的污物结合,再经过一定时间的漂洗后,它在水中与衣物中的分配达到条件。
经过脱水去除了溶于水中的洗涤剂和洗涤剂与污物的结合物,之后再注入清水进入下一轮的洗涤过程,如此反复,最终使衣物中的有害物质逐渐减少到满意程度为止。
不论人工洗衣还是洗衣机洗衣,都存在节水问题,显然,若用水量为零,则衣服肯定洗不净;若用水量为无穷大,则肯定浪费水,因此必然存在刚好“洗净”衣物的“最少”用水量。
机器能够比人更精确地控制洗衣过程,所以提出“节水洗衣机”问题。
1.2洗衣机的基本原理和过程
洗衣的基本原理就是将吸附在衣物上的污物溶于水中,通过脱去污水而带走污物。
“溶污物--脱污水”是由两个根本要素构成的一个“元动作”,无论是如何精心设计的洗衣方式和程序都是以此为基础的。
洗衣的过程就是通过加水来实现上述“溶污物--脱污水”动作的反复执行,使得残留在衣物上的污物越来越少,直到满意的程度。
通常洗衣要加入洗涤剂,它帮助溶解污物。
但是洗涤剂本身也是不能留在衣物上的东西。
因此“污物”应是衣物上原有污物与洗涤剂的总和。
有了这种认识后,我们就可以统一地处理“洗涤”(即通常加洗涤剂的首轮洗衣)和“漂洗”(即通常的以后各轮洗衣,不再加洗涤剂,但水中还有剩余洗涤剂),把二者都看作“溶污物”环节。
“脱污水”在洗衣机中通常称为“脱水”,常由排水和甩干两个步骤组成。
1.3“节水洗衣机”要点分析
立足于“溶污物--脱污水”这种基本原理,我们可以找出“节水洗衣机”问题的基本要点如下:
1)污物的溶解情况如何这里将用“溶解特性”来描述;
2)每轮脱去污水后污物减少情况如何这将由系统的动态方程表示;
3)如何设计由一系列“溶污物--脱污水”构成的节水洗衣程序这将通过用水程序来反映,也是我们最终需要的结果。
2问题建模
2.1基本假设
1)仅考虑离散的洗衣方案,即“加水--溶污物--脱污水”(以下称为“加水--洗涤--脱水”)三个环节是分离的,这三个环节构成一个洗衣周期,称为“一轮”;
2)每轮用水量不能低于L,否则洗衣机无法转动;用水量不能高于H,否则会溢出,设L3)每轮的洗涤时间是足够的,以便衣物上的污物充分溶入水中,从而使每轮所用的水被充分利用;
4)每轮的脱水时间是足够的,以使污水脱出,即让衣物所含的污水量达到一个低限,设这个低限是一个大于0的常数C,设C5)除首轮外,每轮的“用水量”包括该轮加水量和衣物中上轮脱水后残留的水量,即残留水被自然地利用了。
6)假设放入洗衣机的衣物重量看做是等重量的,即减少的衣物重量差异对用水量的影响。
2.2变量定义
1)设共进行n轮“加水--洗涤--脱水”的过程,依次为第0轮,第1轮,……,第n-1轮;
2)第k轮用水量为
(k=0,1,2,……,n-1);
3)衣物上的初始污物量为
,在第k轮脱水后仍吸附在衣物上的污物量为
(k=0,1,2,……,n-1)。
具体详细见下表:
表示符号
具体意义
第k轮用水量
第k轮脱水后仍在衣物上的污物量
L
洗衣机每轮用水量下限
H
洗衣机每轮用水量上限
C
每次脱水完毕后衣物上残留的污水量
Q
衣物上污物浸泡在水中的溶解率
n
洗衣轮数
2.3模型建立
第k轮洗涤之后和脱水之前,第k-1轮脱水之后的污物量
已成为两部分:
,k=0,1,2,……,n-1
其中
表示已溶入水中的污物,
表示尚未溶入水中的污物量。
与第k轮的加水量
有关,总的规律是
越大
越大,且当
=L时
最小(=0,因为此时洗衣机处于转动临界点,有可能无法转动,该轮洗衣无效);当
=H时,
最大(=Q
,0因此简单地选用线性关系表示这种溶解特性则有:
在第k轮脱水之后,衣物上尚有污物
,有污水C,其中污水C中所含污物量为(
/
)C。
于是第k轮完成之后衣物上尚存的污物总量为:
将前面的
式子代入上式并整理后得系统动态方程:
2.4优化模型
由于
是洗衣全过程结束后衣服上最终残留的污物量,而
是初始污物量故
/
反映了洗净效果由系统动态方程得:
又总用水量为:
于是可得优化模型如下
其中
代表对洗净效果的要求。
若令:
则:
于是优化模型化为更简洁的形式
其中:
3分析与求解
3.1最少洗衣轮数
定义函数
易知
可见r(t)是区间[0,1]上的单调减函数,所以:
第k轮的洗净效果为:
由此不难得出n轮洗完后的洗净效果最多可达到:
给定洗净效果的要求
,则应有:
于是有:
设
为满足上式的最小整数,则最少洗衣轮数即为
。
3.2算法
可采用非线性规划算法,对
(凭常识洗衣的轮数不应太多,比如取N=10已足够)进行枚举求解,然后选出最好的结果。
其中
是满足洗衣次数的最小整数。
3.3实例验证
对某款洗衣机的参数查询,有C=1,H=5。
假设衣物上污物的溶解率Q=0.5,则对于衣物洁净要求
=0.05有n
2.4882,即
=3,于是:
次数
(轮)
总用水量
(升)
3
75
4
81
5
89
6
101
即对于一个特定的衣物洁净度,最佳的洗衣次数为3次。
可见对于不同洗衣机的不同的参数值,洗衣机的节水程度均有差异。
3.4参 考 文 献
[1] 刘国钧,王连成.图书馆史研究[M].北京:
高等教育出版社,1979:
[2] 徐萃薇.计算方法引论[M].北京:
高等教育出版社,1985
[3] 同济大学数学教研室.高等数学(第3 版) [M].北京:
高等教育出版社,1988
[4] 苏金明等编.MATLAB工具箱应用[M].北京:
电子工业出版社,1988